グループ（数学）

より馴染みのあるグループの一つは整数の集合である。$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$加算 とともに。^{[ 3 ]}任意の2つの整数に対して${\displaystyle a}$そして​${\displaystyle b}$合計​​${\displaystyle a+b}$も整数です。このクロージャ特性は、${\displaystyle +}$は上の二項演算です${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ 。以下の整数加算の性質は、下記の定義における群の公理のモデルとして機能します^{。 [ 4 ]}

• すべての整数に対して${\displaystyle a}$⁠、${\displaystyle b}$そして​ ${\displaystyle c}$⁠、1つは⁠${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$言葉で表現すると、${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$まず、そしてその結果を${\displaystyle c}$加えるのと同じ最終結果が得られます${\displaystyle a}$合計${\displaystyle b}$そして​ ${\displaystyle c}$この性質は結合法則として知られています。 ^{[ 4 ]}
• もし${\displaystyle a}$は任意の整数である。${\displaystyle 0+a=a}$そして​${\displaystyle a+0=a}$ゼロは加算の単位元と呼ばれ、任意の整数にゼロを加えると元の整数と同じ値になる。 ^{[ 4 ]}
• すべての整数に対して⁠${\displaystyle a}$整数が存在する${\displaystyle b}$そのため${\displaystyle a+b=0}$そして​${\displaystyle b+a=0}$整数​${\displaystyle b}$は整数の逆元と呼ばれる。${\displaystyle a}$そして、と表記される。 ${\displaystyle -a}$⁠ . ^{[ 4 ]}

整数と演算⁠${\displaystyle +}$⁠、類似した構造的側面を共有する広範なクラスに属する数学的対象を形成します。これらの構造を集合体として適切に理解するために、次の定義が展開されます。

グループとは集合のことである${\displaystyle G}$バイナリ演算と併せて⁠${\displaystyle G}$⁠、ここでは「 ⁠と表記される${\displaystyle \cdot }$⁠、任意の2つの要素を組み合わせたもの${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$の${\displaystyle G}$要素を形成する${\displaystyle G}$⁠、表記⁠${\displaystyle a\cdot b}$⁠、次の 3 つの要件 (群公理として知られています) が満たされます: ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ a ]}

連想性

すべての人にとって${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle b}$⁠、 ⁠${\displaystyle c}$⁠で⁠${\displaystyle G}$⁠、1つは⁠${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$⁠ .

識別要素

要素が存在する${\displaystyle e}$で${\displaystyle G}$すべての${\displaystyle a}$で⁠${\displaystyle G}$⁠、1つは⁠${\displaystyle e\cdot a=a}$そして​​${\displaystyle a\cdot e=a}$⁠ .

そのような要素${\displaystyle e}$これは固有のものです。これは群の恒等要素（または中立要素）と呼ばれます。

逆要素

各${\displaystyle a}$で⁠${\displaystyle G}$要素が存在する${\displaystyle b}$で${\displaystyle G}$そのため${\displaystyle a\cdot b=e}$そして​${\displaystyle b\cdot a=e}$⁠、そこで${\displaystyle e}$は同一性要素です。

各⁠${\displaystyle a}$要素​${\displaystyle b}$はユニークです。それはの逆と呼ばれます。${\displaystyle a}$一般的にはと表記される$\displaystyle a^{-1}}$⁠ .

注：恒等式の一意性と逆元の一意性は公理の一部ではなく、3つの公理の帰結です。

厳密に言えば、群とは、集合と、その集合に対する群の公理を満たす二項演算の順序対のことである。集合は群の基礎集合と呼ばれ、演算は群演算または群法則と呼ばれる。

群とその基礎となる集合は、このように2つの異なる数学的対象である。表記の煩雑さを避けるため、両方を同じ記号で表すという表記法の濫用が一般的である。これはまた、群は演算によって付加的な構造が加えられた集合と同じであるという、非公式な考え方を反映している。

例えば、実数の集合を考えてみましょう。${\displaystyle \mathbb {R} }$加算演算を持つ${\displaystyle a+b}$そして乗算​${\displaystyle ab}$正式には、${\displaystyle \mathbb {R} }$集合です。${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$グループであり、${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$はフィールドです。しかし、次のように書くのが一般的です。${\displaystyle \mathbb {R} }$これら3つの対象のいずれかを表す。

