数学と建築

数学と建築は関連しています。他の芸術と同様に、建築家はさまざまな理由で数学を使用します。建物の設計に必要な数学とは別に、建築家は幾何学を使用します。建物の空間形状を定義するため、紀元前6世紀のピタゴラス学派以降、調和のとれた形状を作成し、数学的、美的、時には宗教的な原則に従って建物とその周囲を配置するため、モザイク細工などの数学的オブジェクトで建物を装飾するため、高層ビルの基礎周辺の風速を最小限に抑えるなどの環境目標を達成するためなどです。

古代エジプト、古代ギリシャ、インド、イスラム世界では、ピラミッド、寺院、モスク、宮殿、霊廟などの建造物は、宗教的な理由から特定の比率で配置されていました。イスラム建築では、幾何学的な形状と幾何学的なタイル張りのパターンが、建物の内外を飾るために使用されています。ヒンドゥー教の寺院の中には、部分が全体に似たフラクタルのような構造をしているものがあり、ヒンドゥー教の宇宙論における無限についてのメッセージを伝えています。中国の建築では、福建省の土楼は円形の共同防御構造です。21世紀には、数学的な装飾が再び公共の建物を覆うために使用されています。

ルネサンス建築では、レオン・バッティスタ・アルベルティ、セバスティアーノ・セルリオ、アンドレア・パラディオなどの建築家が、古代ローマのウィトルウィウスの『建築論』や古代ギリシャのピタゴラス学派の算術の影響を受けて、対称性と比率を意図的に強調しました。19世紀末には、ロシアのウラジミール・シューホフとバルセロナのアントニ・ガウディが双曲面構造の使用を先駆的に開始しました。ガウディは、サグラダ・ファミリアで、双曲放物面、テッセレーション、懸垂線アーチ、カテノイド、ヘリコイド、線織面も取り入れました。20世紀には、近代建築や脱構築主義などのスタイルが、望ましい効果を得るためにさまざまな幾何学を模索しました。デンバー国際空港のようにテントのような屋根の覆いに極小の表面が利用されてきた一方で、リチャード・バックミンスター・フラーはジオデシック・ドームとして知られる強固な薄い殻の構造の使用を先駆的に進めました。

建築家のマイケル・オストワルドとキム・ウィリアムズは、建築と数学の関係性を考慮し、一般に理解されているこれらの分野は、建築が建物を建てるという実際的な事柄に関係する職業であるのに対し、数学は純粋に数やその他の抽象的な対象の研究であるため、つながりが弱いように思われるかもしれないと指摘している。しかし、彼らは、この2つは強く結びついており、古代以来そうであったと主張している。古代ローマでは、ウィトルウィウスは建築家について、主に幾何学をはじめとするさまざまな分野に精通し、石工や大工など、他の必要なすべての分野の熟練した職人を監督できる人物と説明している。中世でも同じことが当てはまり、卒業生は、多くの職人を指導した親方によって作られた優雅なホールで、算数、幾何学、美学に加えて、文法、論理学、修辞学（トリヴィウム）の基礎シラバスを学んだ。専門分野の頂点に立つ親方には、建築家またはエンジニアの称号が与えられた。ルネサンスでは、算術、幾何学、音楽、天文学の4科目が、レオン・バッティスタ・アルベルティのようなルネサンス人に期待される追加科目となった。同様にイギリスでは、今日建築家として知られるサー・クリストファー・レンは、もともと著名な天文学者であった。^[3]

ウィリアムズとオストワルドは、ドイツの社会学者テオドール・アドルノのアプローチに従って1500年以降の数学と建築の相互作用をさらに概観し、建築家の3つの傾向を特定しています。すなわち、革命的であり、まったく新しいアイデアを導入すること、反動的であり、変化を導入しないこと、そして、リバイバル主義であり、実際に後退することです。彼らは、建築家がリバイバル時代にインスピレーションを得るために数学を参照することを避けてきたと主張しています。これは、 19世紀イギリスのゴシックリバイバルなどのリバイバル時代に、建築が数学とほとんど関係がなかった理由を説明できます。同様に、彼らは、1520年から1580年頃のイタリアのマニエリスムや、17世紀のバロックやパラディオの運動などの反動の時代には、数学がほとんど参考にされなかったと指摘しています。対照的に、未来派や構成主義などの20世紀初頭の革命的な運動は、古いアイデアを積極的に拒否し、数学を受け入れてモダニズム建築につながりました。 20世紀の終わり頃には、フラクタル幾何学や非周期的タイル張りが建築家に急速に取り入れられ、建物に興味深く魅力的な装飾を施すようになりました。^[4]

