類似性（幾何学）

ユークリッド幾何学では、2 つのオブジェクトが同じ形状であるか、一方が他方の鏡像と同じ形状である場合、それらのオブジェクトは類似しています。より正確には、一方を他方から均一に拡大または縮小し、場合によっては平行移動、回転、および反射を追加することで得ることができます。つまり、どちらのオブジェクトも、もう一方のオブジェクトと正確に一致するように、再拡大、再配置、および反射することができます。2 つのオブジェクトが類似している場合、それぞれは、他方の特定の均一な拡大/縮小の結果と 一致します。

たとえば、すべての円は互いに相似であり、すべての正方形は互いに相似であり、すべての正三角形は互いに相似です。一方、楕円はすべて相似ではなく、長方形はすべて相似ではなく、二等辺三角形はすべて相似ではありません。これは、2 つの楕円の幅と高さの比率が異なり、2 つの長方形の長さと幅の比率が異なり、2 つの二等辺三角形の底角が異なる場合があるためです。

ある三角形の 2 つの角の大きさが、別の三角形の 2 つの角の大きさと等しい場合、それらの三角形は相似です。相似な多角形の対応する辺は比例しており、相似な多角形の対応する角の大きさは同じです。

2 つの合同な図形は相似であり、スケール係数は 1 です。ただし、一部の教科書では、三角形が相似であるとみなされるためにはサイズが異なっていなければならないと主張して、合同な三角形を相似三角形の定義から明確に除外しています。^{[引用が必要]}

2 つの三角形△ ABCと△ A'B'C'は、対応する角度が同じ大きさである場合に限り相似です。つまり、対応する辺の長さが比例している場合に限り相似です。^[1]等しい角度を持つ 2 つの三角形 (等角三角形) は相似であることが示されます。つまり、対応する辺が比例していることを証明できます。これは AAA 相似定理として知られています。^[2]「AAA」は記憶術です。3 つの A はそれぞれ「角度」を表します。この定理により、相似三角形の定義を簡略化して、対応する 3 つの角度が合同であることのみを要求する著者もいます。^[3]

2 つの三角形が相似であるためには、それぞれ必要かつ十分ないくつかの基準があります。

• 任意の2つの角度のペアは合同であり、^[4]ユークリッド幾何学では3つの角度すべてが合同であることを意味します。^[a]

∠ BACが∠ B'A'C'と大きさが等しく、∠ ABC が∠ A'B'C'と大きさが等しい場合、 ∠ ACB は∠ A'C'B'と大きさが等しく、三角形は相似であることを意味します。

• 対応する辺はすべて比例している：^[5]

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}}={\frac {\overline {AC}}{\overline {A'C'}}}.}$$

これは、1 つの三角形 (またはその鏡像) が他の三角形の拡大であると言うことと同じです。

• 任意の2辺は比例しており、これらの辺の間の角度は等しい。^[6]

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}},\quad \angle ABC\cong \angle A'B'C'.}$$

これはSAS類似性基準として知られています。^[7]「SAS」は記憶術です。2つのSはそれぞれ「辺」を指し、Aは2辺間の「角度」を指します。

記号的に、２つの三角形△ ABCと△ A'B'C'の相似度と非相似度は次のように表される。^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ABC&\sim \triangle A'B'C'\\\triangle ABC&\nsim \triangle A'B'C'\end{aligned}}}$$

ユークリッド幾何学における相似三角形に関する基本的な結果はいくつかある。^[9]

• 任意の2 つの正三角形は相似です。
• 2 つの三角形は、どちらも 3 番目の三角形に相似であり、互いに相似です (三角形の相似性の推移性)。
• 相似三角形の対応する高さは、対応する辺の比と同じです。
• 2つの直角三角形は、斜辺と他の1辺の長さの比が同じである場合に相似です。 ^[10]この場合、直角三角形の鋭角が同じ大きさであることや、脚（辺）の長さが同じ比率であることなど、同等の条件がいくつかあります。

三角形△ ABCと線分DE が与えられている場合、定規とコンパスを使って、 △ ABC ~ △ DEFとなる点F を見つけることができます。この条件を満たす点F が存在するという命題は、ウォリスの公理^{[11]であり、ユークリッドの}平行線公理^[12 ]と論理的に同等です。ウォリスの公理が偽である双曲幾何学では、相似三角形は合同です。