場の加法群${\displaystyle \mathbb {R} }$は、その基礎となる集合が${\displaystyle \mathbb {R} }$そしてその演算は加算である。体の乗法群${\displaystyle \mathbb {R} }$グループ$\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$その基礎となる集合は、ゼロでない実数の集合である。$\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$そしてその演算は乗算である。

より一般的には、群演算が加算として表記される場合、加法群と呼ばれます。この場合、単位元は通常 と表記されます。${\displaystyle 0}$⁠、そして要素の逆数${\displaystyle x}$と表記される${\displaystyle -x}$同様に、群演算が乗法として表記される場合、乗法群と呼ばれます。この場合、単位元は通常 と表記されます。${\displaystyle 1}$⁠、そして要素の逆数${\displaystyle x}$と表記される${\displaystyle x^{-1}}$乗法群では、演算記号は通常完全に省略され、演算は並置によって表されます。${\displaystyle ab}$代わりに⁠${\displaystyle a\cdot b}$⁠ .

グループの定義には、${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$すべての要素について${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$で⁠${\displaystyle G}$この追加条件が満たされる場合、演算は可換であると言われ、その群はアーベル群と呼ばれます。アーベル群には加法表記と乗法表記のどちらでも使用できますが、非アーベル群には乗法表記のみを使用するのが一般的な慣例です。

要素が数値でない群には、他にもいくつかの表記法が一般的に用いられます。要素が関数である群の場合、演算は関数合成となることが多いです。${\displaystyle f\circ g}$⁠ ; この場合、恒等式は id と表記される。幾何学的変換群、対称群、置換群、自己同型群のより具体的な場合では、記号は${\displaystyle \circ }$乗法群の場合と同様に、省略されることが多い。その他にも多くの表記法が見られる。

正方形の対称群の要素、${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$頂点は色または番号で識別されます。

${\displaystyle \mathrm {id} }$（現状維持）

$\displaystyle r_1}}$（時計回りに90度回転）

$\displaystyle r_2$（180度回転）

$\displaystyle r_3$（時計回りに270度回転）

${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$（垂直反射）

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$（水平反射）

${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$（斜め反射）

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$（対角線方向への反転）

平面上の 2 つの図形は、回転、鏡映、平行移動の組み合わせを使用して一方を他方に変換できる場合、合同です。どの図形もそれ自身と合同です。ただし、一部の図形は複数の方法でそれ自身と合同であり、これらの追加の合同は対称性と呼ばれます。正方形には 8 つの対称性があります。これらは次のとおりです。^{[ 8 ]}

• 全てをそのままにしておく恒等演算は、${\displaystyle \operatorname {id} }$;
• 正方形をその中心軸を中心に時計回りに90°、180°、270°回転させたものを、 で表す。$\displaystyle r_1}}$⁠、$\displaystyle r_2$そして​$\displaystyle r_3$それぞれ;
• 水平および垂直の中心線についての考察（${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$そして​​${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠ )、または2つの対角線を通して（ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$そして​​${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$⁠ )

これらの対称性は関数です。それぞれが正方形内の点を対称性の下で対応する点に写します。たとえば、$\displaystyle r_1}}$正方形の中心を中心に時計回りに90°回転する点を送り、${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$点を正方形の垂直な中心線に関して鏡像に写す。これらの対称性を2つ組み合わせると、別の対称性が得られる。これらの対称性によって、4次の二面体群と呼ばれる群が決定され、 で表される。${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠。群の基礎となる集合は上記の対称性の集合であり、群演算は関数合成です。2つの対称性は関数として合成することによって結合されます。つまり、最初の対称性を正方形に適用し、2番目の対称性を最初の適用結果に適用します。最初の操作を実行した結果は${\displaystyle a}$その後${\displaystyle b}$右から左へ象徴的に書くと${\displaystyle b\circ a}$（「対称性を適用する」${\displaystyle b}$対称操作を行った後${\displaystyle a}$⁠ ")。これは関数の合成を表す通常の表記法です。 ^{[ 9 ]}

