ツェルメロ集合論

1908年にエルンスト・ツェルメロ^が 発表した画期的な論文^{[ 1 ]}に示されたツェルメロ集合論（Z-と表記されることもある）は、現代のツェルメロ・フレンケル集合論（ZF）とその拡張であるフォン・ノイマン・ベルナイズ・ゲーデル集合論（NBG）の祖先である。ツェルメロ集合論は、後継理論とはいくつかの点で異なっており、その違いは必ずしも理解されておらず、しばしば誤って引用されている。本稿では、オリジナルの公理を、原文（英語に翻訳）とオリジナルの番号付けとともに示す。

ツェルメロ集合論の公理は対象に対して述べられており、対象の中には（必ずしもすべてではないが）集合であるものがあり、残りの対象は集合ではなく要素である。ツェルメロの言語には、暗黙のうちにメンバーシップ関係 ∈、等号関係 =（基礎となる論理に含まれていない場合）、および対象が集合であるかどうかを示す単項述語が含まれる。後のバージョンの集合論では、すべての対象が集合であると仮定されることが多く、そのため要素は存在せず、単項述語も不要となる。

1. 公理 I.外延性の公理( Axiom der Bestimmtheit ) 「集合Mのすべての要素がNの要素でもあり、その逆もまた然りならば、M はN の要素である。」${\displaystyle \equiv }$N.簡単に言うと、すべての集合はその要素によって決定される。
2. 公理 II. 基本集合の公理 ( Axiom der Elementarmengen ) 「要素を全く含まない集合、すなわち空集合∅ が存在する。a が定義域の任意の対象である場合、 aのみを要素として含む集合 { a }が存在する。aとb が定義域の任意の 2 つの対象である場合、 aとbを要素として含むが、それら両方と異なる対象 x は含まない集合{ a , b } が常に存在する。」空集合の公理およびペアリングの公理を参照。
3. 公理 III.分離公理( Axiom der Aussonderung ) 「命題関数– ( x ) が集合Mのすべての要素に対して定義されている場合、M は、 – ( x ) が真となるMの要素xのみを含む部分集合M' を持つ。」
4. 公理 IV.冪集合の公理( Axiom der Potenzmenge ) 「すべての集合Tには、 Tのすべての部分集合を正確に要素として含む集合T' 、すなわちTの冪集合が対応します。」 
5. 公理 V.和集合の公理( Axiom der Vereinigung ) 「任意の集合Tに対して、集合∪T 、すなわちTの和集合が対応し、その集合はTの要素のすべての要素を正確に要素として含む 。」
6. 公理 VI.選択公理( Axiom der Auswahl ) 「Tが、すべての要素が ∅ と異なり、互いに素な集合である集合である場合、その和集合∪Tには、 Tの各要素とただ 1 つの要素を共有する部分集合S ₁が少なくとも 1 つ含まれる。」 
7. 公理 VII.無限公理( Axiom des Unendlichen ) 「領域には、空集合を要素として含む集合Zが少なくとも 1 つ存在し、その各要素aに対して { a }の形の別の要素が対応するように構成されている。言い換えれば、その各要素aに対して、対応する集合 { a } も要素として含む。」^{[ 1 ]}

最も広く使用され、受け入れられている集合論は、選択公理(AC)を含むツェルメロ・フレンケル集合論である ZFC として知られています。リンクは、ツェルメロの理論の公理がどこに対応するかを示しています。「基本集合の公理」に完全に一致するものはありません。これは、空集合公理、ペアリング公理、および単一集合の存在を主張する追加の公理に分解できます。ただし、単一集合の存在は、ツェルメロ集合論内で次のように導出できます。aが存在する場合、aとaが存在するため、ペアリングにより { a、a } が存在し、したがって外延性により { a、a } = { a } となります。空集合公理は、無限公理のツェルメロの記述によってもすでに仮定されています。

ツェルメロ集合論には置換公理と正則公理は含まれていない。置換公理は、ツェルメロの公理では集合 { Z ₀ , Z ₁ , Z ₂ , ...}の存在を証明できないことをそれぞれ独立に発見したアブラハム・フランケルとトーラルフ・スコレムによって 1922 年に初めて発表された。ここでZ _0は自然数の集合であり、Z _{n +1は}Z _nの冪集合である。彼らは、これを証明するには置換公理が必要であることに気づいた。翌年、ジョン・フォン・ノイマンは、自身の順序数の理論を構築するには正則公理が必要であることを指摘した。正則公理は、フォン・ノイマンによって 1925 年に述べられた。^{[ 2 ]}   

