哲学的論理学

真理様相論理は、論理学と哲学において非常に大きな影響力を持っています。それは、何が起こりうるか、あるいは必然的に真であるかを表現するための論理形式を提供します。^{[ 12 ] [ 9 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 14 ]}これは、それ自体では単純な真であることしか表現できない一階述語論理の拡張を構成します。この拡張は、2つの新しい記号を導入することによって行われます。${\displaystyle \Diamond }$「可能性のために」そして「${\displaystyle \Box }$「必要性のため。これらの記号は命題を修飾するために使用されます。たとえば、もし「${\displaystyle W(s)}$「」は「ソクラテスは賢い」という命題を表し、次に「${\displaystyle \Diamond W(s)}$「」は「ソクラテスが賢い可能性がある」という命題を表す。これらの記号を論理形式体系に統合するために、一階述語論理の既存の公理に様々な公理が追加される。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 30 ]}これらの公理は、推論の妥当性がこれらの記号が推論中に存在するという事実にどのように依存するかを決定することによって、これらの記号の論理的振る舞いを規定する。通常、命題が必然的であればその否定は不可能である、つまり「」という考え方が含まれる。${\displaystyle \Box A}$「は「」と同等です」${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}$「。もう一つのそのような原則は、何かが必要なら、それは可能でもあるはずだということです。これはつまり、${\displaystyle \Diamond A}$「は「から続く」${\displaystyle \Box A}$[ ^{27 ] [ 28 ] [ 30 ]}様相論理を規定する公理が正確にはどれであるかについては意見の相違がある。様相論理のさまざまな形式は、多くの場合、入れ子構造の階層として提示され、システム K のような最も基本的なシステムは最も^基本的な公理のみを含み、一般的なシステム S5のような他のシステムは、追加の公理を含めることによってその上に構築される。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 30 ]}この意味で、システム K は一階述語論理の拡張であり、システム S5 はシステム K の拡張である。哲学的論理学における重要な議論は、どの様相論理システムが正しいかという問題に関するものである。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 30 ]}通常、さまざまな推論を導き出すことができるように、可能な限り強力なシステムを持つことが有利である。しかし、これには、これらの追加の推論の一部が特定のケースで基本的な様相直観と矛盾する可能性があるという問題が伴う。これが通常、より基本的なシステムを選択する動機となる。公理系。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 30 ]}

可能世界意味論は、様相論理において非常に影響力のある形式意味論であり、システム S5 をもたらします。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 30 ]}言語の形式意味論は、その言語の文が真または偽となる条件を特徴付けます。形式意味論は、妥当性のモデル理論的概念において中心的な役割を果たします。^{[ 4 ] [ 10 ]}形式意味論は、推論が妥当であるか否かの明確な基準を提供できます。推論は、真理保存的である場合、つまり前提が真であれば結論も真である場合に限り妥当です。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 31 ]}それらが真か偽かは、形式意味論によって指定されます。可能世界意味論は、様相論理で表現された文の真理条件を可能世界の観点から指定します。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 30 ]}可能世界とは、物事がどのようにあり得たかを示す完全かつ一貫した方法である。^{[ 32 ] [ 33 ]}この見解では、${\displaystyle \Diamond }$-演算子は、少なくとも１つの可能な世界で真である場合に真であり、一方、によって修飾された文は${\displaystyle \Box }$-演算子は、それがすべての可能な世界で真である場合に真となります。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 30 ]}したがって、文「${\displaystyle \Diamond W(s)}$「（ソクラテスが賢い可能性は）少なくともソクラテスが賢い世界が一つ存在するので、これは真実である。しかし」${\displaystyle \Box W(s)}$「（ソクラテスが賢明であることは必要である）は、ソクラテスがすべての可能世界で賢明であるとは限らないため、偽である。可能世界意味論は、循環論法のように見えるため、様相論理の形式意味論として批判されてきた。^{[ 8 ]}その理由は、可能世界自体が様相用語、つまり物事がどのようにあり得たかの方法として定義されているからである。このようにして、可能世界自体が様相表現を用いて様相表現を含む文の真偽を判定する。^{[ 8 ]}

