多重一般性の問題

多重一般性の問題とは、複数の量化子を含む妥当な推論を記述する上で、従来の論理学に想定される^{[ 1 ]}欠陥を指す。例えば、次のような場合、直感的に明らかである。

ネズミは皆、猫を恐れている

すると論理的に次のことが導かれる。

すべてのネズミは少なくとも一匹の猫を恐れている。

伝統的な論理（TL）の構文では、量化子は正確に1つしか許容されません。つまり、文の種類は「すべてのAはBである」、「AはBではない」、「Aの中にはBであるものがある」、「Aの中にはBではないものがある」の4種類です。上記の文はそれぞれ2つの量化子（最初の文では「some」と「every」、2番目の文では「all」と「at least one」）を含んでいるため、TLでは適切に表現できません。TLでできる最善の方法は、各文の2番目の量化子を2番目の項に組み込むことです。そのため、「すべてのネズミに恐れられている」や「少なくとも1匹の猫を恐れている」といった不自然な表現になります。これは事実上、推論の妥当性に不可欠なこれらの量化子をハイフンでつないだ項の中に「埋め込む」ことになります。したがって、「ある猫はすべてのネズミに恐れられている」という文は、「ある猫は空腹である」という文と同じ論理形式になります。したがって、TLにおける論理形式は次のようになります。

A評価の中にはB評価のものもある

CはすべてDです

これは明らかに無効である。

このような推論を扱うことができた最初の論理計算は、ゴットロープ・フレーゲの『概念論』 （1879年）であり、これは現代述語論理の祖先であり、変数束縛によって量化子を扱った。フレーゲ自身は、自身の論理が既存の論理計算よりも表現力に優れているとは主張しなかったが、フレーゲの論理に関する論者は、これを彼の重要な業績の一つ​​とみなしている。

現代の述語論理を用いると、この命題が曖昧であることがすぐにわかる。

ネズミは皆、猫を恐れている

「（ある猫は）すべてのネズミに恐れられている（言い換えれば、すべてのネズミは猫を恐れている）」という意味かもしれない。

すべてのネズミ m に対して、m が恐れる猫 c が存在する。

${\displaystyle \forall m\,(\,{\text{Mouse}}(m)\rightarrow \exists c\,({\text{Cat}}(c)\land {\text{Fears}}(m,c))\,)}$

その場合、結論は自明である。

しかし、それは「ある猫は（すべてのネズミに恐れられている）」という意味にもなり得る（言い換えれば「すべてのネズミに恐れられている猫がいる」）。

ある一匹の猫cが存在し、すべてのネズミmに対して、cはmに恐れられている。

${\displaystyle \exists c\,(\,{\text{Cat}}(c)\land \forall m\,({\text{Mouse}}(m)\rightarrow {\text{Fears}}(m,c))\,)}$

この例は、すべてのに対して、そしてが存在するように、そのような量化子のスコープを指定することの重要性を示しています。

• パトリック・サップス著、『論理学入門』、D.ヴァン・ノストランド社、1957年、ISBN 978-0-442-08072-3。
• A.G.ハミルトン著『数学者のための論理学』ケンブリッジ大学出版局、1978年、ISBN 0-521-29291-3。
• Paul Halmosおよび Steven Givant、『代数としての論理』、MAA、1998 年、ISBN 0-88385-327-2。