建築家が数学を使用する理由はいくつかあるが、建築工学における数学の必要不可欠な使用は別として。^[5]第一に、建築家が幾何学を使用するのは、それが建物の空間形状を定義するからである。^[6] 第二に、建築家は美しい、あるいは調和のとれたとされる形状を設計するために数学を使用する。^[7]宗教的な数の哲学を持つピタゴラス学派の時代から^{[8] 、}古代ギリシャ、古代ローマ、イスラム世界、イタリアルネサンスの建築家は、数学的、美的、時には宗教的な原理に従って、建築環境（建物とその設計された周囲）の比率を選択してきた。 ^{[9] [10] [11] [12]}第三に、建築家は建物を装飾するために、モザイク細工などの数学的オブジェクトを使用する。 ^{[13] [14]}第四に、建築家は、高層ビルの土台での渦巻く気流を最小限に抑えるなど、環境目標を達成するために、コンピュータモデリングの形で数学を使用する。^[1]

影響力のあった古代ローマの建築家ウィトルウィウスは、寺院などの建物のデザインは、比率とシンメトリアという2 つの性質に依存すると主張しました。比率は、建物の各部分が他のすべての部分と調和して関係することを保証します。ウィトルウィウスの用法におけるシンメトリアは、鏡面対称性よりも英語の用語であるモジュール性に近い意味を持ちます。これは、(モジュール) 部分を建物全体に組み立てることに関係しているからです。彼はファノのバシリカで、小さな整数、特に三角数(1、3、6、10、...) の比率を使用して、構造を(ウィトルウィウス的) モジュールに比例させています。^[a]したがって、バシリカの幅と長さは 1:2 です。周囲の通路の高さは幅と同じで 1:1 です。柱は厚さ 5 フィート、高さ 50 フィートで 1:10 です。^[9]

ウィトルウィウスは紀元前 15年頃の著書『建築論』で、建築に求められる3つの性質として、堅固さ、有用性（ヘンリー・ウォットンの17世紀の英語では「Commodity」）、そして喜びを挙げている。これらは、建築における数学の使用方法を分類するためのカテゴリとして使用できる。堅固さは、建物が確実に耐えられるように数学を使用することを包含しており、したがって、安定性を確保したり、パフォーマンスをモデル化したりするために、設計や建設をサポートするために数学的なツールが使用される。有用性は、部分的には、数学の効果的な適用、設計における空間的およびその他の関係についての推論と分析から派生する。喜びは、建物に数学的関係を具体化することで生じる、結果として生じる建物の属性であり、美的、官能的、知的な性質を含む。^[16]

ローマのパンテオンは、古代ローマの構造、バランス、装飾をそのまま残している。主な構造はドームで、頂点は光を取り入れるために円形のオクルスとして開いており、その前には三角形のペディメントのある短い列柱がある。オクルスの高さと内部の円の直径は同じで、43.3メートル（142フィート）なので、内部全体がちょうど立方体の中に収まり、内部には同じ直径の球体を収容できる。^{[17]これらの寸法は、}古代ローマの測定単位で表現するとより意味をなす。ドームの幅は150ローマフィート^[b]、オクルスの直径は30ローマフィート、出入り口の高さは40ローマフィートである。^[18]パンテオンは、世界最大の無補強コンクリートドームである。^[19]

ルネサンス建築に関する最初の論文は、レオン・バッティスタ・アルベルティが1450年に著した『建築術について』である。これは1485年に建築に関する最初の印刷本となった。これは部分的にウィトルウィウスの『建築論』とニコマコスを経てピタゴラス算術に基づいている。アルベルティは立方体から始めて、そこから比率を導き出した。したがって、面の対角線の比率は1:√2であり、立方体を囲む球の直径は1:√3である。 [ ^{20] [21]アルベルティはまた、}フィリッポ・ブルネレスキによる線遠近法の発見を記録した。これは、適切な距離から見たときに美しいバランスの建物の設計を可能にするために開発された。^[12]

次の主要なテキストは、セバスティアーノ・セルリオの『建築一般規則』である。第1巻は1537年にヴェネツィアで出版され、1545年に出版された第 1巻と第2巻では幾何学と遠近法が扱われている。セルリオの遠近法構築法のうち2つは間違っていたが、彼の作品が広く使われるのを妨げることはなかった。^[23]

1570年、アンドレア・パッラーディオはヴェネツィアで影響力のあった『建築四書』を出版した。この広く出版された本は、1624年にイギリスの外交官ヘンリー・ウォットンが著した『建築素』などの支持者の助けもあって、イタリア・ルネッサンスの思想をヨーロッパ中に広める大きな役割を果たした。^[24]ヴィラ内の各部屋の比率は、3:4や4:5などの単純な数学的比率で計算され、家の中のさまざまな部屋はこれらの比率によって相互に関連していた。初期の建築家は、単一の対称的なファサードのバランスをとるためにこれらの公式を使用していたが、パッラーディオのデザインは、通常正方形のヴィラ全体に関連していた。^{[25]パッラーディオは、} Quattro libriでさまざまな比率を認め、次のように述べている。^{[26] [27]}