ケイリー表には、そのような構成の可能な結果がすべて記載されています。たとえば、時計回りに 270° 回転させると ( ⁠$\displaystyle r_3$⁠ ) そして水平方向に反射する（ ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠ ) は、対角線に沿って反射を行うことと同じです ( ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$上記の記号（ケイリー表で青色で強調表示されているもの）を使用します。 $${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

この一連の対称性と上述の操作を考慮すると、群の公理は次のように理解できる。

• 二項演算：合成は二項演算です。つまり、${\displaystyle a\circ b}$は任意の2つの対称性に対する対称性である${\displaystyle a}$そして​${\displaystyle b}$例えば、$${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} }.}$$つまり、水平方向に反転させた後に時計回りに270°回転させることは、対角線に沿って反転させることに等しい（${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$実際、ケイリー表を使って確認できるように、2つの対称性の組み合わせはすべて対称性を生み出します。
• 結合法則：結合法則の公理は、2つ以上の対称性を構成することを扱います。3つの要素から始めます。${\displaystyle a}$⁠、 ⁠${\displaystyle b}$そして​​${\displaystyle c}$の​​${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠、この順序でこれら 3 つの対称性を使用して正方形の対称性を決定する方法は 2 つあります。これらの方法の 1 つは、最初に${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$単一の対称性に、次にその対称性を と合成する${\displaystyle c}$⁠。もう一つの方法は、まず作曲することです。${\displaystyle b}$そして​${\displaystyle c}$⁠、そして結果として得られる対称性を⁠と合成する${\displaystyle a}$⁠。この2つの方法は常に同じ結果をもたらすはずです。つまり、$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).}$$例えば、${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$ケイリー表を使用して確認できます。$${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$
• 同一要素：同一要素は⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$対称性は変化しないため${\displaystyle a}$左側または右側のどちらに配置しても構いません。
• 逆要素：各対称性には逆要素が存在する。${\displaystyle \mathrm {id} }$⁠、反射⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠、 ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$⁠、 ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$⁠、 ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$そして180度回転${\displaystyle r_{2}}$それらは自身の逆操作である。なぜなら、それらを2回実行すると正方形が元の向きに戻るからである。回転${\displaystyle r_{3}}$そして${\displaystyle r_{1}}$これらは互いに逆の関係にあります。なぜなら、90°回転させてから270°回転させると（またはその逆）、360°回転しても正方形は変化しないからです。これは表を見れば簡単に確認できます。

上記の整数群とは対照的に、演算の順序は重要ではないが、 では重要となる。${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$例えば、${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$しかし​${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$つまり、${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$はアーベル群ではない。

群の公理は、単位元が一意であることを示唆している。つまり、単位元はただ一つしか存在しない。任意の2つの単位元は${\displaystyle e}$そして${\displaystyle f}$群の要素は等しい。なぜなら群の公理は を意味するからである。${\displaystyle e=e\cdot f=f}$したがって、集団のアイデンティティ要素について語るのが慣例となっている^{。 [ 29 ]}

群の公理は、各要素の逆元が一意であることも示唆している。群の要素を${\displaystyle a}$両方持っている${\displaystyle b}$そして${\displaystyle c}$逆元として。

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

したがって、要素の逆元について語るのが慣例となっている。 ^{[ 29 ]}

与えられた要素${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$グループの${\displaystyle G}$独自の解決策があります${\displaystyle x}$で${\displaystyle G}$方程式に${\displaystyle a\cdot x=b}$すなわち${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$[ ^{c ] [ 30 ]}したがって、^各${\displaystyle a}$で${\displaystyle G}$関数${\displaystyle G\to G}$それぞれのマップ${\displaystyle x}$に${\displaystyle a\cdot x}$は全単射です。左乗算と呼ばれます。${\displaystyle a}$または左翻訳${\displaystyle a}$。

同様に、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$で${\displaystyle G}$独自のソリューション${\displaystyle x}$に${\displaystyle x\cdot a=b}$は${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$.各${\displaystyle a}$関数${\displaystyle G\to G}$それぞれのマップ${\displaystyle x}$に${\displaystyle x\cdot a}$は右乗算と呼ばれる全単射である。${\displaystyle a}$または正しい翻訳${\displaystyle a}$。

単位元と逆元に関する群の公理は、左単位元と左逆元の存在のみを主張するように「弱められる」ことがある。これらの片側公理から、同じ要素に対して左単位元は右単位元でもあり、左逆元は右逆元でもあることを証明できる。これらは群と全く同じ構造を定義するため、公理全体としては弱くならない。^{[ 31 ]}