義務論理は古典論理を倫理の分野に拡張する。^{[ 34 ] [ 14 ] [ 35 ]}倫理において中心的に重要なのは、義務と許可の概念、つまり行為者が行わなければならない行為、または行うことが許される行為である。義務論理は通常、これらの考えを演算子で表現する。${\displaystyle O}$そして${\displaystyle P}$. ^{[ 34 ] [ 14 ] [ 35 ] [ 27 ]}だからもし「${\displaystyle J(r)}$「」は「ラミレスはジョギングに行く」という命題を表し、次に「${\displaystyle OJ(r)}$「つまり、ラミレスにはジョギングに行く義務があり、${\displaystyle PJ(r)}$「」は、ラミレスがジョギングに行く許可を得ていることを意味します。

義務論理は、演算子の論理的振る舞いを規定する公理が同一であるという点で、真理様相論理と密接に関連している。これは、義務と許可が妥当な推論に関して、必然性と可能性と同じように振る舞うことを意味する。^{[ 34 ] [ 14 ] [ 35 ] [ 27 ]}このため、同じ記号が演算子として使用されることもある。^{[ 36 ]}真理様相論理と同様に、義務的推論を規定する共通の直観を表現するのに適切な公理系はどれかについて、哲学的論理学で議論されている。^{[ 34 ] [ 14 ] [ 35 ]}しかし、これらの演算子の意味が異なるため、ここでの議論と反例は若干異なる。例えば、倫理学における共通の直観は、行為者が何かを行う義務を負っている場合、自動的にそれを行う許可も持っているというものである。これは、公理図式「${\displaystyle OA\to PA}$「 . ^{[ 34 ] [ 14 ] [ 35 ]}哲学的論理学にとって興味深いもう一つの問題は、真理様相論理と義務論理の関係である。この点に関してよく議論される原理は、「～すべきである」は「～できる」を意味するというものである。これは、行為者が何かを行う義務を負うことができるのは、行為者がそれを行うことが可能である場合に限られることを意味する。^{[ 37 ] [ 38 ]}形式的に表現すると次のようになる。${\displaystyle OA\to \Diamond A}$「 . ^{[ 34 ]}

時間論理、または時制論理は、論理的なメカニズムを用いて時間的関係を表現します。^{[ 39 ] [ 14 ] [ 35 ] [ 40 ]}最も単純な形式では、何かが特定の時間に起こったことを表す演算子と、何かが常に起こっていることを表す演算子の2つが含まれています。これら2つの演算子は、真理様相論理における可能性と必然性を表す演算子と同じように動作します。過去と未来の区別は人間の事柄において極めて重要であるため、これらの演算子はしばしばこの区別を考慮に入れるように修正されます。例えば、アーサー・プライアーの時制論理は、このような4つの演算子を用いてこの考え方を実現しています。${\displaystyle P}$（実際には…だった）${\displaystyle F}$（そうなるだろう…）${\displaystyle H}$（これまでずっとそうだったのですが…）、そして${\displaystyle G}$（常にこうなるだろう…）。^{[ 39 ] [ 14 ] [ 35 ] [ 40 ]}ロンドンでは常に雨が降るということを表現するには、「${\displaystyle G(Rainy(london))}$「。さまざまな公理が、その中に現れる演算子に応じて、どの推論が有効であるかを規定するために使用されます。それらによれば、たとえば、次のように推論できます。」${\displaystyle F(Rainy(london))}$「（ロンドンではいつか雨が降るでしょう）${\displaystyle G(Rainy(london))}$「。より複雑な形式の時相論理では、例えば、何かが別の何かが起こるまで何かが起こることを表すために、2つの命題を結びつける二項演算子も定義されます。 ^{[ 39 ]}

時間様相論理は、時間を単一の項の形で扱い、述語の項数を 1 つ増やすことで、古典的な一階述語論理に変換できます。^{[ 40 ]}例えば、時制論理文「${\displaystyle dark\land P(light)\land F(light)}$「（暗い、明かった、そしてまた明るくなる）は、純粋な一階述語論理では次のように翻訳できます」${\displaystyle dark(t_{1})\land \exists t_{0}(t_{0}<t_{1}\land light(t_{0}))\land \exists t_{2}(t_{1}<t_{2}\land light(t_{2}))}$「 . ^{[ 41 ]}物理学では同様のアプローチがよく見られるが、論理学者は通常、演算子による時間の自律的な扱いを好む。これは、動詞の活用など、文法を用いて出来事の過去性や未来性を表現する自然言語にも近い。^{[ 40 ]}