最も美しく、バランスがよく、仕上がりも良い 7 つのタイプの部屋があります。円形にすることもできますが、これはまれです。正方形にすることもできます。長さが幅の正方形の対角線に等しくなるようにすることもできます。正方形と 1/3 の比率にすることもできます。正方形と 1/2 の比率にすることもできます。正方形と 2/3 の比率にすることもできます。正方形を 2 つ組み合わせることもできます。^[c]

1615年、ヴィンチェンツォ・スカモッツィは後期ルネサンス論文『普遍的な建築の理念』を出版した。^[28]彼は都市や建物のデザインをウィトルウィウスやピタゴラス派の思想、そしてより新しいパラディオの思想と関連付けようとした。^[29]

双曲面構造は、 19世紀末からウラジミール・シューホフによってマスト、灯台、冷却塔に使用されました。その印象的な形状は、美的に興味深いだけでなく、構造材料を経済的に使用して強度も備えています。シューホフの最初の双曲面塔は、1896年にニジニ・ノヴゴロドで展示されました。^{[30] [31] [32]}

20世紀初頭の近代建築運動は、ロシア構成主義^{[d] [33]}によって開拓され、直線ユークリッド（デカルトとも呼ばれる）幾何学を採用した。デ・スティル運動では、水平と垂直が普遍性を構成するものと考えられていた。建築形態は、屋根面、壁面、バルコニーを使用して、これら2つの方向性の傾向を組み合わせることで構成され、1924年にヘリット・リートフェルトが設計したリートフェルト・シュレーダー邸では、それらが互いにすれ違ったり交差したりしている。^[34]

モダニズム建築家は平面だけでなく曲線も自由に利用した。チャールズ・ホールデンが1933年に設計したアルノス駅には、レンガ造りの円形の切符売り場と平らなコンクリートの屋根がある。^[35] 1938年、バウハウスの画家モホイ＝ナジ・ラースローは、ラウル・ハインリヒ・フランセの7つの生物工学的要素、すなわち結晶、球、円錐、平面、（直方体の）帯、（円筒形の）棒、螺旋を、自然に触発された建築の基本的な構成要素として採用した。^{[36] [37]}

ル・コルビュジエは、人間の想定される身長に基づいた建築における人体測定学的比例 尺度、モデュロールを提唱した。 ^[38]ル・コルビュジエの1955年のノートルダム・デュ・オー礼拝堂は、数式では記述できない自由曲線を使用している。^{[e]その形状は、}船首や祈る手などの自然の形状を想起させると言われている。 ^{[41]デザインは最大スケールのみであり、より小さなスケールでは詳細の階層はなく、したがってフラクタル次元もない。同じことは、}シドニー・オペラハウス、デンバー国際空港、ビルバオ・グッゲンハイム美術館など、他の有名な20世紀の建物にも当てはまる。^[39]

2010年の世界建築調査に回答した90人の一流建築家の意見によれば、現代建築は非常に多様であり、最も優れていると判断されたのはフランク・ゲーリーのビルバオ・グッゲンハイム美術館であった。^[42]

1995年に完成したデンバー国際空港のターミナルビルには、鋼鉄ケーブルによって最小の曲率（つまり平均曲率がゼロ）として支えられた布張りの屋根がある。コロラドの雪を頂いた山々とネイティブアメリカンのティピーテントを彷彿とさせる。^{[43] [44]}

建築家リチャード・バックミンスター・フラーはジオデシック・ドームと呼ばれる強固な薄い殻の構造物を設計したことで有名である。モントリオール・バイオスフィア・ドームは高さ61メートル（200フィート）、直径76メートル（249フィート）である。^[45]

シドニーオペラハウスの屋根は、船の帆を思わせる高くそびえる白いアーチ型天井でできており、標準的な部品を使用して建設できるように、アーチ型天井はすべて同じ半径の球殻の三角形の断面でできています。これらは、どの方向にも均一な曲率を持っています。 ^[46]

