量指定子（論理）

論理学において、量指定子とは、議論領域内のいくつの個体がオープン式を満たすかを指定する演算子です。たとえば、一階述語式の全称量指定子は 、領域内のすべてのものが で示される特性を満たすことを表します。一方、式の存在量指定子は、その特性を満たすものが領域内に存在することを表します。量指定子が最も広い範囲を取る式は、量指定式と呼ばれます。量指定式には、束縛変数と、その変数の指示対象の特性を指定する 部分式が含まれている必要があります。${\displaystyle \forall}$${\displaystyle \forall xP(x)}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \exists xP(x)}$

最も一般的に使用される量指定子は、およびです。これらの量指定子は、標準的には双対として定義されます。古典論理では、否定を使用して相互定義できます。また、プロパティを持たないものを表す式のように、より複雑な量指定子を定義するために使用することもできます。その他の量指定子は、2階述語論理または高階論理内でのみ定義できます。量指定子は、 MostowskiとLindströmの研究から一般化されてきました。 ${\displaystyle \forall}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \neg \exists xP(x)}$${\displaystyle P}$

一階論理ステートメントでは、同じタイプの量化（全称量化または存在量化のいずれか）はステートメントの意味を変えずに交換できますが、異なるタイプの量化を交換すると意味が変わります。例として、一様連続性と（通常の）連続性の定義における唯一の違いは、量化の順序です。

第一階の量指定子は、「一部」や「すべて」などの一部の自然言語の量指定子の意味を近似します。ただし、多くの自然言語の量指定子は、一般化された量指定子の観点からのみ分析できます。

有限の談話領域では、普遍量化式は論理積と同等です。双対的に、存在量化式は論理和と同等です。たとえば、 が2 進数の集合である場合、式はと省略され、これはtrueと評価されます。 ${\displaystyle D=\{a_{1},...a_{n}\}}$${\displaystyle \forall x\in D\;P(x)}$ ${\displaystyle P(a_{1})\land ...\land P(a_{n})}$${\displaystyle \exists x\in D\;P(x)}$ ${\displaystyle P(a_{1})\lor ...\lor P(a_{n})}$${\displaystyle B=\{0,1\}}$${\displaystyle \forall x\in B\;x=x^{2}}$${\displaystyle 0=0^{2}\land 1=1^{2}}$

次のステートメントを考えてみましょう (乗算にはドット表記を使用します)。

1 · 2 = 1 + 1、2 · 2 = 2 + 2、3 · 2 = 3 + 3、...、100 · 2 = 100 + 100、... など。

これは命題の無限結合のように見えます。形式言語の観点から見ると、構文規則は有限の単語 を生成することが期待されるため、これは直ちに問題となります。

上記の例は、すべての連言を生成する手順があるという点で幸運です。しかし、すべての無理数について断言すると、無理数を列挙できないため、すべての連言を列挙する方法はありません。これらの問題を回避する簡潔で同等の定式化は、全称量化を使用します。

それぞれの自然数 nに対して、n · 2 = n + nです。

同様の分析は、

1 は 5 + 5 に等しい、または 2 は 5 + 5 に等しい、または 3 は 5 + 5 に等しい、... 、または 100 は 5 + 5 に等しい、または ... など。

これは存在量化を使って言い換えることができます。

ある自然数 nに対して、n は5+5 に等しい。

量化を伴う形式言語をモデルに含む抽象代数を考案することは可能ですが、進歩は遅く^{[明確化が必要]}、そのような代数への関心は限られています。これまでに 3 つのアプローチが考案されています。

• 関係代数は、オーガスタス・ド・モルガンによって発明され、チャールズ・サンダース・パース、エルンスト・シュレーダー、アルフレッド・タルスキ、およびタルスキの弟子たちによって発展させられました。関係代数は、3 つ以上の深さにネストされた量指定子を含む式を表すことはできません。驚くべきことに、関係代数のモデルには、公理的集合論 ZFCやペアノ算術が含まれます。
• アルフレッド・タルスキ、レオン・ヘンキンらによって考案された円筒代数。
• ポール・ハルモスの多項式代数。