特に、連想性と左派アイデンティティの存在を仮定すると${\displaystyle e}$（つまり、${\displaystyle e\cdot f=f}$⁠ ) および左逆${\displaystyle f^{-1}}$各要素について${\displaystyle f}$（つまり、${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$⁠ ) から、すべての左逆元は同じ要素の右逆元でもあることが次のように導かれる。 ^{[ 31 ]} 実際、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

同様に、左の恒等式は右の恒等式でもある。^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

これらの結果は、これらの公理（結合法則、左単位元の存在、左逆元の存在）のいずれかが削除された場合は成り立ちません。定義がより緩やかな構造（半群など）の場合、例えば、左単位元が必ずしも右単位元ではないという状況が生じる可能性があります。

右恒等式と右逆元が存在すると仮定するだけで、同じ結果が得られる。

しかし、左単位元と右逆元（またはその逆）が存在すると仮定するだけでは、群を定義するには不十分です。例えば、集合を考えてみましょう。${\displaystyle G=\{e,f\}}$オペレーターと共に${\displaystyle \,\!\cdot }$満足${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$そして​${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$⁠。この構造には左のアイデンティティがあります（つまり、 ⁠${\displaystyle e}$⁠ )、そして各要素には右逆元があります（それは${\displaystyle e}$両方の要素について）。さらに、この演算は結合法則を満たします（任意の数の要素の積は、これらの演算が適用される順序に関係なく、常にその積の最も右の要素に等しくなります）。ただし、${\displaystyle (G,\cdot )}$それはグループではない。なぜなら、それは明確なアイデンティティを欠いているからだ。

群準同型写像^{[ e ]}は群構造を尊重する関数であり、2つの群を関連付けるために使用できます。群からの準同型写像${\displaystyle (G,\cdot )}$グループへ${\displaystyle (H,*)}$関数です${\displaystyle \varphi :G\to H}$そのため

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$すべての要素について${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$で⁠${\displaystyle G}$⁠ .

また、以下のことも要求するのが自然だろう。${\displaystyle \varphi }$アイデンティティを尊重する、${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$⁠、および逆数、${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$すべての人々のために${\displaystyle a}$で⁠${\displaystyle G}$しかし、これらの追加要件は準同型写像の定義に含める必要はありません。なぜなら、それらは群演算を尊重するという要件によって既に暗黙のうちに含まれているからです。 ^{[ 32 ]}

群の恒等準同型${\displaystyle G}$準同型写像${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$各要素をマッピングする${\displaystyle G}$自身への逆準同型。準同型の逆準同型${\displaystyle \varphi :G\to H}$準同型写像${\displaystyle \psi :H\to G}$そのため${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$そして​${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$すなわち、${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$すべての人々のために${\displaystyle g}$で${\displaystyle G}$そしてそのような${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$すべての人々のために${\displaystyle h}$で⁠${\displaystyle H}$同型写像とは、逆準同型写像を持つ準同型写像のことです。言い換えれば、全単射準同型写像のことです。群${\displaystyle G}$そして${\displaystyle H}$同型写像が存在する場合、それらは同型であると呼ばれる。${\displaystyle \varphi :G\to H}$この場合、${\displaystyle H}$入手先は${\displaystyle G}$単に機能に応じて要素の名前を変更するだけで${\displaystyle \varphi }$⁠ ; ならば、次の記述が真である${\displaystyle G}$はに当てはまります${\displaystyle H}$ただし、声明で言及されている特定の要素もすべて名称変更されるものとする。

すべての群の集合と、それらの間の準同型写像は、群の圏という圏を形成する。^{[ 33 ]}

単射準同型${\displaystyle \phi :G'\to G}$因子は、同型写像に続いて包含写像として標準的に表される。${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$あるサブグループについて${\displaystyle H}$の​​${\displaystyle G}$単射準同型写像は群の圏における単射準同型写像である。