20世紀後半の運動であるデコンストラクティビズムは、フランク・ゲーリーのディズニーコンサートホールやビルバオのグッゲンハイム美術館のように、平行でない壁、重ね合わせたグリッド、複雑な2次元表面を使用することで、ニコス・サリンガロスが『建築理論』でランダムな形状と呼ぶ^[47]高度に複雑な^[48]ものを意図的に作り出している。^{[49] [50] 20世紀まで、建築を学ぶ学生は数学の基礎を身につけることが義務付けられていた。サリンガロスは、最初は「過度に単純化された、政治的に動かされた」}モダニズム、次に「反科学的な」デコンストラクティビズムが建築と数学を事実上切り離したと主張する。彼は、この「数学的価値の逆転」は有害であると考えている。なぜなら、非数学的建築の「浸透した美学」は、人々に「建築環境における数学的情報を拒否するように」訓練するからであり、これが社会に悪影響を及ぼすと彼は主張している。^[39]

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  新しい客観性：ヴァルター・グロピウスのバウハウス、デッサウ、1925年
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  シリンダー：チャールズ・ホールデンのアーノス・グローブ地下鉄駅、1933年
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  モダニズム:ル・コルビュジエのノートルダム・デュ・オー礼拝堂、1955 年
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  ジオデシック ドーム:モントリオール バイオスフィア、 R. バックミンスター フラー著、1967 年
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  均一な曲率：シドニーオペラハウス、1973年
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  脱構築主義：ディズニーコンサートホール、ロサンゼルス、2003年

古代エジプトのピラミッドは数学的な比率で造られた墓であるが、それがどのような比率であったか、またピタゴラスの定理が使用されたかどうかについては議論がある。ギザの大ピラミッドの斜高と底辺の長さの半分の比率は、黄金比から1%未満である。^[51]これが設計方法であった場合、ケプラーの三角形（面角51°49'）の使用を意味することになるが、^{[51] [52]多くの}科学史家によると、黄金比はピタゴラス学派の時代まで知られていなかった。^[53]

いくつかのピラミッドの比率は、リンド数学パピルス（紀元前1650年～1550年頃）で知られる3:4:5の三角形（面角53°8'）に基づいていた可能性もあります。これは、1882年に歴史家モーリッツ・カンターによって初めて推測されました。 ^[54]古代エジプトでは、測定に結び目のある紐を使用して直角が正確に配置されていたことが知られています。 ^{[ 54]}プルタルコスはイシスとオシリス（紀元後100年頃）の中で、エジプト人が3:4:5の三角形を賞賛していたと記録しています。 ^[54]また、紀元前1700年より前の巻物には基本的な平方の公式が示されていました。^{[55] [f]}歴史家ロジャー・L・クックは「ピタゴラスの定理を知らずにこのような条件に興味を持つ人がいるとは考えにくい」と述べているが、紀元前300年以前のエジプトの文献には三角形の辺の長さを求めるためにこの定理を使ったことは実際には記載されておらず、直角を作るにはもっと簡単な方法があるとも指摘している。クックはカントルの推測は不確かなままであると結論付けている。彼は古代エジプト人はおそらくピタゴラスの定理を知っていただろうと推測しているが、「彼らが直角を作るためにそれを使ったという証拠はない」としている。^[54]

インドの古代建築と都市計画の規範であるヴァーストゥ・シャーストラは、マンダラと呼ばれる対称的な図面を採用しています。建物とその構成要素の寸法を決定するために複雑な計算が使用されています。デザインは、幾何学模様（ヤントラ）、対称性、方向配置を利用して、建築と自然、構造のさまざまな部分の相対的な機能、古代の信仰を統合することを目的としています。^{[56] [57]}しかし、初期の建築家は偶然に数学的な比率に出会った可能性があります。数学者のジョルジュ・イフラは、紐と杭を使った簡単な「トリック」を使用して、楕円や直角などの幾何学的形状を配置できると述べています。^{[12] [58]}

フラクタルの数学は、既存の建物が普遍的な魅力を持ち、視覚的に満足できる理由は、見る人に異なる視距離でのスケール感を与えるからであることを示すために使用されてきた。例えば、7世紀に建てられたハンピのヴィルパークシャ寺院やカジュラホのカンダリヤ・マハデフ寺院などのヒンズー教寺院の高いゴプラム門では、部分と全体が同じ特徴を持ち、フラクタル次元は1.7から1.8の範囲である。シヴァ神の住まいである聖なるカイラス山を表す最も高い中央の塔の周りの小さな塔（シカラ、文字通り「山」）の集まりは、ヒンズー教の宇宙論における宇宙の無限の繰り返しを表現している。^{[2] [59]}宗教学者ウィリアム・J・ジャクソンは、塔がより小さな塔にグループ化され、それら自体がさらに小さな塔にグループ化されているパターンについて次のように観察した 。

優雅に巧みに作られた理想的な形は、存在と意識の無限に上昇するレベル、超越に向かって上昇するサイズの拡大、そして同時に内部の奥深くに神聖なものを収容することを示唆しています。^{[59] [60]}

