ジョセフ＝ルイ・ラグランジュ

ジョセフ＝ルイ・ラグランジュ
生まれる	ジュゼッペ・ロドヴィコ・ラグランジャ ( 1736-01-25 )1736年1月25日 トリノ、サルデーニャ王国
死亡	1813年4月10日(1813-04-10)（77歳） パリ、フランス第一帝政
市民権	サルデーニャ フランス帝国
母校	トリノ大学
知られている	（リストを見る） 解析力学 変分法 天体力学 数学的分析 数論 方程式の理論
科学者としてのキャリア
フィールド	数学 天文学 力学
機関	エコール・ノルマル エコール・ポリテクニーク
学術アドバイザー	レオンハルト・オイラー（書簡通信員） ジョヴァンニ・バッティスタ・ベッカリア
著名な学生	ジョセフ・フーリエ ジョヴァンニ・プラナ シメオン・ポワソン

ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ^[a]（本名：ジュゼッペ・ルイジ・ラグランジュ^{[5] [b]}またはジュゼッペ・ルドヴィコ・デ・ラ・グランジュ・トゥルニエ[ ^{6] [c]} 1736年1月25日 - 1813年4月10日）は、ジュゼッペ・ルイジ・ラグランジュ^[7]またはラグランジュ[ ^{8]としても知られるイタリアの}数学者、物理学者、天文学者で、後にフランスに帰化した。解析学、数論、古典力学と天体力学の両分野に多大な貢献をした。

1766年、レオンハルト・オイラーとダランベールの推薦により、ラグランジュはオイラーの後任としてプロイセンのベルリンにあるプロイセン科学アカデミーの数学部長に就任し、 20年以上在籍して多くの著作を執筆し、フランス科学アカデミーの賞を数回受賞した。ベルリンで執筆され1788年に初版が出版されたラグランジュの解析力学に関する論文（Mécanique analytique 、第4版、第2巻、パリ：Gauthier-Villars et fils、1788-89年）は、ニュートン以来最も包括的な古典力学の扱い方を提示し、19世紀の数理物理学の発展の基礎を形成した。

1787年、51歳のとき、彼はベルリンからパリに移り、フランス科学アカデミーの会員となった。彼は生涯を終えるまでフランスに留まった。革命期のフランスにおける十進法化の推進に尽力し、1794年のエコール・ポリテクニーク開校時には同校の初代解析学教授となり、経度局の創設メンバーの一人となり、 1799年には上院議員となった。

ラグランジュは変分法の創始者の一人で、関数の極値に対するオイラー・ラグランジュ方程式を導出した。彼はこの方法を拡張して可能な制約条件を含め、ラグランジュ乗数法に到達した。ラグランジュは、変分パラメータ法として知られる微分方程式を解く方法を発明し、微分積分を確率論に適用し、代数方程式の解法に取り組んだ。彼は、すべての自然数は4つの平方の和であることを証明した。彼の論文「解析関数の理論」は、ガロアの先駆けとして群論の基礎の一部を築いた。微積分学では、ラグランジュは補間とテイラーの定理に対する新しいアプローチを開発した。彼は、地球、太陽、月の三体問題(1764 年) と木星の衛星の運動 (1766 年) を研究し、1772 年にこの問題の特殊なケースの解を発見しました。この解は、現在ではラグランジュ点として知られているものです。ラグランジュは、ニュートン力学を解析学の一分野であるラグランジュ力学に変換したことで最もよく知られています。彼は、変分法の単純な結果として、力学の「原理」を提示しました。

ラグランジュは、ジュゼッペ・ロドヴィーコ・ラグランジャとして11人兄弟の長男として生まれ、イタリア人とフランス人の血を引いていた。 ^[7]父方の曽祖父はフランス人騎兵隊長で、その家系はフランスのトゥール地方の出身であった。^[7]ルイ14世の下で仕えた後、ラグランジュはサヴォイア公シャルル・エマヌエーレ2世に仕え、ローマ貴族のコンティ家出身の女と結婚した。 ^[7]ラグランジュの父ジュゼッペ・フランチェスコ・ロドヴィーコはトリノ大学の法学博士であり、母はトリノ郊外のカンビアーノの裕福な医師の一人っ子であった。^{[7] [10]ラグランジュはローマカトリック教徒として育てられたが、後に}不可知論者となった。^[11]