現代の ZFC システムでは、分離公理で言及されている「命題関数」は「パラメータを持つ一階述語論理式で定義可能な任意の性質」と解釈されるため、分離公理は公理図式に置き換えられます。「一階述語論理式」という概念は、ツェルメロが公理系を発表した 1908 年にはまだ知られておらず、彼は後にこの解釈を制限が厳しすぎるとして否定しました。ツェルメロ集合論は通常、分離公理を各一階述語論理式に対応する公理を持つ公理図式に置き換えた一階述語論理として考えられています。また、分離公理が単一の公理となる二階述語論理の理論として考えることもできます。ツェルメロ集合論の二階述語論理の解釈は、おそらくツェルメロ自身の概念により近く、一階述語論理の解釈よりも強力です。空集合の公理は、次のような矛盾する式に対する分離の公理（図式）から導かれるため、集合論の公理化には通常含まれません。${\displaystyle x\neq x}$。

以来${\displaystyle (V_{\lambda },V_{\lambda +1})}$-どこ${\displaystyle V_{\alpha }}$ランクは${\displaystyle \alpha }$累積階層にセットされる— ZFC 内での 2 階ツェルメロ集合論のモデルを形成する${\displaystyle \lambda }$最小の無限順序数よりも大きい限界順序数である${\displaystyle \omega }$したがって、2階ツェルメロ集合論の無矛盾性（したがって1階ツェルメロ集合論の無矛盾性も）はZFCの定理である。${\displaystyle \lambda =\omega \cdot 2}$このようなモデルでは、非可算強極限基数の存在は満たされません。したがって、 2階ツェルメロ集合論では_、 ℶω（最小の非可算強極限基数）の存在を証明することはできません。同様に、集合${\displaystyle V_{\omega \cdot 2}\cap L}$（ここでLは構成可能な宇宙である）は、非可算弱極限基数の存在が満たされない一階ツェルメロ集合論のモデルを形成し、一階ツェルメロ集合論では最小特異基数の存在さえ証明できないことを示している。${\displaystyle \aleph _{\omega }}$このようなモデルにおいては、無限基数は有限インデックス順序数に制限されたアレフ数のみである。

無限公理は現在では通常、最初の無限フォン・ノイマン順序数の存在を主張するように修正される。${\displaystyle \omega }$; オリジナルのツェルメロ公理ではこの集合の存在を証明できず、修正されたツェルメロ公理でもツェルメロの無限公理を証明できない。^{[ 3 ]} ツェルメロの公理（オリジナルまたは修正）では、${\displaystyle V_{\omega }}$集合としても、無限インデックスを持つ集合の累積階層のどのランクの集合としても存在しない。いかなる定式化においても、ツェルメロ集合論はフォン・ノイマン順序数の存在を証明することはできない。${\displaystyle \omega \cdot 2}$このような順序型の存在を証明したにもかかわらず、ツェルメロ集合論ではフォン・ノイマンの順序数の定義は採用されていない。

ツェルメロは、集合ではなく要素を含まない素要素の存在を認めたが、これらは現在では通常、集合論から除外されている。

マックレーン集合論は、マックレーン（1986 ）によって導入されたもので、分離公理を、すべての量化子が有界である一階述語論理式に限定したツェルメロ集合論である。マックレーン集合論は、自然数オブジェクトを持つトポス理論、あるいは『プリンキピア・マテマティカ』の体系と同等の強さを持つ。集合論や論理学に直接関係しないほとんどすべての通常の数学を実行するのに十分な強さを備えている。 

序文には、集合論という学問分野そのものの存在が、「その原理（我々の思考を必然的に支配していると思われる原理）から導き出されるある種の矛盾、すなわち『アンチノミー』によって脅かされているように思われ、それに対する完全に満足のいく解決策はまだ見つかっていない」と述べられている。ゼルメロは、とりわけラッセルのアンチノミーに言及している。

彼は、ゲオルク・カントールとリヒャルト・デデキントの原理論を、いくつかの定義と7つの原理または公理に還元できることを示したいと述べている。しかし、彼はそれらの公理が矛盾しないことを証明できていないと述べている。