非公式には、サブグループとはグループである。${\displaystyle H}$より大きなものの中に含まれていて、${\displaystyle G}$⁠ : それは の要素のサブセットを持っています⁠${\displaystyle G}$⁠、同じ操作で。 ^{[ 34 ]}具体的には、これは、の単位元が${\displaystyle G}$に含まれていなければならない${\displaystyle H}$⁠、そしていつでも${\displaystyle h_{1}}$そして${\displaystyle h_{2}}$両方とも${\displaystyle H}$⁠、そうすれば${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$そして​${\displaystyle h_{1}^{-1}}$⁠ 、したがって、 ⁠の要素${\displaystyle H}$グループオペレーションを装備${\displaystyle G}$制限されている⁠${\displaystyle H}$⁠、確かにグループを形成します。この場合、包含マップ${\displaystyle H\to G}$これは準同型写像である。

正方形の対称性の例では、恒等写像と回転写像は部分群を構成する。${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$例のケイリー表で赤字で強調されているように、任意の2つの回転を組み合わせても回転は変わりません。また、回転は相補回転である270°と90°、180°と180°、90°と270°によって元に戻すことができます（つまり、逆回転です）。部分群テストは、空でない部分集合の必要十分条件を提供します。${\displaystyle H}$グループの​${\displaystyle G}$サブグループである: チェックすれば十分です${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$すべての要素について${\displaystyle g}$そして${\displaystyle h}$で⁠${\displaystyle H}$グループのサブグループを知ることは^、グループ全体を理解する上で重要である。 [ ^{f ]}

任意の部分集合が与えられた場合${\displaystyle S}$グループの${\displaystyle G}$⁠ 、によって生成されたサブグループ${\displaystyle S}$要素のすべての製品から構成される${\displaystyle S}$およびそれらの逆元。これは、の最小の部分群です。${\displaystyle G}$含む​${\displaystyle S}$⁠ . ^{[ 35 ]}正方形の対称性の例では、によって生成される部分群は${\displaystyle r_{2}}$そして${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$これら２つの要素、すなわち同一性要素から構成される。${\displaystyle \mathrm {id} }$⁠、そして要素⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$これも部分群です。なぜなら、これら4つの要素のうち任意の2つ、またはそれらの逆元（この場合は同じ要素）を組み合わせると、この部分群の要素が得られるからです。

多くの状況において、与えられた部分群の要素によって異なる2つの群要素を同一とみなすことが望ましい。例えば、正方形の対称群では、一度鏡映を行うと、回転だけでは正方形を元の位置に戻すことができないため、鏡映後の正方形の位置はすべて互いに等価であり、鏡映前の正方形の位置とは等価ではないと考えることができる。回転操作は、鏡映が行われたかどうかという問題とは無関係である。この考え方を形式化するために剰余類が用いられる。部分群${\displaystyle H}$左剰余類と右剰余類を決定する。これは、${\displaystyle H}$任意の群要素によって${\displaystyle g}$記号的に言えば、の左剰余類と右剰余類は${\displaystyle H}$要素を含む${\displaystyle g}$⁠、は

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$そして​${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$それぞれ。^{[ 36 ]}

任意の部分群の左剰余類${\displaystyle H}$のパーティションを形成する${\displaystyle G}$⁠ ; つまり、すべての左剰余類の和集合は、${\displaystyle G}$そして、2つの左剰余類は等しいか、または空集合の共通部分を持つ。^{[ 37 ]}最初のケース${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$まさにその時起こる${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$⁠ 、つまり、2 つの要素が⁠の要素だけ異なる場合${\displaystyle H}$⁠ 。同様の考察は、 ⁠の右剰余類にも当てはまります。${\displaystyle H}$左剰余類${\displaystyle H}$右剰余類と同じ場合もあれば、そうでない場合もある。もしそうであれば（つまり、すべての剰余類が同じであれば）、${\displaystyle g}$で${\displaystyle G}$満足する${\displaystyle gH=Hg}$⁠ )、それから${\displaystyle H}$は正常サブグループであると言われています。

で⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$正方形の対称群とその部分群${\displaystyle R}$回転の左剰余類${\displaystyle gR}$等しいか、${\displaystyle R}$⁠、もし${\displaystyle g}$は${\displaystyle R}$それ自体、またはそれと同等${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$（ケイリー表で緑色で強調表示されています）${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$（）サブグループ${\displaystyle R}$正常です、なぜなら${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$そして、グループの他の要素についても同様です。（実際、⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠、鏡映によって生成される剰余類はすべて等しい。${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$⁠ .)