認識論理は、認識論の分野に適用される様相論理の一形態である。^{[ 42 ] [ 43 ] [ 35 ] [ 9 ]}これは、知識と信念の論理を捉えることを目的としている。知識と信念を表す様相演算子は、通常、記号「${\displaystyle K}$"そして"${\displaystyle B}$「。だからもし「${\displaystyle W(s)}$「」は「ソクラテスは賢い」という命題を表し、次に「${\displaystyle KW(s)}$「」は「行為者はソクラテスが賢明であることを知っている」という命題を表し、${\displaystyle BW(s)}$「」は「行為者はソクラテスが賢明であると信じている」という命題を表す。これらの演算子を規定する公理は、さまざまな認識原理を表現するために定式化される。^{[ 35 ] [ 42 ] [ 43 ]}例えば、公理図式「${\displaystyle KA\to A}$「」は、何かが知られているときはいつでも、それは真実であるということを表しています。これは、人は真実であることしか知ることができない、そうでなければそれは知識ではなく別の精神状態であるという考えを反映しています。^{[ 35 ] [ 42 ] [ 43 ]}知識に関するもう1つの認識論的直観は、行為者が何かを知っているとき、行為者は自分がそれを知っていることも知っているという事実に関係しています。これは、公理図式「」で表現できます。${\displaystyle KA\to KKA}$「 . ^{[ 35 ] [ 42 ] [ 43 ]}知識と信念を結びつける追加の原則は、知識は信念を意味する、つまり「${\displaystyle KA\to BA}$動的認識論理は、信念や知識の変化が生じる状況に焦点を当てた、認識論理の独特な形態である^。[ 44 ^]

高階論理は、新しい形式の量化を含めることで一階論理を拡張します。^{[ 12 ] [ 26 ] [ 45 ] [ 46 ]}一階論理では、量化は単数項に限定されます。述語がそもそも外延を持つかどうか、あるいはその外延がドメイン全体を含むかどうかについて議論するために使用できます。このようにして、「${\displaystyle \exists x(Apple(x)\land Sweet(x))}$「（甘いリンゴもある）は表現できる。高階論理では、量化は個々の項だけでなく述語に対しても許される。このようにして、例えば、ある個体が述語の一部または全部を共有しているかどうかを表現することができる。${\displaystyle \exists Q(Q(mary)\land Q(john))}$「（メアリーとジョンには共通する性質がいくつかあります）。^{[ 12 ] [ 26 ] [ 45 ] [ 46 ]}これらの変化により、高階論理は一階論理よりも表現力が高くなっています。さまざまな数学理論が一階論理よりも高階論理の方がはるかに簡単に表現できるため、これは数学にとってさまざまな点で役立ちます。^{[ 12 ]}例えば、ペアノ算術とツェルメロ＝フレンケル集合論は、一階論理で表現するには無限個の公理が必要ですが、二階論理では少数の公理だけで表現できます。^{[ 12 ]}

しかし、この利点にもかかわらず、一階述語論理は高階述語論理よりもはるかに広く使用されています。その理由の1つは、高階述語論理が不完全であることです。^{[ 12 ]}これは、高階述語論理で定式化された理論では、問題となっている理論に関連するすべての真の文を証明することができないことを意味します。^{[ 4 ]}もう1つの欠点は、高階述語論理の追加的な存在論的コミットメントに関連しています。存在量化子の使用は、この量化子が対象とする実体に対する存在論的コミットメントを伴うとよく考えられています。^{[ 9 ] [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ]}一階述語論理では、これは個体のみに関係し、通常は問題のない存在論的コミットメントと見なされます。高階述語論理では、量化は性質と関係にも関係します。^{[ 9 ] [ 26 ] [ 6 ]}これはしばしば、高階論理学がプラトン主義の一形態、すなわち個体に加えて普遍的な性質と関係が存在するという見解をもたらすという意味に解釈される。^{[ 12 ] [ 45 ]}

直観主義論理は、古典論理のより制限されたバージョンである。^{[ 18 ] [ 50 ] [ 14 ]}古典論理で使用される特定の推論規則が、直観主義論理では有効な推論を構成しないという意味で、より制限されている。これは特に排中律と二重否定の除去に関係する。^{[ 18 ] [ 50 ] [ 14 ]}排中律は、すべての文について、その文またはその否定のいずれかが真であると述べている。形式的に表現すると次のようになる。${\displaystyle A\lor \lnot A}$二重否定除去の法則は、文が真でないとなら、それは真であると述べている。つまり「${\displaystyle \lnot \lnot A\to A}$「 . ^{[ 18 ] [ 14 ]}これらの制約により、多くの証明はより複雑になり、そうでなければ受け入れられる証明の一部は不可能になる。^{[ 50 ]}