それらの一貫性に関する非構成主義的な議論は次のとおりである。順序数0, 1, 2, ..., ω , ω +1, ω +2,..., ω ·2のいずれかαに対して、V _{α を}次のように定義する。

• V ₀は空集合です。
• αがβ +1の形式の後継である場合、V _αはV _βのすべての部分集合の集合として定義されます。
• α の限界 (例、 ω、ω ·2)の場合、 V _αはβ < αの場合のV _βの和集合として定義されます。

すると、ツェルメロ集合論の公理は、モデルV _{ω ·2}において真であるため、無矛盾である。非構成主義者はこれを妥当な議論とみなすかもしれないが、構成主義者は恐らくそうは思わないだろう。なぜなら、 V _ωまでの集合の構成には問題がないが、 V _{ω +1}の構成は、 V _ωのすべての部分集合を構成的に定義できないため、それほど明確ではないからである。この議論は、ツェルメロ集合論にV _{ω ·2が}存在するという単一の新しい無限公理を追加することで、妥当な証明に変えることができる。これはおそらく構成主義者にとっては説得力がないだろうが、ツェルメロ集合論の無矛盾性は、ツェルメロ理論自体とそれほど違いのない、少し強力な理論で証明できることを示している。

ツェルメロは、自身の体系における公理IIIが矛盾を解消する役割を担っていると述べている。これはカントールの元の定義とは以下の点で異なっている。

集合は、任意の論理的に定義可能な概念によって独立して定義することはできません。集合は、既に構築された集合から何らかの方法で構築されなければなりません。例えば、冪集合を取ることによって構築することもできますし、既に「与えられた」集合の部分集合として分離することもできます。こうすることで、「すべての集合の集合」や「すべての順序数の集合」といった矛盾した概念を排除できる、と彼は述べています。

彼はこの定理によってラッセルのパラドックスを解決した。「すべての集合は${\displaystyle M}$少なくとも1つの部分集合を持つ${\displaystyle M_{0}}$それは要素ではありません${\displaystyle M}$。" させて${\displaystyle M_{0}}$のサブセットである${\displaystyle M}$それは、公理IIIにより、「${\displaystyle x\notin x}$"。 それから${\displaystyle M_{0}}$できない${\displaystyle M}$。 のために

1. もし${\displaystyle M_{0}}$は${\displaystyle M_{0}}$、 それから${\displaystyle M_{0}}$xがxに含まれる要素xが含まれています(つまり、${\displaystyle M_{0}}$それ自体）は、定義と矛盾するだろう${\displaystyle M_{0}}$。
2. もし${\displaystyle M_{0}}$は${\displaystyle M_{0}}$と仮定すると${\displaystyle M_{0}}$はMの要素である。${\displaystyle M_{0}}$は、定義を満たすMの要素である。${\displaystyle x\notin x}$「、そして、${\displaystyle M_{0}}$それは矛盾している。

したがって、${\displaystyle M_{0}}$は${\displaystyle M}$これは誤りであり、定理を証明する。したがって、普遍領域Bのすべての対象が同一の集合の要素であるとは限らない。「これで、我々の知る限り、ラッセルの矛盾は解消される。」

これにより、「ドメインB 」という問題が残りました。これは何かを指しているようです。これが適切なクラスというアイデアにつながりました。

ツェルメロの論文は、「カントールの定理」という名称を初めて用いたものかもしれない。カントールの定理とは、「Mが任意の集合である場合、常にM < P( M ) [ Mの冪集合] である。すべての集合の濃度は、その部分集合の濃度よりも小さい」というものである。

ツェルメロは、関数φ : M → P( M ) を考えることでこれを証明している。公理 III により、これは次の集合M' を定義する。

M'  = { m : m ∉ φ ( m )}。

しかし、 Mのどの要素m' も M'に対応し得ない、つまりφ ( m' ) = M'となるような要素は存在しない。そうでなければ、矛盾が生じる。    

1. m'が M' に含まれる場合、定義によりm'  ∉ φ ( m'  ) = M' となり、これが矛盾の最初の部分である。
2. m' が M' に含まれずM に含まれる場合、定義によりm'  ∉ M'  = φ ( m'  ) となり、これは定義によりm'が M' に含まれることを意味し、これが矛盾の 2 番目の部分です。

したがって、矛盾によりm'は 存在しない。この証明は、ツェルメロがラッセルのパラドックスを解決した方法と非常によく似ていることに注目されたい。

• S（集合論）