ケプラーの三角形

ケプラー三角形は、辺の長さが等比数列になっている特別な直角三角形です。その数列の比率は${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$どこ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$は黄金比であり、その数列は次のように表すことができます。${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$またはおおよそ${\displaystyle 1:1.272:1.618}$この三角形の辺上の正方形の面積は別の等比数列をなしています。${\displaystyle 1:\varphi$ :\varphi ^{2}} 。同じ三角形の別の定義では、2 つの数の 3 つのピタゴラス平均、または二等辺三角形の内接円半径によって特徴付けられます。

この三角形はヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられましたが、それ以前の文献にも見られます。古代エジプトのピラミッドはケプラー三角形に基づいて比率が決められていたと主張する文献もありますが、ほとんどの学者は黄金比はエジプトの数学や建築には知られていなかったと考えています。

ケプラーの三角形は、ドイツの数学者で天文学者のヨハネス・ケプラー（1571年～1630年）にちなんで名付けられました。彼は1597年の手紙の中でこの図形について書いています。^{[ 1 ]}この三角形を分析するために使用できる2つの概念、ピタゴラスの定理と黄金比は、どちらもケプラーにとって興味深いものでした。彼は別のところで次のように書いています。

幾何学には二つの偉大な宝物がある。一つはピタゴラスの定理、もう一つは線を外中比に分割することである。前者は金塊に例えることができ、後者は貴重な宝石と呼ぶことができる。^{[ 2 ]}

しかし、この三角形を最初に記述したのはケプラーではありませんでした。^{[ 3 ]}ケプラー自身は「マギルスという名の音楽教授」に帰属させています。^{[ 1 ]}同じ三角形は、12 世紀にクレモナのジェラールによるラテン語訳で知られるアブー・ベクルのアラビア数学書『Liber mensurationum』^{[ 3 ] [ 4 ]}、およびケプラーと同様の方法で定義したフィボナッチの『Practica geometriae』（1220～1221 年出版）にも登場します。^{[ 3 ] [ 5 ]}ケプラーより少し前に、ペドロ・ヌネスが1567 年にこの三角形について書いており、「中世後期およびルネサンス期の写本伝承で広く普及していた可能性が高い」とされています。^{[ 3 ]}また、ケプラーより後に、独立して何度か再発見されています。^{[ 1 ]}

一部の著者によれば、断面が二重ケプラー三角形である「黄金のピラミッド」は、ギザの大ピラミッドなどのエジプトのピラミッドの設計を正確に表している。この理論の出典の一つは、19 世紀のピラミッド学者ジョン・テイラーによるヘロドトスの誤読である。^{[ 6 ] [ 7 ]}同じピラミッドに対して、ケプラー三角形とは無関係な、他の多くの比例理論が提案されている。^{[ 1 ] [ 6 ] [ 8 ]}これらの異なる理論は、得られる数値が非常に似通っており、ピラミッドの外面の破壊によって部分的に引き起こされた測定の不正確さのため、これらの理論は純粋に物理的な証拠に基づいて解決するのが難しい。^{[ 6 ] [ 9 ]}ケプラー三角形との比例の一致は、単なる数値的な偶然である可能性が高い。この関係を調査した学者によれば、古代エジプト人はおそらく数学や建築において黄金比を知らなかったか、使用していなかった。^{[ 1 ] [ 8 ] [ 10 ] [ 11 ]}代わりに、ピラミッドの比率は、辺の長さが11 と 14 の直角三角形に基づいて、整数比を使用して適切に説明できます。 ^{[ 1 ] [ 6 ]}

この図形に「ケプラーの三角形」という名前をつけたのは、1979年にはすでにロジャー・ヘルツ＝フィシュラーで、ケプラーの1597年の手紙に基づいていました。^{[ 7 ]}同じ三角形の別の名前は、マティラ・ギカが1946年に出版した黄金比に関する著書『芸術と生活の幾何学』の中で、ピラミッド学者のWAプライスにちなんで「プライスの三角形」と呼んでいます。^{[ 12 ]}

