論理的帰結

論理的帰結（含意または論理的含意とも呼ばれる）は、論理学における基本的な概念であり、1つ以上の命題から1つの命題が論理的に導かれる場合に真となる命題間の関係を記述する。有効な論理的議論とは、結論が前提から導かれる議論である。なぜなら、結論は前提の帰結だからである。論理的帰結の哲学的分析には、次の質問が含まれる。結論はどのような意味で前提から導かれるのか？そして、結論が前提の帰結であるとはどういう意味か？^{[ 1 ]}哲学的論理学のすべては、論理的帰結の性質と論理的真理の性質の説明を提供することを目的としている。^{[ 2 ]}

論理的帰結は、形式的証明と解釈モデルで説明する例によって、必要かつ形式的である。^{[ 1 ]}ある文が、与えられた言語の文の集合の論理的帰結であるとは、論理のみを使用して（つまり、文の個人的な解釈を考慮せずに）、集合内のすべての文が真である場合にその文が真でなければならない場合に限る。^{[ 3 ]}

論理学者は、特定の言語に関する論理的帰結について正確な説明を行う。$\displaystyle {\mathcal {L}}}$演繹システムを構築することによって$\displaystyle {\mathcal {L}}}$または言語の形式的意図された意味論によって$\displaystyle {\mathcal {L}}}$ポーランドの論理学者アルフレッド・タルスキは、含意の適切な特徴づけの3つの特徴を特定した。(1) 論理的帰結関係は文の論理形式に依存する。(2) その関係はアプリオリである、つまり、経験的証拠（感覚経験）の有無にかかわらず決定できる。(3) 論理的帰結関係には様相的要素がある。^{[ 3 ]}

論理的帰結を説明する最良の方法として最も広く受け入れられている見解は、形式主義に訴えることである。つまり、命題が論理的に導き出されるかどうかは、その命題の構造、すなわち論理形式に依存し、その形式の内容には関係ないという考え方である。

論理的帰結の構文的説明は、推論規則を用いた図式に基づいている。例えば、有効な議論の論理形式は次のように表現できる。

すべてのXはYである

すべてのYはZです

したがって、すべてのXはZである。

この議論は形式的に妥当である。なぜなら、この方式を用いて構築された議論はすべて妥当だからである。

これは、「フレッドはマイクの兄弟の息子である。したがって、フレッドはマイクの甥である」という議論とは対照的です。この議論は「兄弟」、「息子」、「甥」という言葉の意味に依存しているため、「フレッドはマイクの甥である」という文は、「フレッドはマイクの兄弟の息子である」のいわゆる実質的帰結であり、形式的帰結ではありません。形式的帰結はすべての場合において真でなければなりませんが、これは形式的帰結の不完全な定義です。なぜなら、「PはQの兄弟の息子である。したがって、PはQの甥である」という議論もすべての場合において妥当ですが、形式的議論ではないからです。^{[ 1 ]}

もしそれが分かっているならば${\displaystyle Q}$論理的に${\displaystyle P}$そうなると、考えられる解釈についての情報は得られない。${\displaystyle P}$または${\displaystyle Q}$それはその知識に影響を与えるでしょう。私たちの知識は${\displaystyle Q}$論理的な帰結${\displaystyle P}$経験的知識に影響されない。^{[ 1 ]}演繹的に妥当な議論は、経験に頼ることなく妥当であることが分かるので、アプリオリに知ることができるはずである。^{[ 1 ]}しかし、形式性だけでは、論理的帰結が経験的知識に影響されないことが保証されるわけではない。したがって、論理的帰結のアプリオリな性質は、形式性とは無関係であると考えられている。^{[ 1 ]}

論理的帰結の説明を提供する主な手法は、証明とモデルを用いて概念を表現することである。構文的帰結（論理の）の研究は証明理論と呼ばれ、意味論的帰結の研究はモデル理論と呼ばれる。^{[ 4 ]}

論理的帰結の様相論的説明は、以下の基本概念のバリエーションである。

${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle A}$は、すべての要素が${\displaystyle \Gamma }$が真実であれば、${\displaystyle A}$それは本当です。

あるいは（そして、ほとんどの人が同等と言うだろう）：

${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle A}$は、すべての要素に対して不可能である場合に限り真である。${\displaystyle \Gamma }$真実であり、${\displaystyle A}$間違い。

