爆発の原理

古典論理学、直観主義論理学、および類似の論理体系において、爆発の原理^{[a] [b]}は、任意の命題が矛盾から証明される法則である。^{[1] [2] [3]}つまり、矛盾から任意の命題（その否定を含む）を推論することができ、これは演繹的爆発として知られている。^{[4] [5]}

この原理の証明は、12世紀フランスの哲学者ウィリアム・ド・ソワソンによって初めて行われた。^[6]爆発の原理により、形式的な公理系に矛盾（不一致）が存在することは悲惨である。なぜなら、どんな命題も証明できるため、真偽の概念が矮小化されるからである。^[7] 20世紀初頭、数学の基礎におけるラッセルのパラドックスなどの矛盾の発見は、数学の構造全体を脅かすものとなった。ゴットロープ・フレーゲ、エルンスト・ツェルメロ、アブラハム・フランケル、トラルフ・スコーレムなどの数学者は、集合論を改訂してこれらの矛盾を排除することに多大な労力を費やし、現代のツェルメロ・フランケル集合論を生み出した。

この原理を証明するために、「すべてのレモンは黄色い」と「すべてのレモンが黄色いわけではない」という矛盾した 2 つの主張を考えてみましょう。そして、両方とも真実であると仮定します。その場合、次の議論を使用して、 たとえば「ユニコーンが存在する」という主張など、何でも証明できます。

1. 「すべてのレモンが黄色いわけではない」ということは、真実であると想定されてきたため、私たちは知っています。
2. 「レモンはすべて黄色い」というのは真実だと思われてきたので、私たちはそれを知っています。
3. したがって、「すべてのレモンは黄色い、またはユニコーンが存在する」という 2 つの部分から成るステートメントも真でなければなりません。これは、ステートメントの最初の部分 (「すべてのレモンは黄色い」) がすでに想定されており、「または」の使用は、ステートメントの一部でも真であれば、ステートメント全体も真でなければならないことを意味しているためです。
4. しかし、我々は「すべてのレモンが黄色いわけではない」ということも知っているので（これは想定されているとおり）、最初の部分は偽であり、したがって、2 つの部分からなる文が真であること、つまりユニコーンが存在することを保証するためには、2 番目の部分が真でなければなりません（この推論は選言三段論法として知られています）。
5. この手順は、ユニコーンが存在しないことを証明するために繰り返すことができ（したがって、ユニコーンが存在する場合と存在しない場合の追加の矛盾を証明する）、他の適切な式と同様に、真のステートメントが爆発的に増加します。

爆発原理によってもたらされる問題に対する別の解決策として、一部の数学者は矛盾論理と呼ばれる代替論理理論を考案しました。これは、他のすべての文の真理値に影響を与えることなく、いくつかの矛盾する文を証明できるようにするものです。^[7]

記号論理学では、爆発の原理は次のように模式的に表現できる。^{[8] [9]}

${\displaystyle P,\lnot P\vdash Q}$ 任意のステートメントPおよびQについて、Pと not- Pが両方とも真である場合、論理的にQも真になります。

以下はルイスの議論^[10]であり、記号論理を用いた爆発原理の正式な証明である。

この証明はCIルイスによって出版され、彼の名にちなんで名付けられましたが、中世の論理学者にもそのバージョンは知られていました。^{[11] [12] [10]}

これは、序論で示した非公式の議論の象徴的なバージョンにすぎず、 は「すべてのレモンは黄色い」を表し、は「ユニコーンが存在する」を表します。まず、(1) すべてのレモンは黄色であり、(2) すべてのレモンが黄色であるわけではないと仮定します。すべてのレモンが黄色であるという命題から、(3) すべてのレモンが黄色であるか、ユニコーンが存在するかのいずれかであると推論します。しかし、このこととすべてのレモンが黄色ではないという事実から、選言三段論法によって、(4) ユニコーンが存在すると推論します。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

この原理に関する別の議論は、モデル理論に由来しています。文が文の集合の意味論的帰結となるのは、 のすべてのモデルが のモデルである場合のみです。しかし、矛盾する集合 のモデルは存在しません。ましてや、のモデルではないのモデルは存在しません。したがって、空虚にも、 のすべてのモデルは のモデルです。したがって、の意味論的帰結は です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle \Gamma}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$

矛盾論理は、準矛盾形成演算子を許容するように開発されている。モデル理論的矛盾論理学者は、のモデルは存在しないという仮定を否定し、そのようなモデルが存在する意味体系を考案することが多い。あるいは、命題が真か偽かに分類できるという考えを拒否する。証明理論的矛盾論理は、通常、選言三段論法、選言導入、および背理法帰結を含む、爆発を導くために必要なステップの 1 つが妥当であることを否定する。 ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$

爆発の原理のメタ数学的価値は、この原理が成り立つあらゆる論理システムについて、 ⊥ (または同等の形式) を証明するあらゆる派生理論は価値がないということです。なぜなら、そのすべてのステートメントが定理になり、真実と虚偽を区別できなくなるからです。つまり、爆発の原理は古典論理における無矛盾法則の議論です。爆発の原理がなければ、すべての真実のステートメントは無意味になるからです。 ${\displaystyle \phi \land \lnot \phi }$

ex false のない論理の証明強度の低下については、極小論理で議論されています。

• ミラビリスの帰結– クラヴィウスの法則
• 二神論– 真の矛盾の存在を信じる
• 排中律– すべての命題は真か偽か
• 矛盾律– いかなる命題も真であり、かつ真ではないということはあり得ない
• 矛盾論理– 矛盾に対処するために使われる論理のグループ
• 含意のパラドックス– 爆発の原理から派生した一見矛盾した現象
• 帰納的帰納法– 命題が矛盾を生じているためにその命題は偽であると結論付ける
• 自明主義- 「Pかつ非P」という形式のすべての文が真であるという信念