仮説的三段論法

仮説的三段論法

タイプ	三段論法
分野	命題計算 古典論理 直観主義論理 関連性ロジックのほとんどのシステム
声明	、およびのインスタンスが証明の行に現れるときはいつでも、を後続の行に配置できます。${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle Q\to R}$${\displaystyle P\to R}$
象徴的な声明	${\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}}$

古典論理学では、仮説的三段論法は、前提の一方または両方に条件文を伴う演繹的三段論法であり、有効な議論形式である。古代の文献では、この種の三段論法の最初の研究として、テオプラストスとエウデモスの著作が挙げられている。^{[1] [2]}

仮説的三段論法には、混合型と純粋型の 2 種類があります。混合型仮説的三段論法には、2 つの前提があります。1 つの条件文と、その条件文の前提または結果を肯定または否定する 1 つの文です。たとえば、

PならばQ。

P.

∴ Q.

この例では、最初の前提は条件文であり、「P」が先行条件で、「Q」が後続条件です。2 番目の前提は先行条件を「肯定」します。後続条件が真でなければならないという結論は演繹的に 有効です。

混合仮説三段論法には 4 つの形式があり、そのうち 2 つは有効ですが、他の 2 つは無効です。有効な混合仮説三段論法は、前提を肯定するか ( modus ponens )、または結論を否定します ( modus tollens )。無効な仮説三段論法は、結論を肯定するか (逆の誤謬)、または前提を否定します(逆の誤謬)。

純粋仮説的三段論法は、前提と結論の両方が条件文である三段論法です。条件文が有効であるためには、一方の前提の先行条件が他方の前提の帰結と一致していなければなりません。したがって、条件文には先行条件として残った先行条件と帰結として残った帰結が含まれます。

PならばQ。

QならR。

∴ PならばR。

英語での例:

起きないと仕事に行けません。

仕事に行けなかったら給料はもらえません。

したがって、起きなければ給料はもらえません。

命題論理において、仮説三段論法は有効な推論規則の名前です( HSと略されることが多く、連鎖論証、連鎖規則、または含意の推移性の原理と呼ばれることもあります)。この規則は次のように述べられます。

${\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}}$

言い換えれば、証明の行に「 」および「 」が現れるたびに、「」を後続の行に配置できます。 ${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle Q\to R}$${\displaystyle P\to R}$

仮説三段論法の規則は、古典論理、直観論理、ほとんどの関連性論理システム、および他の多くの論理システムで当てはまります。ただし、非単調論理、確率論理、デフォルト論理など、すべての論理で当てはまるわけではありません。その理由は、これらの論理は破棄可能な推論を記述し、現実世界のコンテキストに現れる条件文では通常、例外、デフォルトの仮定、他の条件が不変の条件、または単純な不確実性が許容されるためです。

^{アーネスト・W・アダムス[3]}から引用した例

1. ジョーンズ氏が選挙に勝てば、スミス氏は選挙後に引退するだろう。
2. スミスが選挙前に亡くなった場合、ジョーンズが選挙に勝つだろう。
3. スミス氏が選挙前に亡くなった場合、スミス氏は選挙後に引退するだろう。

明らかに、(3)は(1)と(2)から導かれるものではない。(1)はデフォルトでは真だが、スミスが死ぬという例外的な状況では成り立たない。実際には、現実世界の条件文は常にデフォルトの仮定や文脈を伴う傾向があり、真にならない可能性のある例外的な状況をすべて特定することは実行不可能、あるいは不可能な場合がある。同様の理由で、仮説的三段論法の規則は反事実的条件文には当てはまらない。

仮説的三段論法の推論規則は、カット規則の特殊化に相当する シーケント記法で記述することができます。

${\displaystyle {\frac {P\vdash Q\quad Q\vdash R}{P\vdash R}}}$

ここで、 は、何らかの論理システムにおけるの統語的帰結であるメタ論理記号および意味です。 ${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle A\vdash B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

真理関数トートロジーまたは命題論理の定理として表現される：

${\displaystyle ((P\to Q)\land (Q\to R))\to (P\to R)}$

ここで、、、は何らかの形式体系で表現された命題です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$

含意と否定を伴う古典的な命題計算システム（つまり接続記号なし） に便利な、仮説三段論法の別の形式は次のとおりです。

（HS1）${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$

さらに別の形式は次のとおりです。

（HS2）${\displaystyle (P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))}$

このようなシステムにおけるこれらの定理の証明の例を以下に示します。ここでは、 Jan Łukasiewiczによって記述された人気のシステムの 1 つで使用される 3 つの公理のうち 2 つを使用します。証明は、このシステムの 3 つの公理のうち 2 つに依存します。

（A1）${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

（A2）${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

(HS1)の証明は次のとおりです。

（１）       （（Ａ１）の例）${\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

（２）       （（Ａ２）の例）${\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

（３） （（１）と（２）からモーダスポネンス       により）${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

（４）       （（Ａ２）の例）${\displaystyle ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))\to (((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

（５） （（３）と（４）からモーダスポネンス       により）${\displaystyle ((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

（６）       （（Ａ１）の例）${\displaystyle (q\to r)\to (p\to (q\to r))}$

（７） （（５）と（６）からモーダスポネンスにより）${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(HS2) の証明はここに示されています。

および の形式の定理が 2 つあるときは、 次の手順で 証明できます。${\displaystyle T_{1}=(Q\to R)}$${\displaystyle T_{2}=(P\to Q)}$${\displaystyle (P\to R)}$

（１）       （上で証明された定理の例）${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R)))}$

（２）       （（Ｔ１）の例）${\displaystyle Q\to R}$

（３）       （（１）と（２）からモーダスポネンスにより）${\displaystyle (P\to Q)\to (P\to R)}$

（４）       （（Ｔ２）の例）${\displaystyle P\to Q}$

（５）       （（３）と（４）からモーダスポネンスにより）${\displaystyle P\to R}$

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• 三段論法の種類（選言的、仮説的、法的、多段的、前段的、準段的、統計的）

• 哲学索引: 仮説的三段論法