最も一般的な2つの量指定子は、全称量指定子と存在量指定子です。全称量指定子の伝統的な記号は「∀」で、文字「A」を回転させたもので、「すべてに対して」または「すべて」を表します。存在量指定子の対応する記号は「∃」で、文字「E」を回転させたもので、「存在する」または「存在する」を表します。^{[2] [3]}

英語などの自然言語で量化された文を翻訳する例は次のようになります。「ピーターの友達はみんな、ダンスが好き、またはビーチに行くのが好き（あるいはその両方）」という文を考えると、重要な側面を特定し、量指定子を含む記号を使用して書き直すことができます。したがって、X をピーターの友達全員の集合、P ( x ) を述語「x はダンスが好き」、Q ( x ) を述語「x はビーチに行くのが好き」とします。すると、上記の文は、形式表記で と書くことができ、これは「Xのメンバーであるすべてのxについて、Pがxに適用されるか、Q がxに適用される」という意味になります。 ${\displaystyle \forall {x}{\in }X,(P(x)\lor Q(x))}$

他の定量表現は次のように構築されます。

${\displaystyle \exists {x}\,P}$^[4]     ${\displaystyle \forall {x}\,P}$

式Pについて。これら 2 つの式 (上記の定義を使用) は、それぞれ「ピーターの友達でダンスが好きな人がいる」および「ピーターの友達は全員ダンスが好き」と解釈されます。集合Xと集合の要素xに対する変形表記には次のものがあります。

${\displaystyle \bigvee_{x}P}$     ${\displaystyle (\exists {x})P}$^{[5]     [6]}${\displaystyle (\exists x\ .\P)}$     ${\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}$     ${\displaystyle (\exists x:P)}$     ${\displaystyle \exists {x}(P)}$     ${\displaystyle \exists _{x}\,P}$     ${\displaystyle \exists {x}{,}\,P}$     ${\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}$     ${\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}$

これらのバリエーションはすべて全称量化にも適用されます。全称量化の他のバリエーションは

${\displaystyle \bigwedge_{x}P}$^{[要出典]     [7] [8]}${\displaystyle \bigwedge xP}$     ${\displaystyle (x)\,P}$

表記法のいくつかのバージョンでは、量化の範囲が明示的に示されています。量化の範囲は常に指定する必要があります。特定の数学理論では、これはいくつかの方法で行うことができます。

• ツェルメロ・フランケル集合論で行われるように、すべての量化に対して固定された議論領域を仮定する。
• 事前にいくつかの議論ドメインを固定し、各変数にその変数の型である宣言されたドメインがあることを要求します。これは、変数に宣言された型がある静的に型付けされた コンピュータ プログラミング言語の状況に似ています。
• おそらくそのドメイン内のすべてのオブジェクトのセットを表すシンボル (またはそのドメイン内のオブジェクトの型) を使用して、数量化の範囲を明示的に示します。

変数の捕捉が発生しない一定の制限の下で、任意の変数を他の変数の代わりに量化変数として使用することができます。表記法で型付き変数が使用されている場合でも、その型の変数を使用できます。

非公式または自然言語では、「∀ x」または「∃ x 」はP ( x )の後または途中に現れることがあります。ただし、正式には、ダミー変数を導入するフレーズが前に置かれます。

数式では、次のような自然言語の量詞と記号表現が混在しています。

すべての自然数xに対して、...

...となるx が存在する。

少なくとも 1 つのx について、...。

一意性の定量化のキーワードには次のものがあります。

ちょうど 1 つの自然数xに対して、...

