対称群

抽象代数学では、任意の集合上で定義される対称群は、その集合からその集合自体への全単射を要素とし、その群演算が関数の合成となる群である。特に、有限の記号集合上で定義される有限対称群は、記号に対して実行できる順列から構成される。^[1]このような順列演算は（階乗）あるため、対称群の位数（要素数）は である。 ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle n!}$

対称群は無限集合上で定義できますが、この記事では有限対称群、つまりその応用、その元、その共役類、有限表現、その部分群、その自己同型群、およびその表現論に焦点を当てます。この記事の残りの部分では、「対称群」は有限集合上の対称群を意味します。

対称群は、ガロア理論、不変量論、リー群の表現論、組合せ論など、数学のさまざまな分野にとって重要です。ケーリーの定理は、すべての群が (の基礎となる集合)上の対称群の部分群に同型であることを述べています。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

有限集合上の対称群は、その要素がすべてからへの全単射関数であり、その群演算が関数合成である群である。^[1]有限集合の場合、「順列」と「全単射関数」は同じ演算、つまり並べ替えを指す。次数の対称群は、集合 上の対称群である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$

集合上の対称群は、、、、、など様々な方法で表記されます。^[1]が集合である 場合、その名前は、、、、またはと省略されることがあります。^[1 ]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {S} _{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$${\displaystyle \Sigma _{X}}$${\displaystyle X!}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$${\displaystyle \Sigma _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$

無限集合上の対称群は有限集合上の対称群とは全く異なる動作をします。これについては (Scott 1987、Ch. 11)、(Dixon & Mortimer 1996、Ch. 8)、(Cameron 1999) で説明されています。

要素の集合上の対称群は位数（の階乗）を持つ。^{[2] が}2 以下の場合、かつその場合に限り、それはアーベル群である。 ^[3]および（空集合と単集合）に対して、対称群は自明である（位数 を持つ）。群 S _nが解けるのは、 の場合、かつその場合に限ります。これは、任意の に対して、根号で解けない次数の多項式が存在することを示すアーベル・ルフィニの定理の証明の重要な部分であり、つまり、多項式の係数に対して加算、減算、乗算、除算、および根号抽出の有限回の演算を実行しても解を表現できないことを示しています。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle 0!=1!=1}$${\displaystyle n\leq 4}$${\displaystyle n>4}$${\displaystyle n}$

大きさnの集合上の対称群は、一般のn次多項式のガロア群であり、ガロア理論で重要な役割を果たしている。不変量理論では、対称群は多変数関数の変数に作用し、不変のまま残された関数はいわゆる対称関数である。リー群の表現論では、対称群の表現論は、シュア関数のアイデアを通じて基本的な役割を果たしている。

コクセター群の理論では、対称群は A _n型のコクセター群であり、一般線型群のワイル群として現れる。組合せ論では、対称群、その元 (順列)、およびその表現は、ヤングの表象、プラクティックモノイド、およびBruhat 順序を含む問題の豊富な情報源となる。 対称群の部分群は順列群と呼ばれ、ヒグマン・シムズ群やヒグマン・シムズグラフなどのグラフの群作用、同次空間、自己同型群を理解する上で重要であるため、広く研究されている。

集合X上の対称群の要素は、 Xの順列です。

対称群における群演算は関数合成であり、記号 ∘ で表すか、単に順列の合成で表す。順列fとgの合成f ∘ gは「f of g 」と発音され、 Xの任意の要素x をf ( g ( x ))に写す。具体的には、次のようにする (表記法の説明については 順列を参照)。

${\displaystyle f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.}$

gの後にfを適用すると、1はまず2に、次に2はそれ自身にマッピングされます。2は5に、次に4に、3は4に、次に5に、というようにマッピングされます 。したがって、 fとgを合成すると、