ジョージ・デイヴィッド・バーコフによるユークリッド幾何学の公理的扱い（バーコフの公理を参照）では、上記のSAS相似基準がユークリッドの平行線公準とSAS公理の両方を置き換え、ヒルベルトの公理を大幅に短縮することを可能にした。^[7]

相似三角形は、ユークリッド幾何学における多くの総合的な（座標を使わない）証明の基礎となる。この方法で証明できる基本的な結果には、角の二等分定理、幾何平均定理、チェバの定理、メネラウスの定理、ピタゴラスの定理などがある。相似三角形は、直角三角形の三角法の基礎にもなる。^[13]

相似の概念は、4 辺以上の多角形にも適用されます。相似な多角形が 2 つある場合、同じ順序で取られた対応する辺 (一方の多角形が時計回りでもう一方の多角形が反時計回りであっても) は比例しており、同じ順序で取られた対応する角度は大きさが等しくなります。ただし、対応する辺が比例しているだけでは、三角形以外の多角形の相似性を証明するのに十分ではありません (そうでなければ、たとえば、すべての菱形が相似になります)。同様に、順序のすべての角度が等しいだけでは、相似性を保証するのに十分ではありません (そうでなければ、すべての長方形が相似になります)。多角形の相似性の十分条件は、対応する辺と対角線が比例していることです。

nが与えられている場合、すべての正n角形は相似です。

いくつかの種類の曲線には、その種類のすべての例が互いに類似しているという特性があります。これには次のものが含まれます。

• 直線（任意の 2 本の直線は合同です）
• 線分
• サークル
• 放物線^[14]
• 特定の離心率の双曲線^[15]
• 特定の離心率を持つ楕円^[15]
• カテナリー
• 異なる底に対する対数関数のグラフ
• 異なる基数に対する指数関数のグラフ
• 対数螺旋は自己相似である

ユークリッド空間の相似（相似変換または相似度とも呼ばれる）は、空間からそれ自身への全単射fであり、すべての距離に同じ正の実数rを掛け合わせたものである。そのため、任意の 2点xとyに対して、

${\displaystyle d(f(x),f(y))=r\,d(x,y),}$

ここで、d ( x , y )はxからyへのユークリッド距離です。^[16]スカラーrには、類似度比、伸張係数、類似度係数など、文献では多くの名前があります。r = 1の場合、類似性は等長変換(剛体変換) と呼ばれます。2つの集合は、一方が類似性の下で他方の像である場合に 類似していると呼ばれます。

写像として、比${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$rの相似性は次の形をとる。

${\displaystyle f(x)=rAx+t,}$

ここで、⁠ ⁠は${\displaystyle A\in O^{n}(\mathbb {R} )}$n × n 直交行列であり、⁠ ⁠${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$は変換ベクトルです。

相似は平面、線、垂直、平行、中点、距離と線分の不等性を保存します。^[17]相似は角度を保存しますが、必ずしも方向を保存するわけではありません。直接相似は方向を保存しますが、反対相似は方向を変えます。^[18]

ユークリッド空間の相似は、合成操作によって相似群Sと呼ばれる群を形成する。^[19]直接相似はSの正規部分群を形成し、等長変換のユークリッド群E ( n )も正規部分群を形成する。^[20]相似群S自体はアフィン群の部分群であるため、すべての相似はアフィン変換である。

ユークリッド平面を複素平面^[b]、つまり実数上の2次元空間として見ることができる。2次元相似変換は複素数演算で表現でき、次のように表される。

• ${\displaystyle f(z)=az+b}$（直接的な類似性）、そして
• ${\displaystyle f(z)=a{\overline {z}}+b}$（反対の相似）、