...となるxはただ 1 つ存在します。

さらに、xは代名詞に置き換えられることもあります。例えば、

すべての自然数について、2 との積はそれ自身との和に等しくなります。

いくつかの自然数は素数です。

次の 2 つの命題で示されるように、量指定子の順序は意味にとって重要です。

あらゆる自然数nに対して、 s = n ²となる自然数s が存在する。

これは明らかに正しいです。これは、すべての自然数が平方数を持つと主張しているだけです。量指定子の順序が逆になっている主張の意味は異なります。

あらゆる自然数nに対してs = n ²となるような自然数s が存在する。

これは明らかに誤りです。これは、すべての自然数の二乗である単一の自然数sが存在すると主張しています。これは、構文により、どの変数もその後に導入される変数の関数にはならないと指示されているためです。

数学的解析からのあまり自明でない例として、一様連続性と点連続性の概念が挙げられます。これらの定義は、 2つの量化子の位置の交換によってのみ異なります。RからRへの関数fは、

• 点ごとに連続している場合$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\exists \delta >0\;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$
• 一様連続の場合$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$

前者の場合、δに選択された特定の値は、その前に来る変数εとxの両方の関数になります。後者の場合、 δ はεのみの関数になります（つまり、 xとは独立して選択する必要があります）。たとえば、f ( x ) = x ^{2 は}点ごとの連続性を満たしますが、一様連続性は満たしません（傾きが無制限です）。対照的に、点ごとの連続性の定義で最初の 2 つの全称量指定子を入れ替えても、意味は変わりません。

一般的なルールとして、同じスコープを持つ 2 つの隣接する全称量指定子を交換しても(または同じスコープを持つ 2 つの隣接する存在量指定子を交換しても)、式の意味は変わりません (例についてはここを参照)。ただし、存在量指定子と隣接する全称量指定子を交換すると、意味が変わる場合があります。

数式内の量指定子の最大の入れ子の深さは、「量指定子のランク」と呼ばれます。

Dがxの定義域であり、P ( x )がオブジェクト変数xに依存する述語である場合、普遍命題は次のように表現できる。

${\displaystyle \forall x\!\in \!D\;P(x).}$

この表記法は制限付き、相対化、または有界量化として知られています。同様に、次のように書くこともできます。

${\displaystyle \forall x\;(x\!\in \!D\to P(x)).}$

存在命題は有界量化によって次のように表現できる。

${\displaystyle \exists x\!\in \!D\;P(x),}$

または同等

${\displaystyle \exists x\;(x\!\in \!\!D\land P(x)).}$

否定と一緒に、両方のタスクを実行するには、全称量指定子または存在量指定子のいずれか 1 つだけが必要です。

${\displaystyle \neg (\forall x\!\in \!D\;P(x))\equiv \exists x\!\in \!D\;\neg P(x),}$

これは、「すべてのxに対して」という命題を反証するには、述語が偽となる x を見つけるだけでよいことを示しています。同様に、

${\displaystyle \neg (\exists x\!\in \!D\;P(x))\equiv \forall x\!\in \!D\;\neg P(x),}$

「 xが存在する」という命題を反証するには、述語がすべてのxに対して偽であることを示す必要があります。

古典論理では、すべての式は冠頭正規形の式、つまり量指定子と束縛変数の文字列の後に量指定子のない式が続く式 と論理的に同等です。

すべての量化には、特定の変数 1 つと、その変数の量化の範囲または論議領域が関係します。量化の範囲は、変数が取る値のセットを指定します。上記の例では、量化の範囲は自然数の集合です。量化の範囲を指定すると、たとえば、述語が何らかの自然数に当てはまると主張することと、何らかの実数に当てはまると主張することの違いを表現できます。説明の慣習では、自然数には「 n」、実数には「x 」などの変数名が予約されていることがよくありますが、変数の範囲は数学的な議論の過程で変わることがあるため、命名規則だけに頼ることは一般的にはうまくいきません。

空の範囲（ など）上の普遍量化された式は常に空的に真です。逆に、空の範囲（ など）上の存在量化された式は常に偽です。 ${\displaystyle \forall x\!\in \!\varnothing \;x\neq x}$${\displaystyle \exists x\!\in \!\varnothing \;x=x}$