仮に${\displaystyle N}$は、ある群の正規部分群である。${\displaystyle G}$⁠、そして $${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$ は剰余類の集合を表す。すると、 上に一意の群法則が存在する。${\displaystyle G/N}$その地図は${\displaystyle G\to G/N}$各要素を送信する${\displaystyle g}$に${\displaystyle gN}$は準同型写像である。具体的には、2 つの剰余類の積である。${\displaystyle gN}$そして${\displaystyle hN}$です​${\displaystyle (gh)N}$⁠、剰余類${\displaystyle eN=N}$のアイデンティティとして機能する${\displaystyle G/N}$⁠、そしてその逆${\displaystyle gN}$商のグループでは⁠${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$グループ​​${\displaystyle G/N}$⁠、次のように読みます " ⁠${\displaystyle G}$⁠モジュロ⁠${\displaystyle N}$⁠ ", ^{[ 38 ]}は商群または因子群と呼ばれます。商群は、普遍性によって特徴付けられることもあります。

商群の要素${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$は${\displaystyle R}$そして​${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$商に対する群演算は表に示されています。例えば、${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$サブグループ両方${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$そして商${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$アーベル群ですが、${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$そうではありません。半直積構成により、部分群と商（およびいくつかの追加データ）から群を再構成できる場合があります。${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$はその一例です。

第1同型定理は、任意の全射準同型が${\displaystyle \phi :G\to H}$因数は、商準同型写像に続いて同型写像として標準的に表される。${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$全射準同型写像は群の圏における全射準同型写像である。

あらゆる群は、多くの点で自由群の商群と同型である。

例えば、二面角群${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$右回転によって生成されます${\displaystyle r_{1}}$そして反射${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$垂直線上に（すべての要素${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$はこれらのコピーとその逆元の有限積である。したがって、全射準同型が存在する。${\displaystyle \phi }$無料グループから${\displaystyle \langle r,f\rangle }$2つの発電機で${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$送信中${\displaystyle r}$に${\displaystyle r_{1}}$そして${\displaystyle f}$へ​${\displaystyle f_{1}}$要素​${\displaystyle \ker \phi }$これらは関係と呼ばれます。例としては、${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$⁠。実際、${\displaystyle \ker \phi }$は、${\displaystyle \langle r,f\rangle }$これら３つの要素を含みます。言い換えれば、すべての関係はこれら３つの要素の結果です。自由群とこの正規部分群の商は と表記されます。${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$これはプレゼンテーションと呼ばれます${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$生成子と関係によって、最初の同型定理は⁠${\displaystyle \phi }$同型写像が得られる${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$⁠ . ^{[ 39 ]}

群の表現は、離散群のグラフィカルな表現であるケイリーグラフを構築するために使用できる。^{[ 40 ]}

整数や有理数など、多くの数体系は自然に群構造を持つ。有理数のように、加算と乗算の両方の演算によって群構造が生じる場合もある。このような数体系は、環や体として知られるより一般的な代数構造の先駆けとなる。加群、ベクトル空間、代数といったさらに抽象的な代数概念もまた群を形成する。

法に対するモジュラー演算${\displaystyle n}$任意の2つの要素を定義する${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$倍数だけ異なる${\displaystyle n}$同等であることは、⁠で表される。${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$すべての整数は、次の整数のいずれかと等価です。${\displaystyle 0}$へ​${\displaystyle n-1}$⁠、モジュラー算術の演算は、任意の演算の結果をその等価な表現に置き換えることによって、通常の算術を変更します。モジュラー加算は、整数に対してこのように定義されます。${\displaystyle 0}$へ​${\displaystyle n-1}$⁠、はグループを形成し、と表記される。${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$または⁠${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$⁠、${\displaystyle 0}$アイデンティティ要素として、${\displaystyle n-a}$の逆元として${\displaystyle a}$⁠ .