父は国王の軍事資金を管理し、トリノの公共事業・要塞局の財務官でもあったため、社会的地位も富も十分にあったはずだったが、息子が成長するまでに投機で財産の大半を失ってしまった。父はラグランジュに弁護士になる道を計画していたが^[7]、ラグランジュは喜んでそれを受け入れたようだ。彼はトリノ大学で学び、古典ラテン語を好んだ。当初は数学にあまり興味がなく、ギリシャ幾何学は退屈だと感じていた。

彼が数学に興味を示したのは17歳の時で、偶然見つけた1693年のエドモンド・ハレーの論文^[12]が きっかけで数学に興味を持った。彼は独りで誰の助けも借りずに数学の勉強に没頭し、1年間の絶え間ない努力の末、すでに優れた数学者になっていた。 1755年、カール・エマヌエーレ3世はラグランジュを王立陸軍砲兵学校の数学助教授に任命し、そこで微積分学と力学の講座を教え、ピエモンテ軍がベンジャミン・ロビンスとレオンハルト・オイラーの弾道理論を早期に採用するのを支援した。この立場で、ラグランジュは工科学校で微積分学を教えた最初の人物となった。アカデミーの軍司令官で有名な砲兵理論家であるアレッサンドロ・パパチーノ・ダントーニによれば、ラグランジュは、無頓着な教授スタイル、抽象的な推論、砲兵と要塞工学の応用に対する忍耐力の欠如により、残念ながら問題のある教授であることが判明した。^{[13]このアカデミーの彼の学生の一人は}フランソワ・ダヴィエであった。^[14]

ラグランジュは変分法の創始者の一人である。1754年から彼はトートクローンの問題に取り組み、関数の極値を見つけるのと似た方法で関数を最大化および最小化する方法を発見した。ラグランジュは1754年から1756年の間にレオンハルト・オイラーに数通の手紙を書き、その結果を説明した。彼は「δアルゴリズム」の概要を説明し、変分法のオイラー・ラグランジュ方程式につながり、オイラーの初期の分析を大幅に簡素化した。 ^{[15]ラグランジュはまた、古典力学の問題に彼のアイデアを適用し、オイラーと}モーペルテュイの結果を一般化した。

オイラーはラグランジュの結果に非常に感銘を受けた。「彼は、その性格上礼儀正しく、同じ分野を扱った以前に書いた論文を差し控え、若いイタリア人が自分の研究を完成させ、新しい微積分の発明は議論の余地がないと主張する時間を持てるようにした」と述べられているが、この騎士道的な見解には異論もある。^[16]ラグランジュは、1762年と1773年にトリノ協会の2つの回顧録で自分の方法を発表した。

1758 年、ラグランジュは弟子たち (主にダヴィエ) の協力を得て協会を設立し、これが後にトリノ科学アカデミーとして法人化されました。初期の著作のほとんどは、通常 Miscellanea Taurinensiaとして知られる 5 巻の学術論文集に収められています。これらの多くは精巧な論文です。第 1 巻には音の伝播理論に関する論文が収められています。この論文でラグランジュは、ニュートンが犯した誤りを指摘し、運動に関する一般微分方程式を得て、直線運動について積分しています。この巻には、横方向に振動する弦の問題の完全な解も収められています。この論文でラグランジュは、ブルック・テイラー、ダランベール、オイラーによって以前に与えられた解の一般性に欠けることを指摘し、任意の時刻tにおける曲線の形状は方程式 で与えられるという結論に達しています。この論文は、エコー、ビート、複合音に関する見事な議論で締めくくられています。この巻の他の記事は、循環級数、確率、変分法に関するものです。 ${\displaystyle y=a\sin(mx)\sin(nt)\,}$

第 2 巻には、変分法の理論と表記法に関する第 1 巻のいくつかの論文の結果をまとめた長い論文が収録されており、最小作用の原理を演繹し、力学におけるさまざまな問題を解くことによって、変分法の使用法が説明されています。