談話領域を制限するより自然な方法は、ガード付き量化を使うことである。例えば、ガード付き量化

ある自然数nに対して、nは偶数であり、nは素数である。

手段

ある偶数 nに対して、n は素数です。

いくつかの数学理論では、あらかじめ固定された単一の議論領域が想定されている。例えば、ツェルメロ・フランケル集合論では、変数はすべての集合に渡って存在する。この場合、ガード付き量指定子はより狭い範囲の量化を模倣するために使用できる。したがって、上記の例では、

あらゆる自然数nに対して、n ·2 = n + n

ツェルメロ・フランケル集合論では、次のように書く。

あらゆるnについて、n がNに属する場合、n ·2 = n + nとなり、

ここで、N はすべての自然数の集合です。

数学的意味論は、数学を応用して形式言語の表現の意味を研究するものである。意味論には 3 つの要素がある。構文によるオブジェクトのクラスの数学的仕様、さまざまな意味ドメインの数学的仕様、そして通常構文オブジェクトから意味オブジェクトへの関数として表現される両者の関係である。この記事では、量指定子要素がどのように解釈されるかという問題のみを扱う。式の構文は構文木で表すことができる。量指定子にはスコープがあり、変数xの出現は、その変数の量化のスコープ内にない場合は 自由である。したがって、

${\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)}$

C ( y , x )におけるxとyの出現は両方とも自由ですが、 B ( y , x )におけるxとyの出現は拘束されています (つまり、自由ではありません)。

第一階述語計算の解釈では、個体のドメインX が与えられていると仮定します。自由変数がx ₁、...、x _nである式A は、 n 個の引数を持つブール値関数F ( v ₁、...、v _n )として解釈されます。ここで、各引数はドメインXの範囲です。ブール値とは、関数が値T (真と解釈) またはF (偽と解釈)のいずれかを取ることを意味します。式の解釈

${\displaystyle \forall x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

はn -1 個の引数を持つ関数Gであり、 Xの任意のwに対してF ( v 1 , ..., v n -1 , w ) = T が成り立つ場合のみ、 G ( v ₁ , ..., v n _{-1 )} = Tとなる。wの少なくとも 1 つの値に対して F ( v ₁ , _{... ,} v n -1 , w ) = F_が成り立つ場合_{、 G} ( v 1 , ... , v n _-1 ) = _Fとなる。同様に、式

${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

はn -1個の引数を持つ関数Hであり、少なくとも1つのwに対してF(v1,...,vn-1,w)=Tである場合にのみH ( v1 , ... _{, vn} - 1 ) = Tとなり_、それ以外の_場合にはH ( v1 , ... , vn _- 1 ) _{= F}となる。

一意性量化の意味論には、等式を伴う一階述語計算が必要である。これは、区別された2項述語「=」が与えられていることを意味する。意味論もそれに応じて変更され、「=」は常にX上の2項等式関係として解釈される。

${\displaystyle \exists !x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

はn -1個の引数の関数であり、これはの解釈の 論理積である。

${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \forall y,z{\big (}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},y)\wedge A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},z)\implies y=z{\big )}.}$

各種の量化は、各自由変数xに対してxを束縛する量化子を追加することで、式の集合に対する対応する閉包演算子を定義します。^[10]たとえば、開いた式n >2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿの存在閉包は、閉じた式 ∃ n ∃ x ∃ y ∃ z ( n >2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ ) です。後者の式は、正の整数に対して解釈すると、フェルマーの最終定理により偽であることが知られています。別の例として、x + y = y + xなどの等式公理は通常、 ∀ x ∀ y ( x + y = y + x )のように、その普遍閉包を表して可換性を表します。