${\displaystyle fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.}$

長さL = k · mのサイクルをk乗すると、長さmのk個のサイクルに分解されます。たとえば、( k = 2、m = 3 )の場合、

${\displaystyle (1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).}$

集合X上の対称群が実際に群であることを確認するには、閉包、結合性、恒等性、逆の群公理を検証する必要がある。^[4]

1. 関数合成の操作は、与えられた集合Xの順列の集合内で閉じています。
2. 関数合成は常に結合的です。
3. Xの各要素をそれ自身に割り当てる単純な一対一変換は、グループの恒等変換として機能します。
4. すべての一対一変換にはその動作を元に戻す逆関数があり、したがって対称群の各要素には逆関数、つまり順列も存在します。

転置とは、2 つの要素を交換し、他の要素を固定した順列です。たとえば、(1 3) は転置です。すべての順列は、転置の積として表すことができます。たとえば、上記の順列gは、 g = (1 2)(2 5)(3 4) と表すことができます。gは奇数の転置の積として表すことができるため、奇順列と呼ばれます。一方、fは偶数順列です。

置換の積としての置換の表現は一意ではありません。ただし、特定の置換を表現するために必要な置換の数は、常に偶数か常に奇数です。この置換の偶奇性の不変性については、いくつかの短い証明があります。

2 つの偶順列の積は偶数であり、2 つの奇順列の積は偶数であり、その他の積はすべて奇数です。したがって、順列の 符号を定義できます。

${\displaystyle \operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\text{if }}f{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

この定義によれば、

${\displaystyle \operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\ }$

は群準同型です（{+1, −1} は乗法による群で、+1 は中立元e です）。この準同型の核、つまりすべての偶順列の集合は交代群A _nと呼ばれます。これはS _nの正規部分群であり、n ≥ 2に対してn !/2個の元を持ちます。群 S _{n は}A _nと単一の転置によって生成される 任意の部分群との半直積です。

さらに、すべての順列は隣接する転置の積、つまり( a a +1)の形の転置として表すことができます。たとえば、上記の順列gは、 g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5)と表すこともできます。ソートアルゴリズムのバブルソートは、この事実を応用したものです。順列を隣接する転置の積として表現することも一意ではありません。

長さkのサイクルとは、{ 1, ..., n }に要素xが存在し、 x、f ( x )、f ² ( x )、 ...、f ^k ( x ) = xがfによって移動される唯一の要素となるような順列 f である。慣例 的にk ≥ 2であることが要求される。なぜなら、 k = 1の場合、要素x自体も移動されないからである。

${\displaystyle h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}}$

は長さ 3 のサイクルです。なぜならh (1) = 4、h (4) = 3、h (3) = 1であり、 2 と 5 はそのままだからです。このようなサイクルを(1 4 3)と表記しますが、別の点から始めて(4 3 1)や(3 1 4)と書くこともできます。サイクルの順序はその長さに等しいです。長さ 2 のサイクルはその転置です。2 つのサイクルが互いに素なのは、それらの要素のサブセットが互いに素な場合です。互いに素なサイクルは可換です。たとえば、 S ₆では、等式(4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3)が成り立ちます。 S _nのすべての要素は、互いに素なサイクルの積として表すことができます。この表現は、因子の順序と、開始点を選択することで個々のサイクルを表す自由度を除いて 一意です。

サイクルは任意の順列と次の共役特性を持ちます。この特性はサイクルの生成元と関係を取得するためによく使用されます。 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ldots \end{pmatrix}}}$

{1, 2, ..., n }の対称群の特定の要素は特に興味深いものです (これらは任意の有限全順序集合の対称群に一般化できますが、順序付けられていない集合の対称群には一般化できません)。

の順序を逆にする順列は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.}$

これは、 Bruhat順序に関する唯一の最大元であり、 隣接する転置( i i +1)、1 ≤ i ≤ n − 1からなる生成集合に関する対称群の最長元です。

これは反転であり、（隣接しない）転置 から構成される。${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$

${\displaystyle (1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ or }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}{\text{ adjacent transpositions: }}}$