第 3 巻には、変分法によるいくつかの動的問題の解、積分法に関するいくつかの論文、フェルマーの問題の解(完全平方でない整数nが与えられた場合に、 nx ² + 1 ^{[検証が必要]}が完全平方となる数xを求める)、および相互引力下で運動する3 つの物体の一般微分運動方程式が含まれています。

彼が次に書いたのは 1764 年の作品で、月の秤動と、なぜ常に同じ面が地球を向いているのかという説明についてでした。彼はこの問題を仮想仕事の助けを借りて扱いました。彼の解決法は、一般化された運動方程式というアイデアの萌芽を含んでいる点で特に興味深いもので、彼が 1780 年に初めて正式に証明した方程式です。

1756年までに、オイラーとモーペルチュイはラグランジュの数学的才能を見抜いてベルリンに来るよう説得しようとしたが、彼は恥ずかしがってその申し出を断った。1765年、ダランベールはラグランジュのためにプロイセン王フリードリヒに仲裁に入り、手紙でトリノを離れてベルリンのもっと名誉ある地位に就くようラグランジュに要請した。彼は再びその申し出を断り、次のように答えた。^{[17] : 361}

M.オイラーがいる限り、ベルリンは私にとって全く適していないように思われます。

1766年、オイラーがベルリンを離れてサンクトペテルブルクに向かった後、フリードリヒ1世は自らラグランジュに手紙を書き、「ヨーロッパで最も偉大な王」が「ヨーロッパで最も偉大な数学者」を宮廷に住まわせたいという希望を伝えた。ラグランジュは最終的に説得された。彼はその後20年間をプロイセンで過ごし、ベルリンとトリノの取引で発表された一連の論文を執筆し、記念碑的な作品である分析力学を執筆した。1767年、彼は従妹のヴィットーリア・コンティと結婚した。

ラグランジュは王のお気に入りで、王はよく規則正しい生活の利点について彼に講義した。その教えは受け入れられ、ラグランジュは自分の心と体を機械のように研究し、疲労困憊する前にできる仕事の正確な量を見つけるために実験した。毎晩、彼は翌日の明確な仕事を自分に課し、ある分野の研究を終えると、その実証や主題のどの点を改善できるかを調べるために短い分析を書いた。彼は論文を書く前に注意深く計画を立て、通常は一度も削除したり訂正したりしなかった。

それにもかかわらず、ベルリンにいた間、ラグランジュの健康状態はかなり悪く、妻のヴィットーリアの健康状態はさらに悪かった。彼女は数年の闘病の末、1783年に亡くなり、ラグランジュは非常に落ち込んでいた。1786年にフリードリヒ2世が亡くなり、ベルリンの気候はラグランジュにとって厳しいものとなった。^[10]

1786年、フリードリヒ1世の死後、ラグランジュはスペインやナポリなどから同様の招待を受け、ルイ16世のパリ移住の申し出を受け入れた。フランスではあらゆる点で特別に迎えられ、ルーブル美術館に特別な部屋が用意され、フランス科学アカデミーの会員となった。このアカデミーは後にフランス学士院の一部となった（1795年）。パリに住み始めた頃、彼は憂鬱な気分に襲われ、四半世紀をかけて執筆した『機械論』の印刷版さえ、2年以上も開かれないまま机の上に置かれたままだった。フランス革命の結果に対する好奇心が、まず彼を無気力から目覚めさせたが、革命が進むにつれてその好奇心はすぐに不安に変わった。

1792年、彼の説明のつかない悲しみと内気さが、友人の天文学者ピエール・シャルル・ル・モニエの娘である24歳のルネ・フランソワーズ・アデレード・ル・モニエの同情心を動かされたのも、ちょうど同じ頃だった。彼女は彼との結婚を強く望み、献身的な妻となり、彼は彼女に心から愛着を抱くようになった。

1793 年 9 月、恐怖政治が始まった。当時すでに多くの学者とともにアカデミーから追放されていたアントワーヌ・ラボアジエの介入により、ラグランジュは 1793 年 10 月の外国人全員のフランスからの退去を命じる法令で特に名前を挙げて免除された。1794 年 5 月 4 日、ラボアジエと他の 27 人の徴税人が逮捕され、裁判の翌日の午後に死刑を宣告され、ギロチンで処刑された。ラグランジュはラボアジエの死について次のように述べた。