よく知られた例としては、時計の文字盤上の時間の加算があり、ここでは恒等線の代表として0ではなく12が選択されます。時針が${\displaystyle 9}$そして進歩している${\displaystyle 4}$数時間後には、${\displaystyle 1}$図に示すように、これは次のように表現されます。${\displaystyle 9+4}$は${\displaystyle 1}$「モジュロ」${\displaystyle 12}$または、記号で表すと、 $${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

任意の素数に対して${\displaystyle p}$また、整数の乗法群も存在する。${\displaystyle p}$⁠ . ^{[ 45 ]}その要素は次のように表すことができます。${\displaystyle 1}$へ​${\displaystyle p-1}$⁠ . 群演算、モジュロ乗算⁠${\displaystyle p}$⁠、通常の積をその代表値に置き換え、除算の余りを⁠${\displaystyle p}$例えば、​${\displaystyle p=5}$⁠、4つのグループ要素は次のように表すことができます。${\displaystyle 1,2,3,4}$このグループでは、${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\pmod {5}}}$⁠、通常の製品${\displaystyle 16}$はと同等です${\displaystyle 1}$:で割ったとき${\displaystyle 5}$残りは⁠${\displaystyle 1}$⁠。${\displaystyle p}$2 つの代表の通常の積が で割り切れないことを保証します。${\displaystyle p}$したがって、モジュラー積はゼロではない。 ^{[ m ]}単位元は次のように表される。 ${\displaystyle 1}$⁠、結合法則は整数の対応する性質から導かれる。最後に、逆元公理は、与えられた整数に対して次のことを要求する。${\displaystyle a}$で割り切れない${\displaystyle p}$⁠、整数が存在する${\displaystyle b}$そのため $${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$ つまり、${\displaystyle p}$均等に分割する${\displaystyle a\cdot b-1}$逆​${\displaystyle b}$ベズーの恒等式と最大公約数という事実を用いることで求めることができる。${\displaystyle \gcd(a,p)}$等しい​ ${\displaystyle 1}$[ ^{46 ]}このケース^では${\displaystyle p=5}$上記は、で表される要素の逆数です。${\displaystyle 4}$それは によって表されます${\displaystyle 4}$⁠、そして、で表される要素の逆数${\displaystyle 3}$はによって表されます ${\displaystyle 2}$⁠、として⁠${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\pmod {5}}}$したがって、すべての群公理が満たされます。この例は、${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$上記：それはまさにリング内の要素から構成されている${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$乗法逆元を持つもの。^{[ 47 ]}これらのグループは、⁠${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$⁠は公開鍵暗号にとって非常に重要です。 ^{[ n ]}

巡回群とは、そのすべての要素が特定の要素のべき乗である群のことである。${\displaystyle a}$⁠ . ^{[ 48 ]}乗法表記では、群の要素は次のようになります。 $${\displaystyle \dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,}$$ どこ${\displaystyle a^{2}}$意味⁠${\displaystyle a\cdot a}$⁠、${\displaystyle a^{-3}}$はを意味します${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$⁠、など^{[ o ]}そのような要素${\displaystyle a}$は群の生成元または原始要素と呼ばれます。加法表記では、要素が原始要素であるための条件は、群の各要素が次のように書けることです。 $${\displaystyle \dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .}$$

グループでは${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$上記で紹介した要素${\displaystyle 1}$は原始的であるため、これらの群は巡回群である。実際、各要素は、すべての項が である和として表現できる。${\displaystyle 1}$⁠ . 任意の巡回群${\displaystyle n}$要素は、この群と同型です。巡回群の2番目の例は、 ⁠の群です。${\displaystyle n}$1の複素根（複素数で与えられる${\displaystyle z}$満足​${\displaystyle z^{n}=1}$これらの数字は、正多角形の頂点として視覚化できます。${\displaystyle n}$-角形、画像では青色で示されている⁠${\displaystyle n=6}$群演算は複素数の乗算です。図では、複素数と複素数の乗算を行っています。${\displaystyle z}$これは反時計回りに60°回転することに相当する。 ^{[ 49 ]}場の理論から、群${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$素数に対して循環的である${\displaystyle p}$例えば、${\displaystyle p=5}$⁠、${\displaystyle 3}$はジェネレーターです。${\displaystyle 3^{1}=3}$⁠、 ⁠${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$⁠、 ⁠${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$⁠、そして⁠${\displaystyle 3^{4}\equiv 1}$⁠ .