ミーナクシ・アンマン寺院は、多数の祠堂を有する大規模な複合施設で、マドゥライの街路はシャーストラに従って寺院の周囲を同心円状に巡っている。4つの門は、ハンピと同様にフラクタルのような繰り返し構造を持つ背の高い塔（ゴープラム）である。各祠堂の囲いは長方形で、高い石壁に囲まれている。^[61]

ピタゴラス（紀元前569年頃 - 紀元前475年頃）と彼の弟子であるピタゴラス派は、「万物は数である」と考えていた。彼らは、特定の小整数比の周波数を持つ音符が生み出すハーモニーを観察し、建物もそのような比率で設計すべきだと主張した。ギリシャ語の「シンメトリア」は、もともと建物の細部から全体のデザインに至るまで、建築形状が正確な比率で調和していることを意味していた。^[12]

パルテノン神殿は長さ 69.5 メートル (228 フィート)、幅 30.9 メートル (101 フィート)、コーニスまでの高さ 13.7 メートル (45 フィート) である。幅と長さの比率は 4:9、高さと幅の比率も同じである。これらを合わせると、高さ:幅:長さは 16:36:81 となり、ピタゴラス学派^{[62]を喜ばせた 4 2} :6 ² :9 ²となる。これによりモジュールは 0.858 メートルに設定される。4:9 の長方形は、3:4 の比率の辺を持つ 3 つの隣接する長方形として構築できる。各半長方形は便利な 3:4:5 の直角三角形となり、適切に結んだロープで角度と辺をチェックできる。内部エリア（ナオス）も同様に4:9の比率（幅21.44メートル（70.3フィート）、長さ48.3メートル）であり、外側の柱の直径1.905メートル（6.25フィート）と柱の中心間隔4.293メートル（14.08フィート）の比率も4:9である。^[12]

パルテノン神殿は、ジョン・ジュリアス・ノーウィッチなどの著述家によって「これまでに建てられた最も完璧なドーリア式神殿」とみなされている。^[63]その精巧な建築的洗練には、「基壇の湾曲、本堂の壁の先細り、柱のエンタシスの間の微妙な一致」が含まれる。^[63] エンタシスとは、柱が上に行くにつれて直径が微妙に小さくなることを意味する。基壇とは、柱が立つ台座である。他の古代ギリシャの神殿と同様に、^[64]この台座は、雨水を流し、地震に対して建物を強化するために、わずかに上向きに放物線状に湾曲している。したがって、柱は外側に傾いていると思われるかもしれないが、実際にはわずかに内側に傾いており、そのまま進むと、建物の中心から約 1.5 キロメートル上方で柱が出会うことになる。柱はすべて同じ高さであるため、基壇の外側の端の湾曲は、その上のアーキトレーブと屋根に伝わる。「すべてが繊細な曲線で建てられるという規則に従っている」。^[65]

黄金比は紀元前300年にユークリッドが幾何学構築法を説明した頃に知られていました。 ^[66]パルテノン神殿やその他の古代ギリシャの建造物、彫刻、絵画、花瓶のデザインには黄金比が使われていたと主張されてきました。^{[67]しかし、}ニコス・サリンガロスなどの最近の著者は、これらの主張に疑問を抱いています。^{[68]コンピューター科学者のジョージ・マーコウスキーによる実験では、}黄金長方形の好みは見つかりませんでした。^[69]

イスラム美術の歴史家アントニオ・フェルナンデス・プエルタスは、アルハンブラ宮殿はコルドバの大メスク^[70]と同様に、約0.62メートル（2.0フィート）のスペイン・イスラムのフィート、つまりコドを使用して設計されたと示唆している。宮殿のライオンの中庭では、比率は一連の無理数に従っている。辺が1と√2の長方形の対角線は（ピタゴラスの定理により）√3であり、これは中庭の辺によって作られる直角三角形を記述する。この数列は√4 （1 : 2の比率となる）、√5、と続く。装飾パターンも同様の比率で、√2は円と八芒星の中に正方形を生成し、√3は六芒星を生成する。アルハンブラ宮殿で黄金比が使用されたという以前の主張を裏付ける証拠はない。^{[10] [71]}ライオンの中庭は、2人の姉妹のホールとアベンセラヘスのホールに囲まれており、これら2つのホールの中心とライオンの中庭の4つの内側の角から正六角形を描くことができます。^[72]