${\displaystyle (n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,}$

したがって、次の記号が付きます。

${\displaystyle \mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

これはnに関して 4 周期です。

S _{2 n}において、完全なシャッフルとは、セットを2つの山に分け、それらを交互に並べる順列である。その符号も${\displaystyle (-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.}$

n 個の要素の逆と 2 n個の要素の完全なシャッフルは同じ符号を持つことに注意します。これらは8 周期の クリフォード代数の分類にとって重要です。

_{S n}の共役類は、順列のサイクル タイプに対応します。つまり、S _{nの 2 つの要素が S n}において共役となるのは、それらが同じ長さの互いに素なサイクルを同じ数だけ含んでいる場合のみです。たとえば、S ₅では、(1 2 3)(4 5) と (1 4 3)(2 5) は共役ですが、(1 2 3)(4 5) と (1 2)(4 5) は共役ではありません。S _nの共役要素は、2 つの共役順列の「サイクル表記」を重ね合わせることで、「2 行表記」で構築できます。前の例を続けると、 これはサイクルの積として (2 4) と書くことができます。この順列は、共役を介して (1 2 3)(4 5) と (1 4 3)(2 5) を関連付けます。このよう な順列が一意ではないことは明らかです。 $${\displaystyle k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle (2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$$

_{S n}の共役類はnの整数分割に対応します。つまり、μ ₁ ≥ μ ₂ ≥ ... ≥ μ _kとなる分割μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k )には、長さμ ₁ , μ ₂ , ..., μ _kのサイクルを持つ順列の集合C _μが関連付けられます。この場合、C _{μ はS n} の共役類であり、その要素はサイクル型であるといわれます。 ${\textstyle n=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}}$${\displaystyle \mu }$

低次対称群はより単純で例外的な構造を持つため、別々に扱う必要がある場合が多くあります。

S ₀と S ₁

空集合と単集合上の対称群は自明であり、 0! = 1! = 1に対応します。この場合、交代群はインデックス 2 の部分群ではなく対称群と一致し、符号写像は自明です。S ₀の場合、その唯一のメンバーは空関数です。

S2_​

この群は、正確に 2 つの要素、つまり恒等式と 2 点を入れ替えた置換から構成されます。これは巡回群なのでアーベル群です。ガロア理論では、これは、二次方程式の公式が1 つの根だけを抽出した後で一般の二次多項式に直接解を与えるという事実に対応します。不変量理論では、2 点上の対称群の表現論は非常に単純で、2 変数の関数をその対称部分と反対称部分の和として記述するものと見なされます。つまり、f _s ( x , y ) = f ( x , y ) + f ( y , x )、およびf _a ( x , y ) = f ( x , y ) − f ( y , x )と設定すると、 2⋅ f = f _s + f _aとなります。このプロセスは対称化として知られています。

S3_​

S ₃は最初の非可換対称群である。この群は、正三角形の反射対称性と回転対称性の群である6 次二面体群と同型である。これは、これらの対称性が三角形の 3 つの頂点を入れ替えるからである。長さ 2 のサイクルは反射に対応し、長さ 3 のサイクルは回転である。ガロア理論では、 S ₃からS _{2への符号写像は、}ジェロラモ・カルダノによって発見された3 次多項式の分解二次式に対応し、A _3核は、ラグランジュ分解の形で、解における 3 次離散フーリエ変換の使用に対応する。^{[出典が必要]}

S4_​

群 S4 は、立方体の反対面、反対対角線、反対辺の周りの適切な回転、9、8、6 個の置換の群と同型です。^[5]群A ₄を超えると、 S _{4には、適切な}正規部分群としてクラインの 4 元群V 、つまり偶数転置{(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}があり、その商は S ₃です。ガロア理論では、この写像は、3 次を4 次多項式に分解することに対応し、これにより、ロドヴィコ・フェラーリによって確立されたように、4 次を根号で解くことができます。クライン群は、 4 次式のラグランジュ分解として理解できます。 S ₄からS ₃への写像は、2次元の既約表現も生成します。これは、 n = 4の場合にのみ発生する、n − 1未満の次元のn 次対称群の既約表現です。