ケプラー三角形は、直角三角形であることと、辺の長さが等比数列であること、あるいは等価的に、辺の正方形が等比数列であることという性質によって独自に定義されます。辺の長さの等比は${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$、どこ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$は黄金比であり、その数列は次のように表すことができます。${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$、または約 1  : 1.272  : 1.618。この三角形の辺上の正方形の面積は別の等比数列で表され、${\displaystyle 1:\varphi$ :\varphi ^{2}} 。これらの比率を持つ三角形が直角三角形であるという事実は、これらの比率を持つ辺の長さの二乗に対して、黄金比を定義する多項式が、直角三角形の辺の長さの二乗に対する ピタゴラスの定理によって与えられる式と同じであるという$$\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1.}$$ この方程式は黄金比に対して成り立つため、これら3つの長さはピタゴラスの定理に従い、直角三角形を形成します。逆に、辺の長さの2乗が任意の比率で等比数列をなす直角三角形では、${\displaystyle \rho }$ピタゴラスの定理によれば、この比率は次の恒等式を満たす。${\displaystyle \rho ^{2}=\rho +1}$したがって、この比率はこの方程式の唯一の正の解である黄金比でなければならず、三角形はケプラー三角形でなければならない。^{[ 1 ]}

3つの辺の長さ${\displaystyle 1}$、${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$そして${\displaystyle \varphi }$は、それぞれ2つの数の調和平均、幾何平均、算術平均である。${\displaystyle \varphi \pm 1}$[ ^{13 ] [ 14 ]} 2 つの数を組み合わせるこれらの 3 つの方法はすべて古代ギリシャの数学で研究されており、ピタゴラス平均と呼ばれています^。 [ 15 ^]逆に、これはケプラー三角形の別の定義として考えることができます。それは、辺の長さが 2 つの数の 3 つのピタゴラス平均である直角三角形です。これが真となる三角形はケプラー三角形だけです。^{[ 13 ] [ 14 ]}

この三角形を定義する3つ目の同等の方法は、二等辺三角形の内接半径を最大化する問題から来ています。2つの等しい辺の長さを固定し、底辺の長さを可変とするすべての二等辺三角形の中で、内接半径が最大となるのは、ケプラー三角形の2つのコピーを、それぞれの長い辺を互いに反転させたものです。したがって、ケプラー三角形は、同じ斜辺を持つすべての直角三角形の中で、その反転によって内接半径が最大となる二等辺三角形を形成する直角三角形として定義できます。^{[ 16 ]}また、同じ反転によって、与えられた周長に対して、可能な限り最大の半円を含む二等辺三角形も形成されます。^{[ 17 ]}

ケプラー三角形の短い辺の長さが${\displaystyle s}$他の辺の長さは$\displaystyle s\sqrt \varphi }}$そして${\displaystyle s\varphi }$直角三角形の面積は、標準的な面積の公式（2つの短い辺の積の半分）で計算できます。${\displaystyle {\tfrac {s^{2}}{2}}{\sqrt {\varphi }}}$2 つの直角でない角のうち大きい方の角のコサインは、隣辺 (2 つの辺のうち短い方) と斜辺の比です。${\displaystyle \varphi }$これから、2 つの直角でない角は^{[ 1 ]であることがわかる。}

$$\displaystyle \theta =\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }}$$ そして $$\displaystyle \theta =\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }.}$$

イェジー・コチクは、これら2つの角度のうち大きい方が、コクセターの接円の等角航路系列における連続する3つの円の中心によって形成される角度でもあることを指摘している。^{[ 18 ]}

• 自己中央三角形とは、辺の長さの二乗が等差数列を形成する三角形であり、辺の長さが 1 の直角三角形も含まれる。${\displaystyle 1:{\sqrt {2}}:{\sqrt {3}}}$
• 黄金三角形とは、底辺と辺の長さの比が黄金比である二等辺三角形のことである。