トルコのエディルネにあるセリミエ・モスクは、ミマール・スィナンによって、建物のどこからでもミフラーブが見える空間を提供するために建てられました。非常に広い中央の空間は、8本の巨大な柱で形成された八角形として配置され、直径31.25メートル（102.5フィート）、高さ43メートル（141フィート）の円形ドームで覆われています。八角形は4つの半ドームで正方形に形成され、外側には高さ83メートル（272フィート）の非常に高いミナレットが4つあります。したがって、建物の平面図は、正方形の中に八角形の中に円があります。^[73]

ムガル建築は、廃墟となった帝国都市ファテープル・シークリーやタージ・マハル複合施設に見られるように、独特の数学的秩序と対称性と調和に基づいた強い美的感覚を持っている。^{[11] [74]}

タージ・マハルはムガル建築の典型であり、楽園を表現し^[75]、その規模、対称性、高価な装飾を通してムガル帝国の皇帝 シャー・ジャハーンの権力を誇示しています。ピエトラ・ドゥーラで飾られた白い大理石の霊廟、大門 (ダルワザ・イ・ラウザ)、その他の建物、庭園、小道が一体となって、統一された階層的なデザインを形成しています。建物には、西側に赤砂岩のモスクがあり、東側にはほぼ同一の建物であるジャワブ (「答え」) があり、複合施設の左右対称性を維持しています。正式なチャルバグ(四重の庭園) は 4 つの部分に分かれており、楽園の 4 つの川を象徴し、霊廟の景色と反射を提供しています。これらは順に 16 のパーテールに分かれています。^[76]

タージ・マハルの複合施設は、格子状にレイアウトされ、さらに小さな格子に分割されている。建築史家のコッホとバラードは、複合施設の幅は 374 ムガルヤードまたはガズ[g] であるとする伝統的な説明に同意している。^[g]主要エリアは 374 ガズの正方形 3 つである。これらは、バザールやキャラバンサライなどのエリアで 17 ガズのモジュールに分割され、庭園とテラスは 23 ガズのモジュールで、幅は 368 ガズ (16 x 23) である。霊廟、モスク、ゲスト ハウスは 7 ガズの格子状に配置されている。コッホとバラードは、複合施設で繰り返し使用される八角形に 7 単位の辺を与えると 、幅は 17 単位になる、と指摘している^[h]。これは、複合施設の比率の選択を説明するのに役立つかもしれない。^[77]

ビザンチン（現在のイスタンブール）にあるキリスト教 総主教 聖堂であるアヤソフィアは、537年に最初に建設され（その後2度再建）、1000年にわたって最大の大聖堂でありました^{[i] 。これは、}スルタンアフメトや市内の他のモスクなど、後の多くの建物に影響を与えました。ビザンチン建築には、円形のドームと2つの半ドームで覆われた身廊があり、すべて同じ直径（31メートル（102フィート））で、さらに5つの小さな半ドームが後陣と広大な長方形の内部の4つの丸い角を形成しています。^[78]中世の建築家はこれを、下方の俗世（正方形の基部）と上方の神聖な天国（そびえ立つ球形のドーム）を表すと解釈しました。^[79]ユスティニアヌス帝は、ミレトスのイシドールスとトラレスのアンテミウスという2人の幾何学者を建築家として雇いました。イシドールスは立体幾何学に関するアルキメデスの著作を編纂しており、アルキメデスの影響を受けた。^{[12] [80]}

キリスト教における水による洗礼の重要性は、洗礼堂建築の規模に反映されている。最も古いのは440年に建てられたローマのラテラン洗礼堂^[81]で、八角形の洗礼堂の流行を作った。これらの建物内の洗礼盤はしばしば八角形であったが、 1152年から1363年の間に建てられたピサのイタリア最大の洗礼堂は円形で、八角形の洗礼盤がある。高さは54.86メートル（180.0フィート）、直径は34.13メートル（112.0フィート）（比率は8:5）である。^[82] 聖アンブローズは、洗礼盤と洗礼堂が八角形であるのは、「8日目に^[j]キリストが復活して死の束縛を解き、死者を墓から迎え入れるからである」と書いている。^{[83] [84]} 聖アウグスティヌスも同様に、第8日目を「キリストの復活によって神聖化された永遠の日」と表現した。 ^{[84] [85]}フィレンツェにある八角形のサン・ジョヴァンニ洗礼堂は、1059年から1128年の間に建てられ、フィレンツェで最も古い建物の一つであり、古典古代の直接の伝統を受け継ぐ最後の建造物の一つである。フランチェスコ・タレンティ、アルベルティ、ブルネレスキなどの主要な建築家が古典建築のモデルとして使用したため、その後のフィレンツェルネッサンスに大きな影響を与えた。^[86]

