祖先関係

数理論理学では、二項関係Rの先祖関係(先祖と略されることが多い) はその推移閉包ですが、定義は異なります (以下を参照)。

祖先関係は、フレーゲのBegriffsschriftで初めて登場します。フレーゲは後に、それを彼のGrundgesetzeで有限 基数の定義の一部として使用しました。したがって、祖先関係は、算術の論理主義的基礎を求める彼の探求の重要な部分でした。

以下の番号付きの命題は、彼のBegriffsschriftから引用され、現代の表記法で書き直されたものです。

プロパティPが R -遺伝的であるとは、xがPであり、xRy が成り立つ場合は常に、yもPであることを意味します。

${\displaystyle (Px\land xRy)\rightarrow Py}$

個体b がaのR祖先( aR ^* bと表記) であるとは、b がaRxとなるすべてのオブジェクトxと同じR遺伝的特性をすべて備えている場合を指します。

${\displaystyle \mathbf {76:} \ \vdash aR^{*}b\leftrightarrow \forall F[\forall x(aRx\to Fx)\land \forall x\forall y(Fx\land xRy\to Fy)\to Fb]}$

祖先は推移的な関係です。

${\displaystyle \mathbf {98:} \ \vdash (aR^{*}b\land bR^{*}c)\rightarrow aR^{*}c}$

表記法I ( R )はRが関数的であることを表します(フレーゲはこのような関係を「多対一」と呼びます)。

${\displaystyle \mathbf {115:} \ \vdash I(R)\leftrightarrow \forall x\forall y\forall z[(xRy\land xRz)\rightarrow y=z]}$

Rが関数型である場合、 Rの祖先は現在では接続型と呼ばれるものになります^{[説明が必要]}。

${\displaystyle \mathbf {133:} \ \vdash (I(R)\land aR^{*}b\land aR^{*}c)\rightarrow (bR^{*}c\lor b=c\lor cR^{*}b)}$

祖先関係はの推移閉包に等しい。確かに、は推移的であり（上記98 を参照）、を含み（確かに、aRbであれば、もちろん、b は、aRxとなるすべてのオブジェクトxが持つR遺伝特性をすべて持ちます。なぜなら、 b はそのうちの 1 つだからです）、最後に、 は に含まれます（確かに、 を仮定し、特性を とすると、2 つの前提とが明らかに満たされます。したがって、 であり、これはの選択により を意味します）。以下の Boolos の本の 8 ページも参照してください。 ${\displaystyle R^{*}}$ ${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle aR^{*}b}$${\displaystyle Fx}$${\displaystyle aR^{+}x}$${\displaystyle \forall x(aRx\to Fx)}$${\displaystyle \forall x\forall y(Fx\land xRy\to Fy)}$${\displaystyle Fb}$${\displaystyle aR^{+}b}$${\displaystyle F}$

『プリンキピア・マテマティカ』は、クワインの『数理論理学』（1951年）と同様に、祖先的な表現を繰り返し使用しています。

しかし、祖先関係は一階論理では定義できません。標準的な意味論を持つ二階論理が本当に「論理」であるかどうかは議論の余地があります。クワインは、それが実際には「羊の皮をかぶった集合論」であると主張したことで有名です。PM に関連し、数学の重要な部分をモデル化できる形式体系を定めた著書、すなわち出版順に「ロジスティック体系」、「数理論理学」、「集合論とその論理」の中で、論理体系と非論理体系の適切な分離に関するクワインの最終的な見解は、不完全性現象の発生を可能にする公理が体系に追加されると、その体系はもはや純粋に論理的ではないということのようです。^{[引用が必要] [独自の研究? ]}

• 用語集
• ゴットロープ・フレーゲ
• 推移閉包

• ジョージ・ブーロス、1998年。『論理、論理、そして論理』ハーバード大学出版局。
• アイヴァー・グラッタン・ギネス、2000年。『数学的根源の探求』プリンストン大学出版局。
• ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン、1951年（1940年）。『数学論理学』ハーバード大学出版局。ISBN 0-674-55451-5 。

• スタンフォード哲学百科事典：「フレーゲの論理、定理、算術の基礎」 --エドワード N. ザルタ著。セクション 4.2。