これまでに説明した量指定子はいずれも、次のような量化には適用されません。

n < 100 で、n が2、3、または 5 で割り切れる整数は多数あります。

解釈のメカニズムの1つは、次のようにして得られる。意味領域Xに加えて、 Xとカットオフ数0 < a ≤ b ≤ 1で定義された確率測度Pが与えられているとする。Aが自由変数x ₁ ,..., x _nを持つ式であり、その解釈が変数v ₁ ,..., v _nの関数Fで ある場合、

${\displaystyle \exists ^{\mathrm {many} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$

はv ₁ ,..., v _{n -1}の関数であり、 Tとなるの は

${\displaystyle \operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\geq b}$

それ以外の場合はFとなる。同様に、

${\displaystyle \exists ^{\mathrm {few} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$

はv ₁ ,..., v _{n -1}の関数であり、 Fとなるの は

${\displaystyle 0<\operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\leq a}$

それ以外の場合はTです。

他にもいくつかの量指定子が時を経て提案されてきた。特に、解決量指定子^{[11] ：28は}§（セクション記号）で示され、「それら」と読みます。例えば、

${\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\{0,1,2\}}$

は「 Nに含まれるnのうちn ² ≤ 4であるものは{0,1,2}に含まれる」と読む。同じ構成は集合構築記法で次のように 表現できる。

${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n^{2}\leq 4\}=\{0,1,2\}.}$

他の量指定子とは異なり、§は式ではなく集合を生成します。^[12]

数学で時々使用される他の量指定子には次のものがあります。

• ...のような要素は無限にあります。
• 有限個を除くすべての要素について... (「ほとんどすべての要素について...」と表現されることもあります)。
• そういった要素は数え切れないほどあります...
• 数えられるほど多くの要素を除くすべての要素について...
• 正の測定値のセット内のすべての要素について...
• 測定ゼロのセット内の要素を除くすべての要素について...

項論理はアリストテレス論理とも呼ばれ、自然言語に近い方法で量化を扱いますが、形式的な分析には適していません。項論理は紀元前4世紀に、アレティック様相にも触れた記述の中で、すべて、一部 、いいえを扱いました。

1827年、ジョージ・ベンサムは『新論理体系の概要：ワトリー博士の『論理原論』の批判的検討』を出版し、量化子の原理を説明したが、この本は広く流通しなかった。^[13]

ウィリアム・ハミルトンは、おそらく1840年頃のエディンバラ講義で「定量化」と「定量化」という用語を作ったと主張した。オーガスタス・ド・モルガンは1847年にこれを認めたが、現代的な用法は1862年のド・モルガンの「私たちは定量化子として、すべてと一部ではないものの両方を取り入れるべきである」という発言から始まった。^[14]

ゴットロープ・フレーゲは、1879年の著書『数学の原理』で、談話領域にまたがり述語に現れる変数を束縛するために量指定子を初めて使用した。彼は、図式式に現れる直線のくぼみの上に変数を書くことによって、変数（または関係）を普遍量化した。フレーゲは存在量化の明示的な表記法を考案せず、代わりに同等の ~∀ x ~ 、つまり対偶を使用した。フレーゲの量化の扱いは、バートランド・ラッセルの1903年の著書『数学の原理』までほとんど注目されなかった。

1885年にパースに結実した研究において、チャールズ・サンダース・パースと彼の弟子オスカー・ハワード・ミッチェルはそれぞれ全称量指定子と存在量指定子、および束縛変数を発明した。パースとミッチェルは、現在では ∀ xや ∃ xと書くところをΠ _xや Σ _{x と}書いた。パースの表記法は、エルンスト・シュレーダー、レオポルド・レーヴェンハイム、トラルフ・スコーレム、そして1950年代までのポーランドの論理学者の著作に見られる。最も有名なのは、クルト・ゲーデルの1930年の画期的な一階述語論理の完全性に関する論文と、1931年のペアノ算術の不完全性に関する論文の表記法である。