S5_​

S _{5 は}最初の解けない対称群である。特殊線型群 SL(2, 5)および二十面体群 A ₅ × S ₂とともに、 S _{5 は}同型を除いて位数 120 の 3 つの解けない群の 1 つである。 S ₅は一般五次方程式のガロア群であり、 S _5が解けない群でないという事実は、根号によって五次多項式を解く一般的な公式が存在しないことを意味する。推移的部分群として、珍しい包含写像S ₅ → S ₆が存在する。明らかな包含写像S _n → S _{n +1は点を固定するため推移的ではない。これにより、以下で説明する S 6}の外部自己同型が得られ、五次方程式の解決六次式に対応する。

S6 _{6 10 11 12 13 14 15 16 17 18}

他のすべての対称群とは異なり、 S _{6 は}外部自己同型を持つ。ガロア理論の言語を使用すると、これはラグランジュのレゾルベントの観点からも理解できる。五次式のレゾルベントは次数 6 である。これは推移的部分群としてのエキゾチックな包含写像S ₅ → S ₆に対応し (明らかな包含写像S _n → S _{n +1}は点を固定するため推移的ではない)、この写像によって一般の五次式が解けるようになるわけではないが、 S ₆のエキゾチックな外部自己同型が得られる。詳細については対称群と交代群の自己同型を参照。

A ₆と A ₇には例外的なシューア乗数（三重被覆）があり、これらは S ₆と S ₇の三重被覆に拡張されますが、これらは対称群の例外的なシューア乗数には対応しないことに注意してください。

自明な写像S _n → C ₁ ≅ S ₀ ≅ S ₁と符号写像S _n → S ₂以外に、対称群間の最も注目すべき準同型は、相対次元の順で次のとおりです。

• S ₄ → S ₃は例外的な正規部分群V < A ₄ < S ₄に対応する。
• S ₆ → S ₆ (または、内部自己同型までのそのような写像のクラス)は、 S ₆の外部自己同型に対応します。
• S ₅ → S _{6を推移的部分群として扱い、上で議論したように S 6}の外部自己同型を生成する。

m < nとなる他の準同型S _m → S _nも多数存在します。

n ≥ 5 の場合、交代群A _{n は}単純であり、誘導商は符号写像A _n → S _n → S ₂であり、これは 2 つの要素の転置によって分割されます。したがって、 S _nは半直積A _n ⋊ S ₂であり、他の適切な正規部分群は存在しません。なぜなら、それらは A _{n と}恒等群で交差する (したがって、それ自体が恒等群または 2 要素群であり、これは正規ではない) か、 A _nで交差する(したがって、それ自体が A _nまたは S _nである) ためです。

S _{n は}その部分群 A _nに共役によって作用し、n ≠ 6の場合、 S _{n はA n}の完全自己同型群です: Aut(A _n ) ≅ S _n。偶数元による共役はA _nの内部自己同型ですが、位数 2 の A _nの外部自己同型は奇数元による共役に対応します。 n = 6の場合、 A _nの例外的な外部自己同型が存在するため、 S _{n はA n}の完全自己同型群ではありません。

逆に、n ≠ 6の場合、 S _{n に}は外部自己同型がなく、n ≠ 2の場合、中心がないため、n ≠ 2、6の場合、それは完全な群です。これは、下の自己同型群で説明します。

n ≥ 5 の場合、 S _{n は単純群 A n}とその自己同型群の 間にあるため、ほぼ単純群です。

S _{n は}、すべての奇数順列に転置( n + 1, n + 2)を追加することでA _{n +2に埋め込むことができますが、} n > 1の場合、 A _{n +1}に埋め込むことは不可能です。

n文字の対称群は、iとi + 1を入れ替えた隣接転置 によって生成される。^[6] この集合は、次の関係に従ってS _{n を}生成する。 ^[7]${\displaystyle \sigma _{i}=(i,i+1)}$${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$

• ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1,}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$、および${\displaystyle |i-j|>1}$
• ${\displaystyle (\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,}$

ここで、1 は恒等置換を表します。この表現は対称群にコクセター群の構造を与えます(したがって反射群でもあります)。

その他の生成集合としては、 2 ≤ i ≤ nに対して1とi を入れ替えた転置集合^[8]や、より一般的には連結グラフを形成する転置集合^{[9] 、任意の}nサイクルとnサイクル内の隣接する要素の2サイクルを含む集合^{[10] [11]}などがある。

対称群の部分群は置換群と呼ばれます。

有限対称群の正規部分群はよく理解されています。n ≤ 2の場合、 S _{n は}最大で 2 個の要素を持つため、非自明な真部分群はありません。次数nの交代群は常に正規部分群であり、 n ≥ 2の場合は真部分群、 n ≥ 3 の場合は非自明です。n ≥ 3 の場合、これは実際にS _nの唯一の非自明な真正規部分群です。ただし、n = 4 の場合は、クラインの 4 群と同型のそのような正規部分群がもう 1 つ追加されます。

無限集合上の対称群には指数 2 の部分群は存在しない。これは、Vitali (1915 ^[12] ) が各順列が 3 つの平方の積として表せることを証明したためである。(任意の平方元は、仮定された指数 2 の部分群に属している必要があり、したがって任意の数の平方の積も属している必要がある。) ただし、この群には、転置によって生成される、有限個以外のすべての元を固定する順列の正規部分群Sが含まれる。偶数回の転置の積であるSの元は、 Sの指数 2 の部分群を形成し、これを交代部分群Aと呼ぶ。A はSの特性部分群でもあるため、無限集合の完全対称群の正規部分群でもある。群AとSは、可算無限集合上の対称群の唯一の非自明な適切な正規部分群である。これはオノフリ (1929 ^[13] ) によって初めて証明され、その後独立にシュライアー・ウラム(1934 ^[14] ) によって証明されました。詳細については (Scott 1987、Ch. 11.3) を参照してください。この結果はしばしばシュライアー・ウラム定理と呼ばれますが、より強力な定理によって置き換えられました。その定理では、集合上の対称群の非自明な正規部分群は、1) 有限サポートを持つ偶数順列と、2) すべての基数に対してサポートが より小さい順列の群であるとされています(Dixon & Mortimer 1996、Ch. 8.1)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa \leq |X|}$${\displaystyle \kappa }$

S _nの極大部分群は、非推移的、非原始的、原始的の 3 つのクラスに分類されます。非推移的極大部分群は、1 ≤ k < n /2に対してS _k × S _{n – k}の形式とまったく同じです。非原始的極大部分群は、 S _k wr S _{n / k}の形式とまったく同じです。ここで、2 ≤ k ≤ n /2はnの真約数で、「wr」は花輪積を表します。原始的極大部分群は識別がより困難ですが、O'Nan–Scott 定理と有限単純群の分類の助けを借りて、(Liebeck、Praeger、Saxl 1988) は、(Dixon と Mortimer 1996、p. 268) に従って、このタイプの極大部分群のかなり満足のいく説明を与えました。

対称群のシロー部分群はp群の重要な例です。まずは特殊なケースで簡単に説明します。

p次対称群のシローp部分群は、 p巡回によって生成される巡回部分群に過ぎません。生成元を数えるだけで、このような部分群は( p − 1)!/( p − 1) = ( p − 2)!個あります。したがって、正規化群は位数p ⋅( p − 1)を持ち、フロベニウス群F _{p ( p −1)} (特にp = 5の場合)として知られ、アフィン一般線型群AGL (1, p )です。