巡回群の中には無限個の要素を持つものがある。これらの群では、ゼロでないすべての要素に対して、${\displaystyle a}$⁠、すべての力${\displaystyle a}$は区別されます。「巡回群」という名前にもかかわらず、要素のべき乗は循環しません。無限巡回群は と同型です。${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$⁠、上記で紹介した加算に関する整数のグループ。 ^{[ 50 ]}これら2つのプロトタイプはどちらもアーベル群であるため、すべての巡回群もアーベル群です。

有限生成アーベル群の研究は、有限生成アーベル群の基本定理を含め、かなり成熟しており、この状況を反映して、中心や交換子などの多くの群関連概念は、与えられた群がどの程度アーベル群ではないかを記述します。^{[ 51 ]}

対称群とは、与えられた数学的対象、主に幾何学的対象の対称性から構成される群であり、上記の導入例として挙げた正方形の対称群などがこれにあたる。ただし、ガロア理論で扱われる多項式方程式の根の対称性など、代数学においても対称群は現れる（下記参照）。^{[ 53 ]}概念的には、群論は対称性の研究と考えることができる。^{[ p ]}数学における対称性は、幾何学的対象や解析的対象の研究を大幅に簡略化する。群は別の数学的対象に作用すると言われる。${\displaystyle X}$⁠すべてのグループ要素が何らかの操作に関連付けられる場合、⁠${\displaystyle X}$そして、これらの操作の合成は群の法則に従います。たとえば、 (2,3,7)三角形群の要素は、三角形を置換することによって双曲平面の三角形タイル張りに作用します。 ^{[ 52 ]}群の作用により、群のパターンは作用を受けるオブジェクトの構造と結び付けられます。

化学では、点群は分子の対称性を記述し、空間群は結晶学における結晶の対称性を記述します。これらの対称性は、これらのシステムの化学的および物理的挙動の根底にあり、群論はこれらの特性の量子力学的解析を簡略化することを可能にします。^{[ 54 ]}例えば、群論は、関係する状態の対称性のためだけに、特定の量子レベル間の光遷移が起こらないことを示すために使用されます。^{[ 55 ]}

群論は、例えば立方晶から四面体晶への相転移など、物質が相転移を起こす際に生じる物理的性質の変化を予測するのに役立ちます。強誘電体材料はその一例で、常誘電状態から強誘電状態への変化はキュリー温度で起こり、高対称の常誘電状態から低対称の強誘電状態への変化に関連しており、その変化に伴って、いわゆるソフトフォノンモード、つまり遷移時に周波数がゼロになる振動格子モードが現れます。^{[ 56 ]}

このような自発的対称性の破れは、素粒子物理学においてさらに応用されており、その発生はゴールドストーンボソンの出現と関連している。^{[ 57 ]}

マシュー群などの有限対称群は符号理論で使用され、符号理論は送信データの誤り訂正やCDプレーヤーに応用されている。^{[ 61 ]}もう一つの応用は微分ガロア理論であり、これは所定の形式の原始関数を持つ関数を特徴づけ、特定の微分方程式の解が良好な振る舞いをする場合の群論的基準を与える。^{[ q ]}群作用の下で安定している幾何学的性質は、（幾何学的）不変理論で研究されている。^{[ 62 ]}

行列群は、行列と行列乗算から構成される。一般線形群${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$すべて可逆的な⁠${\displaystyle n}$-by- ⁠​${\displaystyle n}$実数成分を持つ行列。 [ ^{63 ]その}部分群は行列群または線形群と呼ばれます。上記の二面体群の例は、（非常に小さな）行列群と見なすことができます。もう1つの重要な行列群は、特殊直交群です。${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$⁠。これは、すべての可能な回転を記述します。${\displaystyle n}$次元。このグループの回転行列はコンピュータグラフィックスで使用されます。^{[ 64 ]}

表現論は群概念の応用であると同時に、群をより深く理解するためにも重要である。^{[ 65 ] [ 66 ]}表現論は、群が他の空間に及ぼす作用によって群を研究する。群表現の広いクラスは、群が3次元ユークリッド空間などのベクトル空間に作用する線形表現である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$グループの表現${\displaystyle G}$オン${\displaystyle n}$次元実ベクトル空間は単なる群準同型である ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ 群から一般線形群へ。このようにして、抽象的に与えられる群演算は、行列の乗算に変換され、明示的な計算が可能になる。^{[ r ]}