ピアソンの量化へのアプローチは、ウィリアム・アーネスト・ジョンソンとジュゼッペ・ペアノにも影響を与えた。彼らはさらに別の表記法、すなわちxの全称量化を表す ( x )と、(1897年に) xの存在量化を表す∃ xを発明した。そのため、何十年もの間、哲学と数理論理学における標準的な表記法は、「議論の領域内のすべての個体は特性Pを持つ」ことを表す ( x ) Pと、 「議論の領域には特性Pを持つ個体が少なくとも 1 人存在する」ことを表す(∃ x ) Pであった。ピアソンはピアソンよりもはるかに有名だったが、事実上、ピアソンの考えをヨーロッパ中に広めた。ピアソンの表記法は、ホワイトヘッド、ラッセル、クワイン、アロンゾ・チャーチの『プリンキピア・マテマティカ』で採用された。1935年、ゲンツェンは、ピアソンの ∃ 記号からの類推で、 ∀ 記号を導入した。 ∀ は 1960 年代まで標準語にはなりませんでした。

1895 年頃、ピアースは存在グラフの開発を始めました。存在グラフでは、変数は暗黙的に量化されていると見ることができます。変数の最も浅いインスタンスが偶数か奇数かによって、その変数の量化が普遍的か存在的かが決まります。(浅さは深さの反対で、深さは否定のネストによって決まります。) ピアースのグラフィカル ロジックは、近年、異種推論や図式的推論を研究する人々から注目を集めています。

• 絶対的な一般性
• ほぼすべて
• 分岐量指定子
• 条件付き量指定子
• 計数定量化
• 結局（数学）
• 一般化された量指定子— 量化された名詞句の標準的な意味論として使用される高次の特性
• リンドストローム量指定子— 一般化された多項式量指定子
• 数量詞シフト

• Barwise, Jon ; Etchemendy, John、2000 年。 『Language Proof and Logic』。CSLI (University of Chicago Press) およびニューヨーク: Seven Bridges Press。2人の一流論理学者による、一階述語論理のやさしい入門書。
• Brown, Christopher W. (2002 年 7 月 31 日)。「量指定子除去とは何か」 。2018年8 月 30 日閲覧。
• Frege, Gottlob、1879年。解説書。Jean van Heijenoort、1967年に翻訳。From Frege to Gödel: A Source Book on Mathematical Logic, 1879-1931。ハーバード大学出版局。量化の初登場。
• ヒルベルト、デイヴィッド、アッカーマン、ヴィルヘルム、1950 (1928)。『数理論理学の原理』。チェルシー。『理論的論理学の基礎』の翻訳。シュプリンガー出版社。1928 年の初版では、現在標準的な方法、つまり、ある固定された論議領域にわたる束縛変数として、量化が意識的に使用された最初の版である。これが一階述語論理の定義的な側面である。
• Peirce, CS、1885、「論理の代数について：表記法の哲学への貢献」、American Journal of Mathematics、第 7 巻、pp. 180–202。Kloesel, N.他編、1993 年に再版。CS Peirce の著作、第 5 巻。インディアナ大学出版。現在の形式に似た量化が初めて登場。
• Reichenbach, Hans、1975 (1947) 。Elements of Symbolic Logic、Dover Publications。量指定子については、§18「変数の束縛」から§30「合成前提からの導出」までの章で説明されています。
• Westerståhl, Dag、2001、「Quantifiers」、Goble、Lou 編、『The Blackwell Guide to Philosophical Logic』、Blackwell。
• Wiese, Heike、2003年。「数字、言語、そして人間の心」ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83182-2。 

• 「量子化子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「「すべての」および「存在する」という話題のフレーズ、文、表現」。2000 年 3 月 1 日のオリジナルからアーカイブ。ハワイ大学マノア校自然科学部出身。
• スタンフォード哲学百科事典:
  • Shapiro, Stewart (2000)。「古典論理学」(自然演繹スタイルの第一階述語論理の構文、モデル理論、およびメタ理論をカバーしています。)
  • Westerståhl, Dag (2005) 「一般化された量指定子」
• Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002) 「Quantifiers」 2012-07-16 にWayback Machineでアーカイブ