この頭が落ちるのには一瞬しかかからなかったが、同じような頭が生まれるには100年もかからないだろう。^[10]

ラグランジュは、まだ時間があるうちにフランスから脱出する準備をしていたが、危険に遭うことはなかった。さまざまな革命政府（そして後のナポレオン）が彼に名誉と栄誉を与えた。この幸運と安全は、彼が何年も前に表明した人生観にある程度起因しているかもしれない。「私は、一般的に、あらゆる賢明な人の第一原則の1つは、たとえそれが不合理であっても、自分が住んでいる国の法律に厳密に従うことだと信じている」 ^[10]。彼が受けていた尊敬の顕著な証拠は、1796年にイタリアのフランス政務官がラグランジュの父親に全州出席し、息子の功績に対して共和国の祝辞を述べるよう命じられたときである。「その天才によって全人類に名誉をもたらし、彼を輩出したことはピエモンテの特別な栄誉であった」。ナポレオンは権力を握ると、フランスにおける科学研究を熱烈に奨励し、その寛大な後援者でもあった。 1799年に元老院議員に任命された彼は、 1802年に祖国ピエモンテをフランスに併合した上院の初代署名者となった。 ^[7]結果的に彼はフランス国籍を取得した。^[7]フランス人は彼をフランスの数学者だと主張したが、イタリア人は彼をイタリア人だと主張し続けた。^[10]

ラグランジュは1790年代にメートル法の開発に携わった。逃亡の準備をしているときに、度量衡改革委員会（La Commission des Poids et Mesures ）の委員長に就任するよう打診された。1794年にラヴォアジエが死去した後、 1799年の委員会で十進法によるメートルとキログラムの単位の選択に影響を与えたのは主にラグランジュであった。 ^{[18]ラグランジュは1795年の}経度局の創設メンバーの一人でもあった。

1795年、ラグランジュは新設されたエコール・ノルマル校の数学科長に任命されたが、同校はわずか4か月しか存続しなかった。同校での講義は初歩的なものであり、数学的に重要なことは何も含まれていなかったが、彼が度量衡の改革システムの基本数として11進法を提案した理由について、歴史的に簡単に洞察を提供している。 ^{[19] : 23}講義が出版されたのは、教授たちが「人民の代表者および教授同士に対して、講義内容を読んだり暗唱したりしないことを誓約」しなければならなかったためである[「エコール・ノルマル校の教授たちは人民の代表者とともに講義内容を読んだり暗唱したりすることに専念した」^{[20] : iii} ]。談話は、教授たちがどのようにして無罪を勝ち取ったかを議員らが確認できるように、速記録で命令され、書き留められた。また、出版された講義は国民のかなりの部分の興味を引くだろうと考えられた ["Quoique des feuilles sténographiques soient essentiellement destinées aux élèves de l'École Normale, on doit prévoir quיelles seront lues par une grande party de la Nation" ^{[20] : v} ]。

1794年、ラグランジュはエコール・ポリテクニークの教授に任命され、そこでの講義は、幸運にも講義を聞くことができた数学者によって記述され、形式と内容の両面でほぼ完璧であった。^[要出典]最も単純な要素から始めて、彼は聴衆を導き、ほとんど彼ら自身も知らないうちに、主題の範囲を拡張していった。とりわけ、彼は、対称的な表記法で表現された一般的な方法を常に使用することの利点を生徒たちに印象づけた。

しかし、ラグランジュは教師として成功しなかったようだ。1795年に彼の講義に出席した フーリエは次のように書いている。

彼の声は非常に弱々しく、少なくとも熱くなることはない。彼は非常に顕著なイタリア訛りで、sをzのように発音する。 [...] 学生の多くは彼のことを理解できず、彼をあまり歓迎しないが、教授たちはそれを補う。^[21]