次数p ²の対称群のシローp部分群は、位数pの 2 つの巡回群の輪積です。たとえば、p = 3のとき、Sym(9) のシロー 3 部分群はa = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)と要素x = (1 2 3)、y = (4 5 6)、z = (7 8 9) によって生成され、シロー 3 部分群のすべての要素は⁠ ⁠に対してa ⁱ x ^j y ^k z ^lという形式になります。 ${\displaystyle 0\leq i,j,k,l\leq 2}$

p ⁿ次の対称群のシローp部分群はW _p ( n )と表記されることもあり、この表記法を用いるとW _p ( n + 1)はW _p ( n )とW _p (1)の輪積となる。

一般に、n次の対称群のシローp部分群は、 W _p ( i )のai個のコピーの直積であり、0 _≤ a i ≤ _p − 1かつn = a 0 ₊  p  ⋅ a 1 ₊  ... +  p ^k ⋅ a _k ( nのp基底展開)である。

例えば、W ₂ (1) = C ₂かつ W ₂ (2) = D ₈であり、これは位数 8 の二面体群なので、次数 7 の対称群の Sylow 2 部分群は{ (1,3)(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) }によって生成され、D ₈ × C ₂と同型である。

これらの計算は (Kaloujnine 1948) によるものとされ、(Rotman 1995、p. 176) でより詳細に説明されています。ただし、(Kerber 1971、p. 26) ではこの結果がCauchyの 1844 年の著作によるものとされており、(Netto 1882、§39–40) では教科書形式でも取り上げられていることにも注意してください。

_{S n}の推移的部分群は、{1, 2, ,...,  n }への作用が推移的である部分群である。たとえば、（有限）ガロア拡大のガロア群は、あるnに対して S _nの推移的部分群である。

転置によって生成されるS _nの部分群は、ヤング部分群と呼ばれます。これらはすべて、 nの整数分割である という形式です。これらのグループは、 S _nを反射群として見ると、放物線部分群として特徴付けられることもあります。 ${\displaystyle S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{\ell }}}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{\ell })}$

ケーリーの定理は、すべての群G が何らかの対称群の部分群と同型であることを述べています。特に、すべての群は（左または右の）乗算によって自分自身に忠実に作用するため、 Gの元に対して対称群の部分群を取ることができます。

巡回群は、単一の置換によって生成される群である。置換が巡回表記法で表された場合、生成される巡回部分群の位数は、その巡回の長さの最小公倍数となる。例えば、 S ₅では、位数 5 の巡回部分群の 1 つは (13254) によって生成されるが、 S ₅の最大の巡回部分群は、長さ 3 の巡回が 1 つと長さ 2 の巡回がもう 1 つある (123)(45) のような要素によって生成される。このため、与えられたサイズの対称群の可能な部分群として多くの群が排除される。^[要出典]例えば、 S _{5には位数 15 ( S 5}の位数の約数) の部分群はない。位数 15 の群は巡回群だけであるからである。巡回部分群の可能な最大位数 (つまり、 S _nの要素の可能な最大位数) は、ランダウ関数によって与えられる。

n ≠ 2, 6の場合、 S _{n は}完全な群です。つまり、その中心と外部の自己同型群は両方とも自明です。

n = 2の場合、自己同型群は自明ですが、 S _{2 は}自明ではありません。これはアーベル群である C ₂と同型であり、したがって中心は群全体です。

n = 6の場合、それは位数 2 の外部自己同型を持ちます: Out(S ₆ ) = C ₂、そして自己同型群は半直積Aut(S ₆ ) = S ₆ ⋊ C ₂です。

実際、濃度が 6 以外の任意の集合Xに対して、 X上の対称群のすべての自己同型は内部自己同型であり、これは (Dixon & Mortimer 1996、p. 259) によれば (Schreier & Ulam 1936) によって初めて得られた結果です。

