ユニバーサルセット

集合論において、普遍集合とは、それ自身を含むすべてのオブジェクトを含む集合のことである。^[1]通常の集合論では、普遍集合が存在しないことは複数の方法で証明できる。しかし、集合論の非標準的な変種の中には普遍集合を含むものもある。

多くの集合論では、普遍集合の存在は認められていません。集合論の公理の選択の違いに基づいて、普遍集合が存在しないという主張にはいくつかの異なる議論があります。

ラッセルのパラドックスは、自分自身を含まない集合をメンバーとする集合の不可能性に関するものである。そのような集合が存在するとしたら、その集合は自分自身を含むことも（そのメンバーはすべて自分自身を含まないため）できず、自分自身を含まないこともできない（もし含むとすれば、その集合は集合の要素の1つとして含まれるはずであるため）。^{[2]このパラドックスは、}ツェルメロの限定内包公理、または正則性公理と対合公理のいずれかを含む集合論において普遍集合の存在を妨げる。

ツェルメロ・フランケル集合論では、正則性公理と対合公理により、どの集合もそれ自身を含むことができない。任意の集合 に対して、 （対合を使用して構築された）集合には、正則性により と交わらない要素が必ず含まれる。その唯一の要素は であるため、は と交わらない場合でなければならず、したがって はそれ自身を含まない。普遍集合は必然的にそれ自身を含むため、これらの公理の下では存在できない。^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle \{A\}}$${\displaystyle \{A\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{A\}}$${\displaystyle A}$

ラッセルのパラドックスは、ツェルメロの限定内包公理を含む集合論において普遍集合の存在を妨げる。この公理は、任意の式と任意の集合に対して、を満たすの 要素だけを含む集合が存在すること を述べている。^[2]${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \{x\in A\mid \varphi (x)\}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi }$

この公理を、述語 として定義された普遍集合 に適用できる場合、ラッセルの逆説集合 の存在を表明することになり、矛盾が生じる。この矛盾により、内包公理は、与えられた式を満たすすべての集合の集合の存在ではなく、与えられた集合のサブセットの存在を主張する制限された形で表明されるようになった。^[2]${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x\notin x}$

限定内包公理を述語 とともに任意の集合 に適用すると、それ自体を含まないの要素の部分集合が生成されます。これは のメンバーになることはできません。なぜなら、もしそうであれば、定義によりそれ自体のメンバーとして含まれることになり、それ自体を含むことができないという事実と矛盾するからです。このようにして、集合がそれ自体を含むことを許可する集合論のバージョンであっても、 の非普遍性の証拠を構築することができます。これは確かに、述語的内包でも直観主義論理に対しても当てはまります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \varphi (x)\equiv x\notin x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

普遍集合の考え方に関するもう 1 つの難しさは、すべての集合の集合のべき集合に関するものです。このべき集合は集合の集合であるため、両方が存在する場合、必然的にすべての集合の集合の部分集合になります。ただし、これは、任意の集合 (無限かどうかに関係なく) のべき集合の濃度は常にその集合自体よりも厳密に高い濃度を持つというカントールの定理と矛盾します。

普遍集合に関連する困難は、内包公理が何らかの方法で制限される集合論の変形を使用するか、集合であるとは見なされない普遍オブジェクトを使用することによって回避できます。

普遍集合Vが存在する (そして真である)集合論は、矛盾がないことが知られている (通常の集合論が矛盾がないとすれば)。これらの理論では、ツェルメロの内包公理は一般には成り立たず、素朴集合論の内包公理は別の方法で制限される。普遍集合を含む集合論は、必然的に非整基礎集合論である。普遍集合を含む集合論で最も広く研究されているのは、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインのNew Foundationsである。アロンゾ・チャーチとアーノルド・オーバーシェルプも、このような集合論に関する研究を発表している。チャーチは、自分の理論がクワインの理論と矛盾しない方法で拡張されるかもしれないと推測したが^[4]、オーバーシェルプの理論ではこれは不可能である。なぜなら、オーバーシェルプの理論では、シングルトン関数が集合であることが証明できるためである^[5]。これは New Foundations のパラドックスに直ちにつながる。^[6]${\displaystyle V\in V}$

もう一つの例は正集合論であり、ここでは内包公理は正の式（否定を含まない式）に対してのみ成立するように制限されています。このような集合論は、位相幾何学における閉包の概念に基づいています。

普遍集合の考え方は、ツェルメロ-フランケル集合論において直感的に望ましいように思われる。特に、この理論のほとんどのバージョンではすべての集合に対して量指定子の使用が許可されているからである (普遍量指定子を参照)。パラドックスを生じさせずに普遍集合と同様に動作するオブジェクトを許可する 1 つの方法は、Vおよび類似の大きなコレクションを集合ではなく適切なクラスとして記述することである。これらの理論では、内包公理がクラスではなく集合に作用するため、ラッセルのパラドックスは当てはまらない。

集合のカテゴリは、普遍的なオブジェクトであると考えることもできますが、これもまたそれ自体は集合ではありません。集合のカテゴリにはすべての集合が要素として含まれており、また、ある集合から別の集合へのすべての関数の矢印も含まれています。また、それ自体は集合ではないため、それ自体は含まれません。

• 宇宙（数学）
• グロタンディーク宇宙
• 談話領域
• フォン・ノイマン・ベルナイス・ゲーデル集合論— すべての集合のクラスを許容するZFCの拡張

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