5という数字は、1721年にチェコ共和国のジュジャール・ナド・サーザヴォウ近郊ゼレナー・ホラに建てられた、ヤン・ブラジェイ・サンティーニ・アイヘル設計による聖ヨハネ・ネポムツキー巡礼教会で「あふれんばかりに^」使われている[87]。身廊は円形で、5対の柱と5つの楕円形のドームと交互に尖頭後陣が並んでいる。教会にはさらに5つの門、5つの礼拝堂、5つの祭壇、5つの星がある。伝説によると、聖ヨハネ・ネポムツキーが殉教したとき、彼の頭上に5つの星が現れたという。^{[87] [88]} 5重の建築は、キリストの5つの傷と「Tacui」（ラテン語で「私は沈黙を守った」[告解の秘密について]）の5つの文字を象徴している可能性もある。^[89]

アントニ・ガウディは、1882年に着工し2023年時点で未完成のバルセロナのサグラダ・ファミリアで、極小曲面を含む様々な幾何学構造を採用している。これらには、双曲放物面や回転双曲面[90]、テッセレーション、懸垂線アーチ、カテノイド、ヘリコイド、線織面などがある。この多様な幾何学の組み合わせ^は、教会のあちこちで様々な方法で創造的に組み合わされている。例えば、サグラダ・ファミリアの受難のファサードでは、ガウディは双曲放物面の形で石の「枝」を組み立てており、枝は頂点（準線）で重なり合っているものの、一点で交わることはない。対照的に、列柱には双曲放物面があり、他の構造と滑らかに結合して無限の面を形成している。さらにガウディは、木の形から派生した柱や、溶融岩から冷却されて自然に割れた未改変の玄武岩で作られた六角柱など、それ自体が数学的な自然のパターンを活用しています。^{[91] [92] [90]}

1971年に建てられたサンフランシスコの聖マリア被昇天大聖堂は、 8つのセグメントの双曲放物面から成る鞍型屋根を持ち、屋根の下部の水平断面は正方形、上部の断面はキリスト教の十字架となっている。建物は正方形で、一辺は77.7メートル（255フィート）、高さは57.9メートル（190フィート）。^[93]オスカー・ニーマイヤーによる1970年のブラジリア大聖堂は、双曲面構造を別の方法で使用している。重さがそれぞれ90トンの16本の同一のコンクリート梁^[k]が円形に配置され、回転双曲面を形成し、白い梁は天に祈る手のような形を作っている。外からはドームだけが見える。建物の大部分は地下にある。^{[94] [95] [96] [97]}

スカンジナビアの中世の教会の多くは円形で、デンマークのボーンホルム島には4つある。これらの教会のうち最も古いものの一つである 1160年頃のオースターラー教会は、巨大な円形の石柱を囲む円形の身廊を持ち、その周囲にはアーチが開けられ、フレスコ画で飾られている。円形の建物は3階建てで、最上階は防御のために使われ、要塞化されていたようだ。^{[98] [99]}

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  イスタンブールのアヤソフィアの身廊の天井（注釈）、562
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  フィレンツェの八角形のサン・ジョヴァンニ洗礼堂は1128年に完成しました。
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  5 重対称性:ヤン・サンティーニ・アイヘルのゼレナー・ホラの聖ヨハネ・ネポムツキー巡礼教会、1721 年
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  バルセロナ、アントニ・ガウディのサグラダ・ファミリアの情熱的なファサード、1882 年に建設開始
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  オスカー ニーマイヤーのブラジリア大聖堂、1970 年
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  サンフランシスコの聖マリア被昇天大聖堂、1971年
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  デンマーク、ボーンホルム島にあるオースターラース 北欧円形教会の中央の柱

イスラム建築は、通常、無地または縞模様の陶器タイル（ギリ、ゼリゲ）で作られた、いくつかの数学的なモザイク模様を利用した幾何学模様で飾られることが多い。 ^[12] 6、8、または8の倍数の尖端を持つ星などの対称性がイスラム模様で使われる。これらのいくつかは、「ハテム・スレイマニ」またはソロモンの印章のモチーフに基づいている。これは、同じ中心で一方が他方から45度回転した2つの正方形で作られた8つの尖った星である。^[100]イスラム模様は、17の可能な壁紙グループの多くを利用している。1944年には早くもエディス・ミュラーがアルハンブラ宮殿の装飾に11の壁紙グループを使用したことを示しており、1986年にはブランコ・グリュンバウムがアルハンブラ宮殿で13の壁紙グループを発見したと主張し、残りの4つのグループはイスラムの装飾のどこにも見られないと主張して物議を醸した。^[100]

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  シェイク・ロトフォラー・モスク（エスファハーン州）のムカルナス天井の複雑な幾何学的形状とタイル張り（1603～1619年）
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  2015年に建設中のルーブル・アブダビ。ドームは八角形、三角形、四角形の星の層で構成されている。