S _nの群ホモロジーは非常に正則で安定化します。最初のホモロジー（具体的にはアーベル化）は次のようになります。

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{cases}}}$

最初のホモロジー群はアーベル化であり、n ≥ 2のアーベル化である符号写像 S _n → S _{2に対応します}。n < 2 の場合、対称群は自明です。このホモロジーは次のように簡単に計算できます。S _{n は}反転 (2 サイクル、位数 2) によって生成されるため、自明でない写像S _n → C _{p は}S ₂への写像のみであり、反転はすべて共役であるため、アーベル化で同じ要素に写像されます (アーベル群では共役は自明であるため)。したがって、可能な写像S _n → S ₂ ≅ {±1}は反転を 1 (自明写像) または -1 (符号写像) に送ります。符号写像が明確に定義されていることも示さなければなりませんが、それを前提とすると、これは S _nの最初のホモロジーを与えます。

2番目のホモロジー（具体的には、シューア乗数）は次のとおりです。

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

これは(Schur 1911)で計算されたもので、対称群の二重被覆2·Sn_に対応する。

交代群の例外的な低次元ホモロジー (非自明なアーベル化に対応し、例外的な 3 重被覆による) は対称群のホモロジーを変えないことに注意する。交代群の現象は対称群の現象を生み出す (写像はに拡張され、 A ₆と A ₇の三重被覆は S ₆と S ₇の三重被覆に拡張される) が、これらはホモロジー的ではない(写像はS ₄のアーベル化を変更せず、三重被覆はホモロジーにも対応しない)。 ${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3},}$${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6},}$${\displaystyle \mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3},}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}}$

ホモロジーは、安定ホモトピー理論の意味で「安定化」します。つまり、包含写像S _n → S _{n +1}があり、 k を固定すると、ホモロジー上の誘導写像H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} )は、十分に高いnに対して同型になります。これは、リー群の族のホモロジーが安定化することに類似しています。

無限対称群のホモロジーは(Nakaoka 1961)で計算され、コホモロジー代数はホップ代数を形成する。

対称群の表現論は有限群の表現論の特殊なケースであり、具体的かつ詳細な理論が得られます。対称関数理論から多数の同一粒子に対する量子力学の問題まで、潜在的な応用範囲は広いです。

対称群 S _nの位数はnです。その共役類はnの 分割によってラベル付けされます。したがって、有限群の表現論によれば、複素数上の同値でない既約表現の数は、 nの分割の数に等しくなります 。有限群の一般的な状況とは異なり、共役類をパラメータ化するのと同じセット、つまりnの分割またはサイズ nのヤング図によって既約表現をパラメータ化する自然な方法が実際にあります。

このような既約表現はそれぞれ整数（整数係数を持つ行列によって作用するすべての順列）上で実現できます。これは、ヤング図によって与えられた形状のヤング表によって生成される空間に作用するヤング対称化子を計算することによって明示的に構築できます。

他の体では、状況ははるかに複雑になることがあります。体K の標数が0 かnより大きい場合、 Maschke の定理により、群代数 K S _{n は}半単純です。これらの場合、整数上で定義された既約表現は、既約表現の完全なセットを与えます (必要な場合は、標数を法として簡約した後)。

しかし、対称群の既約表現は、任意の特性では知られていません。この文脈では、表現よりもモジュールの言語を使用する方が一般的です。特性を法として簡約することによって整数上に定義された既約表現から得られる表現は、一般に既約ではありません。このように構築されたモジュールはSpecht モジュールと呼ばれ、すべての既約はそのようなモジュールのどこかから生じます。現在、既約の数は少なくなっており、分類することはできますが、理解が非常に不十分です。たとえば、その次元さえ一般にはわかっていません。

任意の体上の対称群の既約加群の決定は、表現論における最も重要な未解決問題の一つとして広く考えられています。

• ブレイドグループ
• 群論の歴史
• 符号付き対称群と一般化対称群
• 量子力学における対称性 § 交換対称性
• 対称逆半群
• 対称的な力

• 「対称群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「対称群」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「対称群グラフ」。MathWorld。
• マーカス・デュ・ソートイ: 対称性、現実の謎 (講演のビデオ)
• 対称群を扱うOEISエントリ