ここで、aとb は複素数で、a ≠ 0です。| a |= 1のとき、これらの類似性は等長変換です。

相似図形の面積の比は、それらの図形の対応する長さの比の 2 乗に等しくなります (たとえば、正方形の辺または円の半径を 3 倍すると、面積は 9 倍、つまり 3 の 2 乗になります)。相似三角形の高さは、対応する辺と同じ比になります。三角形の一辺の長さがbで、その辺に長さhの高さが描かれている場合、対応する辺の長さがkbである相似三角形には、その辺に長さkhの高さが描かれます。最初の三角形の面積はで、相似三角形の面積は になります。 相似三角形に分解できる相似図形は、面積の関係が同じようになります。この関係は、修正できない図形にも当てはまります。 ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bh,}$$${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\cdot kb\cdot kh=k^{2}A.}$$

相似図形の体積の比は、それらの図形の対応する長さの比の 3 乗に等しくなります (たとえば、立方体の辺または球体の半径を 3 倍すると、その体積は 27 倍、つまり 3 の 3 乗になります)。

ガリレオの平方立方法則は相似立体に関するものです。立体間の相似比（対応する辺の比）がkの場合、立体の表面積の比はk ²、体積の比はk ³になります。

類似性に不変点が1 つだけある場合、つまり類似性が変化しない点がある場合、この唯一の点は類似性の 「中心」と呼ばれます。

タイトルの下の最初の画像の左側では、何らかの相似性によって正多角形が同心円状に縮小され、各頂点は前の多角形の各辺上にあり​​ます。この回転による縮小が繰り返され、最初の多角形は正多角形の深淵へと拡張されます。相似性の中心は、後続の多角形の共通の中心です。赤い線分が最初の多角形の頂点を相似性の下のその画像に接続し、続いて赤い線分が次の頂点の画像につながり、これが螺旋を形成します。実際には、この最初の画像には 3 つ以上の直接相似性が見られます。これは、すべての正多角形が特定の直接相似性、より正確には多角形の中心を中心とする特定の回転に対して不変であり、直接相似性の合成も直接相似性であるためです。たとえば、負の比率-kの相似性の下にある最初の正五角形の画像が見られます。これは、±180° の角度の相似性とkに等しい正の比率です。

右側のタイトルの下の 2 番目の画像は、回転と相似に分解された相似を示しています。相似と回転は、 360 度を法として+135 度の角度が同じです。相似と相似は、逆相似の比率 ⁠ ⁠ ( 2 の平方根 ) の逆数と同じ比率です。点S は、回転、相似、相似の 3 つの変換の共通の中心です。たとえば、点W は回転によるFのイメージであり、点T は相似によるWのイメージです。簡単に言うと、 前の回転、相似、相似をR、H、D と名付け、「D」は「Direct」に似ています。 ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$$${\displaystyle T=H(W)=(R(F))=(H\circ R)(F)=D(F),}$$

三角形△ EFA を三角形△ ATBに変換するこの直接的な相似性は、いくつかの方法で回転と同心Sの相似性に分解できます。たとえば、D = R ○ H = H ○ Rで、最後の分解は画像にのみ表されています。Dを取得するには、任意の順序で角度 -45° の回転と比率の相似性を構成することもできます。${\displaystyle {\tfrac {-{\sqrt {2}}}{2}}.}$

「M」は「鏡」、 「I」は「間接」の意味で、M が線分CWに関する反射である場合、M ○ D = I は、線分BF をDのように線分CTに変換しますが、点 E をBに、点 A をA自体に 変換する間接相似です。正方形ACBTは、比⁠ ⁠の相似性Iの下でのABEFの像です。点 Aはこの相似性の中心です。なぜなら、点Kがその下で不変であるためには、 AK = 0の場合にのみ可能であり、それ以外の場合はA = Kと表記されるからです。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$${\displaystyle AK={\tfrac {AK}{\sqrt {2}}},}$

正方形ABEFから直接相似Dの中心 S を構築する方法、光線⁠ ⁠を光線⁠ ⁠に変換する +135° の回転角度の点S の中心を見つける方法は? これは、円周角の問題と方向の問題です。点の集合Pは、 Eと Aを結合する 円弧EAであり、その中でEと Aにつながる 2 つの半径は、 中心角2 (180° – 135°) = 2 × 45° = 90° を形成します。この点の集合は、正方形ABEF内の中心Fの青い四分の一円です。同様に、点S は、正方形BCAT内の中心Tの青い四分の一円のメンバーです。したがって、点S は、これら 2 つの四分の一円の交点 です。${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SE}}}}$${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SA}}}}$${\displaystyle {\overset {}{{\overrightarrow {PE}},{\overrightarrow {PA}}=+135^{\circ }}}}$

