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ポール・ジョセフ・コーエン（1934年4月2日 - 2007年3月23日）はアメリカの数学者で、連続体仮説と選択公理がツェルメロ＝フレンケル集合論から独立していることを証明したことで最もよく知られており、その功績によりフィールズ賞を受賞した。[ 1 ] [ 2 ]
コーエンは1934年にニュージャージー州ロングブランチで、現在のポーランドから米国に移住してきたユダヤ人の家庭に生まれ、ブルックリンで育った。[ 3 ] [ 4 ] 1950年、16歳でニューヨーク市のスタウベサント高校を卒業した。 [ 1 ] [ 4 ]
コーエンは次に1950年から1953年までブルックリン大学で学んだが、大学を2年間しか通わなくてもシカゴ大学で大学院課程を始められると知って、学士号を取得せずに退学した。シカゴ大学では、アントニ・ジグムントの指導の下、1954年に数学の修士号を、1958年に哲学博士号を取得した。博士論文のタイトルは「三角級数の一意性理論のトピック」であった。[ 5 ] [ 6 ]
1957年、博士号取得前に、コーエンはロチェスター大学の数学講師に1年間任命された。その後、1958年から1959年の学年度をマサチューセッツ工科大学で過ごし、1959年から1961年までプリンストン高等研究所の研究員として過ごした。これらの年は、コーエンが数々の重要な数学的ブレークスルーを達成した年であった。『群代数の因数分解』 （1959年）では、局所コンパクト群上の任意の積分可能な関数は、そのような2つの関数の畳み込みであることを示し、ウォルター・ルーディンが提起した問題を解決した。『コーエン』（1960年）では、リトルウッド予想の解決において重要なブレークスルーを達成した。[ 7 ]
コーエンは、アメリカ芸術科学アカデミー[ 8 ]、米国科学アカデミー[ 9 ]、アメリカ哲学協会[ 10 ]の会員であった。1995年6月2日、コーエンはスウェーデンのウプサラ大学科学技術学部から名誉博士号を授与された[ 11 ]。
コーエンは、強制法と呼ばれる数学的手法を開発したことで知られており、この手法を用いて、連続体仮説（CH）も選択公理も、集合論の標準的なツェルメロ＝フレンケル公理（ZF）からは証明できないことを証明した。ゲーデルの先行研究と併せて、このことは、これらの命題がZF公理とは論理的に独立していることを示した。つまり、これらの命題はZF公理からは証明も反証もできない。この意味で、連続体仮説は決定不能であり、集合論の標準的なZF公理から独立した自然命題の最もよく知られた例である。
連続体仮説に関する彼の成果により、コーエンは1966年に数学のフィールズ賞を、また1967年には国家科学賞を受賞しました。 [ 12 ]コーエンが受賞したフィールズ賞は、2026年現在、数学論理学の業績に対して授与された唯一のフィールズ賞であり続けています。
集合論における業績以外にも、コーエンは解析学にも多くの貴重な貢献をした。彼は1964年に論文「リトルウッドの予想と冪等測度について」[ 13 ]で数学解析のボシェ記念賞を受賞し、コーエン・ヒューイット因数分解定理にその名を残している。
コーエンはスタンフォード大学の数学の正教授であった。彼は1962年にストックホルムで開催された国際数学者会議（ICM）と、1966年にモスクワで開催されたICMで招待講演を行った。
ロンドン大学クイーン・メアリー校のアンガス・マッキンタイアは、コーエンについて次のように述べている。「彼は恐ろしく頭が良かったので、私が60年代に知っていたポールに自分の『最も難しい問題』を持ちかけるには、世間知らずか、並外れて利他的でなければならなかっただろう。」彼は続けてコーエンをクルト・ゲーデルと比較し、「彼らの業績ほど劇的なことは、この分野の歴史上起こっていない」と述べている。[ 14 ]ゲーデル自身も1963年にコーエンに手紙を書いており、その草稿には「連続体仮説の独立性の証明を読むのは本当に楽しいことだと改めて申し上げたい。あらゆる本質的な点で、あなたは可能な限り最良の証明を与えたと思うが、これはめったにないことだ。あなたの証明を読むことは、本当に良い芝居を見たときと同じくらい心地よい効果を私に与えた。」と書かれている。[ 15 ]
連続体仮説を研究していた際、コーエンは1985年に「集合論のモデルを構築する新しい方法がないため、人々はこの問題は絶望的だと考えているように感じた。実際、彼らはこの問題について考えることさえ少しおかしいと思われていた」と述べている。[ 16 ]
著者[コーエン]が最終的に受け入れられるかもしれないと考えている見解は、CHは明らかに誤りであるというものだ。無限公理を受け入れる主な理由は、おそらく一度に1つの集合だけを追加するプロセスで宇宙全体を網羅できると考えるのは不合理だと感じるからだろう。無限のより高次の公理についても同様である。は可算順序数の集合の濃度であり、これは単に高次の濃度を生成する特別な、最も単純な方法にすぎません。対照的に、連続体は、全く新しい、より強力な原理、すなわち冪集合公理によって生成される。置換公理から派生するアイデアから基数を構築しようとする、より大きな基数の記述が、この連続体に到達できると期待するのは不合理である。。
したがってより大きい、 どこなど。この観点はこれは、大胆な新公理によって私たちに与えられた、信じられないほど豊かな集合体であり、断片的な構築プロセスでは決して到達できないものです。おそらく後の世代は、この問題をより明確に理解し、より雄弁に表現するでしょう。
コーエンの連続体仮説に関する研究の「永続的で強力な成果」であり、「無数の数学者」 [ 16 ]によって使用されてきたものは「強制」として知られており、与えられた仮説の真偽を検証するための数学モデルを構築するために使用されます。
コーエンは亡くなる直前、ウィーンで開催された2006年のゲーデル生誕100周年記念会議で、連続体仮説の問題に対する自身の解決策を説明する講演を行った。[ 17 ]
コーエンと妻のクリスティーナ（旧姓カールス）には3人の息子がいた。コーエンは肺疾患を患った後、2007年3月23日にカリフォルニア州スタンフォードで亡くなった。[ 18 ]