古典論理のこれらの修正は、真理は証明による検証に依存するという考えに基づいています。これは、「真」とは「検証可能」という意味で解釈されてきました。^{[ 50 ] [ 14 ]}元々は数学の分野にのみ適用されていましたが、その後他の分野でも使用されるようになりました。^{[ 18 ]}この解釈では、排中律は、すべての数学の問題には証明の形で解があるという仮定を含むことになります。この意味で、排中律の直観主義的否定は、この仮定の否定によって動機づけられています。^{[ 18 ] [ 14 ]}この立場は、経験されない真理や検証を超越する真理は存在しないと述べることによっても表現できます。^{[ 50 ]}この意味で、直観主義論理は形而上学的観念論の一形態によって動機づけられています。数学に適用すると、数学的対象は心の中で構築される限りにおいてのみ存在すると述べています。^{[ 50 ]}

自由論理は、古典論理に見られる存在前提の一部を拒否します。^{[ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}古典論理では、すべての単数項は量化領域内の対象を表さなければなりません。^{[ 51 ]}これは通常、名前の付いた実体の存在に対する存在論的コミットメントとして理解されます。しかし、「サンタクロース」や「ペガサス」のように、実在する実体を指し示さない名前が日常会話で多く使われています。これは、そのような会話領域を厳密な論理的扱いから排除する恐れがあります。自由論理は、非指示単数項を含む式を許容することで、これらの問題を回避します。^{[ 52 ]}これは、固有名詞、確定記述、関数表現にも適用されます。 ^{[ 51 ] [ 53 ]}一方、量化子は、通常どおり領域を範囲とするものとして扱われます。これにより、「${\displaystyle \lnot \exists x(x=santa)}$「（サンタクロースは存在しない）は、古典論理では自己矛盾しているにもかかわらず、真であるとみなされる。^{[ 51 ]}また、古典論理で見られる特定の有効な推論形式が、自由論理では有効ではないという結果も伴う。例えば、次のような推論が考えられる。」${\displaystyle ひげ(サンタ)}$「（サンタクロースにはひげがある）${\displaystyle \exists x(Beard(x))}$「（何かがひげを生やしている）古典論理ではそうであるが、自由論理ではそうではない。^{[ 51 ]}自由論理では、単数項がドメイン内の対象を表すかどうかを示すために存在述語がよく使われる。しかし、存在述語の使用は議論の的となっている。対象に述語を適用するには存在が必要であるという考えに基づいて、存在述語はしばしば反対される。この意味では、存在自体は述語にはなり得ない。^{[ 9 ] [ 54 ] [ 55 ]}

「自由論理」という用語を造語したカレル・ランバートは、自由論理は古典述語論理の一般化として理解できると示唆している。これは、述語論理がアリストテレス論理の一般化であるのと同様である。この見解によれば、古典述語論理は空拡張を持つ述語を導入するのに対し、自由論理は存在しないものの単項を導入する。^{[ 51 ]}

自由論理における重要な問題は、空の単項式を含む式の真偽値をどのように決定するか、すなわち自由論理の形式意味論をどのように定式化するかという点にある。 ^{[ 56 ]}古典論理の形式意味論は、式の真偽をその指示対象によって定義することができる。しかし、自由論理では、すべての式に指示対象があるわけではないため、この方法はすべての式に適用できるわけではない。^{[ 56 ]}この問題に対する3つの一般的なアプローチが文献でよく議論されている。否定意味論、肯定意味論、中立意味論である。^{[ 53 ]}否定意味論では、空の項を含むすべての原子式は偽であると主張する。この見解では、式「${\displaystyle ひげ(サンタ)}$「は偽である。^{[ 56 ] [ 53 ]}ポジティブ意味論では、空項を持つ式の一部が真となることが許容される。これには通常、次のような同一性命題が含まれる。「${\displaystyle santa=santa}$「。一部のバージョンでは、存在しないオブジェクトに対して第2の外部ドメインを導入し、それを使用して対応する真偽値を決定します。^{[ 56 ] [ 53 ]} 一方、中立意味論では、空の項を含む原子式は真でも偽でもないとされています。 ^{[ 56 ] [ 53 ]} これはしばしば3値論理として理解され、つまり、これらのケースでは真と偽に加えて3番目の真偽値が導入されます。^{[ 57 ]}