一般計量空間 ( X , d )において、正確な相似は、計量空間Xからそれ自身への関数 fであり、すべての距離に同じ正のスカラーrを掛け合わせたもので、これをfの収縮係数と呼ぶ。そのため、任意の2点x とyに対して、

$${\displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y).}$$

類似性のより弱いバージョンでは、例えばfは双リプシッツ関数であり、スカラーrは極限である。

$${\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.}$$

この弱いバージョンは、メトリックが位相的に自己相似なセットに対する有効な抵抗である場合に適用されます。

距離空間( X , d )の自己相似部分集合とは、集合Kに対して、縮約係数0 ≤ r _s < 1を持つ相似集合{ f _s } _{s ∈ S}の有限集合が存在し、KがXの唯一のコンパクト部分集合であり、

$${\displaystyle \bigcup _{s\in S}f_{s}(K)=K.}$$

これらの自己相似集合は、次元Dを持つ自己相似測度 μ ^{D を}持ち、その式は

$${\displaystyle \sum _{s\in S}(r_{s})^{D}=1}$$

これは多くの場合（常にではありませんが）、集合のハウスドルフ次元とパッキング次元に等しくなります。 f _s ( K )間の重なりが「小さい」場合、測度について次の簡単な式が得られます。

$${\displaystyle \mu ^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1}}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,}$$

位相幾何学では、距離の代わりに類似度を定義することで距離空間を構築できます。類似度は、2 つの点が近いほど値が大きくなる関数です (非類似度の尺度である距離とは対照的に、点が近いほど距離は小さくなります)。

類似性の定義は、どのような特性が求められるかによって著者によって異なる。基本的な共通特性は以下のとおりである。

1. ポジティブの定義:

$${\displaystyle \forall (a,b),S(a,b)\geq 0}$$

1. ある要素のそれ自身に対する類似性（自己相似性）によって決まります。

$${\displaystyle S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{and}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\Leftrightarrow a=b}$$

次のような追加のプロパティを呼び出すこともできます。

• 反射率:または${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a),}$
• 有限性:${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)<\infty .}$

上限値は 1 に設定されることが多いです (相似性の確率的解釈の可能性を作成します)。

ここで使用されている位相的な意味では、類似度は一種の測度であることに注意してください。この使用法は、この記事の § ユークリッド空間および § 一般計量空間のセクションの類似度変換と同じではありません。

自己相似性とは、パターンがそれ自体と自明でないほど類似していることを意味します。たとえば、{...、0.5、0.75、1、1.5、2、3、4、6、8、12、...}の集合は、{2 ⁱ、3·2 ⁱ }の形式で、 i はすべての整数にわたります。この集合を対数スケールにプロットすると、 1 次元の並進対称性があります。つまり、これらの数の 1 つの対数に 2 の対数を加算または減算すると、これらの数の別の対数が生成されます。与えられた数の集合自体では、これは、数が 2 で乗算または除算される相似変換に対応します。

幾何学的相似性の概念に対する直観は、すでに人間の子供たちの絵に現れています。^[21]

• 合同（幾何学）
• 螺旋の相似性
• ハミング距離（文字列またはシーケンスの類似性）
• ヘルマート変換
• 逆幾何学
• ジャカード指数
• 比例性
• 基本的な比例定理
• 意味的類似性
• 類似検索
• 類似性（哲学）
• 数値分類上の類似空間
• 同形楕円体（同心円状の相似楕円体の殻）
• 三角形の解

• ヘンダーソン、デイビッド・W. ;タイミナ、ダイナ(2005)。歴史とともに体験する幾何学/ユークリッドと非ユークリッド(第 3 版)。ピアソン・プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-143748-7。
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ウィキメディア・コモンズには、相似性 (幾何学)に関連するメディアがあります。

• 相似三角形のアニメーションによるデモンストレーション
• 相似性の基本定理 - 動的な幾何学のスケッチの図解