20世紀末にかけて、フラクタル幾何学や非周期的タイル張りなどの新しい数学的構成が、建物に興味深く魅力的な覆いを提供するために建築家に採用されました。^[4] 1913年、モダニズム建築家アドルフ・ロースは「装飾は犯罪である」と宣言し、^[101] 20世紀の残りの建築思想に影響を与えました。21世紀には、建築家は再び装飾の使用を模索し始めています。21世紀の装飾は非常に多様です。ヘニング・ラーセンが2011年にレイキャビクに建てたハルパ・コンサート＆カンファレンスセンターには、大きなガラスのブロックでできた水晶のような岩の壁があります。^[101]フォーリン・オフィス・アーキテクツが2010年にロンドンに建てたレイブンズボーン・カレッジは、赤、白、茶色の陽極酸化アルミニウムタイル28,000枚で装飾的にモザイク状に並べられ、さまざまなサイズの円形の窓が連結されています。モザイクタイルは、正三角形と不規則な五角形2つの3種類のタイルを使用しています。^{[102] [103] [l]}工藤和美の金沢海みらい図書館は、無地のコンクリートの壁に小さな円形のガラスブロックをはめ込んだ装飾的なグリッドを作り出しています。^[101]

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  レイヴンズボーン・カレッジ、ロンドン、2010年
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  ハルパコンサート＆カンファレンスセンター、アイスランド、2011年
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  金沢海みらい図書館、日本、2011年
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  ソウマヤ美術館、メキシコ、2011年

要塞の建築様式は、高い石積みの壁を持つ中世の要塞から、 15世紀半ばから19世紀の間に砲撃に耐えられる低く対称的な星型の要塞へと進化した。星型の形状は、攻撃側の歩兵が防御側の射撃から身を隠すことができるデッドゾーンを回避する必要性から決定された。突出部の側面は、そのような射撃が地面を掃射できるように、また各突出部を超えて（両側から）十字砲火を提供できるように角度が付けられていた。このような防御を設計した有名な建築家には、ミケランジェロ、バルダッサーレ・ペルッツィ、ヴィンチェンツォ・スカモッツィ、セバスチャン・ル・プレストル・ド・ヴォーバンがいる。^{[104] [105]}

建築史家ジークフリート・ギーディオンは、星型の要塞がルネサンス期の理想都市のパターン形成に形成的な影響を与えたと主張した。「ルネサンスは、フィラレーテからスカモッツィまで1世紀半にわたってすべてのユートピア計画に印象づけられた1つの都市タイプに魅了されました。それが星型都市です。」^[106]

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  クーフォルデン要塞計画。17 世紀
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  イタリア、パルマノーヴァ、星型要塞内のヴェネチアの都市。17世紀
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  ヌフ・ブリザック、アルザス、ヴォーバン要塞群の一つ

中国建築では、福建省の土楼は円形の共同防御構造で、主に無地の壁と一枚の鉄板張りの木製の扉があり、その一部は16世紀に遡る。壁の上には外側と内側に緩やかに傾斜した屋根が載り、リングを形成している。円の中心には石畳の開放的な中庭があり、井戸が設置されていることが多く、周囲を5階建ての木造回廊が取り囲んでいる。^[107]

建築家は、環境目標を満たすために建物の形状を選択することもある。^[87]たとえば、フォスター・アンド・パートナーズがロンドンに建てたセント・メアリー・アクス30 号は、キュウリのような形から「ガーキン」と呼ばれ、パラメトリックモデリングを使用して設計された回転体である。その形状は、単に美観上の理由からではなく、基礎部分の空気の渦流を最小限に抑えるために選択された。建物の表面は明らかに曲面であるが、上部のレンズを除いて、建物の外壁を形成するガラスのパネルはすべて平らである。パネルのほとんどは四角形であるが、これは三角形のパネルよりも長方形のガラスから切り出す方が無駄が少ないためである。^[1]

ペルシアの 伝統的なヤフチャル（氷穴）は蒸発冷却器として機能した。地上ではドーム型の構造だが、地下には氷や時には食料を保管するスペースがあった。地下空間と厚い耐熱構造により、貯蔵スペースは一年中断熱されていた。内部空間は風よけでさらに冷却されることが多かった。^[108]

• ブラックロックシティ
• 数学と芸術
• 自然のパターン

• Nexus ネットワークジャーナル: 建築と数学オンライン
• 国際芸術・数学・建築協会 2016年3月4日アーカイブウェイバックマシン
• セントアンドリュース大学：数学と建築学
• シンガポール国立大学：芸術と建築における数学
• ダートマス大学：芸術と建築における幾何学 2020年2月24日アーカイブウェイバックマシン