このような説明は、論理的必然性と論理的可能性という様相概念に依拠するため、「様相的」と呼ばれます。「～であることは必然である」は、しばしば可能世界に対する普遍量化子として表現されるため、上記の説明は次のように翻訳されます。

${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle A}$は、すべての要素が${\displaystyle \Gamma }$真実であり、${\displaystyle A}$偽（真実ではない）です。

上記の例として挙げた議論を例にとり、様相論的​​説明について考えてみましょう。

カエルはみんな緑色だ。

カーミットはカエルです。

したがって、カーミットは緑色である。

結論は前提の論理的な帰結である。なぜなら、(a)すべてのカエルが緑色である、(b)カーミットがカエルである、(c)カーミットが緑色ではない、という世界は想像できないからである。

• アンダーソン、AR; ベルナップ、ND Jr. (1975)、『帰属』第1巻 、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン。
• Augusto, Luis M. (2017),論理的帰結。理論と応用：入門。ロンドン：カレッジ出版。シリーズ：数理論理学と基礎。
• バーワイズ、ジョン；エチェメンディ、ジョン（2008）、『言語、証明、論理』、スタンフォード：CSLI出版。
• ブラウン、フランク・マーカム（2003）、『ブール推論：ブール方程式の論理』初版：Kluwer Academic Publishers、マサチューセッツ州ノーウェル。第2版：Dover Publications、ニューヨーク州ミネオラ、2003年。
• Davis, Martin 編 (1965)『決定不能性：決定不能命題、解決不能問題、計算可能関数に関する基礎論文集』ニューヨーク：Raven Press、ISBN 9780486432281論文には、ゲーデル、チャーチ、ロッサー、クリーネ、ポストによるものが含まれる。
• ダメット、マイケル（1991）『形而上学の論理的基礎』ハーバード大学出版局、ISBN 9780674537866。
• エッジントン、ドロシー（2001）、『条件文』、ブラックウェルルー・ゴブル編『ブラックウェル哲学論理学ガイド』
• エッジントン、ドロシー（2006）、「直説法条件文」、条件文、形而上学研究室、スタンフォード大学エドワード・N・ザルタ編『スタンフォード哲学百科事典』
• エチェメンディ、ジョン（1990）『論理的帰結の概念』ハーバード大学出版局。
• ゴブル、ルー編（2001）『ブラックウェル哲学論理学ガイド』ブラックウェル。
• ハンソン、ウィリアム・H（1997）「論理的帰結の概念」、哲学評論、106（3）：365–409、doi：10.2307/2998398、JSTOR 2998398 365～409ページ。
• ヘンドリックス、ヴィンセント・F. (2005)、『思考から会話へ：内省と表現の速習コース』、ニューヨーク：Automatic Press / VIP、ISBN 978-87-991013-7-5
• ペンシルベニア州プランシェット (2001)、論理的帰結ゴブル、ルー編『ブラックウェル哲学論理学ガイド』ブラックウェル。
• クワイン、WV（1982）『論理の方法』ケンブリッジ、マサチューセッツ州：ハーバード大学出版局（初版 1950 年）、（第 2 版 1959 年）、（第 3 版 1972 年）、（第 4 版 1982 年）。
• シャピロ、スチュワート（2002）『必然性、意味、合理性：論理的帰結の概念』D. ジャケット編『哲学論理学入門』ブラックウェル社。
• タルスキ、アルフレッド（1936）『論理的帰結の概念について』Tarski, A., 1983. Logic, Semantics, Metamathematics , 2nd ed. Oxford University Pressに再録。原著はポーランド語とドイツ語で出版。
• リシャルト・ヴォイツキ（1988）。論理計算理論：帰結演算の基本理論。シュプリンガー。ISBN 978-90-277-2785-5。
• math.niu.edu の「含意」に関する論文、Implication (2014年10月21日アーカイブ、Wayback Machineに保存)
• 「implicant」の定義AllWords

• Beall, Jc ; Restall, Greg (2013-11-19). "論理的帰結" . Zalta, Edward N. (編). Stanford Encyclopedia of Philosophy (2016 年冬 版). ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
• フィーザー、ジェームズ；ダウデン、ブラッドリー（編）。「論理的帰結」。インターネット哲学百科事典。ISSN 2161-0002。OCLC 37741658。  
• インディアナ哲学存在論プロジェクトにおける論理的帰結
• PhilPapersにおける論理的帰結
• 「含意」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]