多値論理は、2 つ以上の真理値を許容する論理です。^{[ 58 ] [ 14 ] [ 59 ]}これらは、古典論理の中核的な仮定の 1 つである真理の二値性の原理を否定します。多値論理の最も単純なバージョンは、3 値論理です。これは、3 番目の真理値を含みます。たとえば、Stephen Cole Kleeneの 3 値論理では、この 3 番目の真理値は「未定義」です。 ^{[ 58 ] [ 59 ]} Nuel Belnapの 4 値論理によれば、可能な真理値は「真」、「偽」、「真でも偽でもない」、「真と偽の両方」の 4 つです。これは、たとえば、状態が取得するかどうかに関する情報、つまり、取得している情報、取得していない情報、情報なし、矛盾する情報を示すものとして解釈できます。^{[ 58 ]}多値論理の最も極端な形式の 1 つはファジー論理です。真理は 0 から 1 の間の任意の程度で生じることができます。^{[ 60 ] [ 58 ] [ 14 ]} 0 は完全に偽、1 は完全に真に対応し、その間の値は、少し真または非常に真であるなど、ある程度の真理に対応します。^{[ 60 ] [ 58 ]}これは、自然言語の曖昧な表現を扱うためによく使用されます。たとえば、「ペトルは若い」と言う場合、「ペトル」が 23 歳を指す場合よりも 3 歳を指す場合の方が適切です (つまり、「より真」です)。^{[ 60 ]}有限個の真理値を持つ多値論理は、古典論理と同様に、真理表を使用して論理結合子を定義できます。違いは、考慮する必要のある可能な入力と出力が多いため、これらの真理表がより複雑になることです。^{[ 58 ] [ 59 ]}例えば、クリーネの3値論理では、論理積演算子「${\displaystyle \land }$結果として「undefined」が出力されます。一方、入力「false」と「undefined」は「false」を出力します。^{[ 61 ] [ 59 ]}

パラコンシステント論理は、完全な不条理に陥ることなく矛盾を処理できる論理体系です。^{[ 62 ] [ 14 ] [ 63 ]}これは、古典論理に見られる爆発原理を回避することによって実現されます。爆発原理によれば、矛盾から何でも導き出されます。これは、古典論理で有効な2つの推論規則、すなわち選言導入と選言三段論法によるものです。^{[ 62 ] [ 14 ] [ 63 ]}選言導入によれば、任意の命題は、真の命題と対になったときに選言の形で導入できます。^{[ 64 ]}したがって、「太陽は月より大きい」が真であるため、「太陽は月より大きいか、またはスペインは宇宙ウサギによって支配されている」と推論できます。選言三段論法によれば、これらの選言のうち一方が偽であれば、もう一方が真であると推論できます。^{[ 64 ]}したがって、論理体系にこの命題の否定、つまり「太陽は月より大きくない」という命題も含まれている場合、この体系から「スペインは宇宙ウサギに支配されている」という命題のような任意の命題を推論することが可能になります。パラコンシステント論理は、爆発原理に従って推論を無効にする異なる推論規則を使用することでこれを回避します。^{[ 62 ] [ 14 ] [ 63 ]}

パラコンシステント論理を使用する重要な動機は、ダイアレティズム、つまり、矛盾は間違いによって理論に導入されるだけでなく、現実自体が矛盾しており、現実を正確に反映するためには理論内の矛盾が必要であるという信念です。^{[ 63 ] [ 65 ] [ 62 ] [ 66 ]}パラコンシステント論理がなければ、すべてが真であり偽でもあるため、ダイアレティズムは絶望的になります。^{[ 66 ]}パラコンシステント論理は、システム全体を破綻させることなく、矛盾を局所的に維持することを可能にします。 ^{[ 14 ]}しかし、この調整があっても、ダイアレティズムは依然として激しく議論されています。^{[ 63 ] [ 66 ]}パラコンシステント論理のもう1つの動機は、グループ全体として、異なるメンバーが意見を異にする場合に矛盾した信念を持つ可能性がある議論やグループの信念のための論理を提供することです。^{[ 63 ]}