1810年、ラグランジュは『分析力学』の徹底的な改訂に着手したが、1813年にパリのフォーブール・サントノーレ通り128番地で死去するまでに、その約3分の2しか完成できなかった。ナポレオンは、彼が死去するわずか2日前に、彼にレユニオン帝国勲章大十字を授与した。同年、彼はパリのパンテオンに埋葬された。彼の墓碑銘の翻訳は次の通りである。

ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ。上院議員。帝国伯爵。レジオンドヌール勲章グランドオフィシエ。帝国レユニオン勲章大十字章受章。研究所および経度局会員。1736年1月25日、トリノ生まれ。1813年4月10日、パリにて死去。

ラグランジュはベルリンで過ごした20年間、科学の分野で非常に活発に活動しました。彼は分析力学を著しただけでなく、トリノアカデミー、ベルリンアカデミー、フランスアカデミーに100から200の論文を寄稿しました。これらの中には実際に論文となっているものもあり、例外なくすべてが非常に優れたものでした。病気の短い期間を除いて、平均して月に1本の論文を執筆しました。これらのうち、最も重要なものとして次の論文が挙げられます。

まず、1766年から1773年にかけての『天文学雑学』第4巻と第5巻への寄稿。そのうち最も重要なのは1771年の寄稿で、最も確からしい結果を得るためには、いかにして多数の天文観測を組み合わせるべきかを論じたものである。その後、1784年から1785年にかけてのトリノ・アカデミー紀要の最初の2巻への寄稿。最初の巻では、運動中の流体が及ぼす圧力に関する論文を、2巻目では、無限級数による積分と、それが適している問題の種類に関する論文を寄稿した。

パリに送られた論文のほとんどは天文学に関するもので、その中には1766年の木星系に関する論文、1772年の三天体問題に関する論文、 1773年の月の永年方程式に関する研究、1778年の彗星摂動に関する論文などが含まれていた。これらはすべてフランス科学アカデミーが提案した主題に基づいて書かれたもので、いずれの場合も賞が授与された。

1772 年から 1788 年にかけて、ラグランジュは古典力学/ニュートン力学を再定式化し、式を簡素化して計算を容易にしました。この力学はラグランジュ力学と呼ばれます。

しかし、この時期の彼の論文の大部分はプロイセン科学アカデミーに提出されており、そのうちのいくつかは代数学の問題を扱っている。

• 整数の二次形式による表現(1769) とより一般的な代数形式による表現 (1770)についての議論。
• 1770 年の彼の「除去理論」に関する小冊子。
• 群 G の部分群 H の位数は必ず G の位数を割り切るというラグランジュの定理。
• 1770年と1771年の論文は、ラグランジュの分解法によって任意の次数の代数方程式を解く一般的な方法についてのものである。この方法では、5次以上の方程式の解の一般的な公式を与えることができない。これは、関係する補助方程式の次数が元の方程式よりも高いためである。この方法の重要性は、2次、3次、4次の方程式を解く既知の公式を単一の原理の現れとして示すことであり、ガロア理論の基礎となった。これらの論文では、二項方程式（つまり、形式±の方程式）の完全な解も扱われている。${\displaystyle ax^{n}}$${\displaystyle b=0}$
• 1773年、ラグランジュはヤコビ行列の特殊なケースである、次数3の関数行列式を考察した。また、頂点の1つが原点にある四面体の体積は、他の3つの頂点の座標によって形成される行列式の絶対値の6分の1であるという式も証明した。

彼の初期の論文のいくつかは数論の問題も扱っています。

• ラグランジュ（1766-1769）は、ペルの方程式 x ² − ny ² = 1が任意の非平方自然数nの整数において非自明な解を持つことを証明した最初のヨーロッパ人であった。^[22]
• 彼は、バシェが根拠なく述べた「すべての正の整数は 4 つの平方数の和である」という定理を証明した(1770 年)。
• 彼はウィルソンの定理を証明した。それは(任意の整数n > 1に対して) nが素数である場合と、( n − 1)! + 1がnの倍数である場合に限る、というものである (1771 年)。
• 1773年、1775年、1777年の彼の論文では、フェルマーが発表したがそれまで証明されていなかったいくつかの結果が実証された。
• 1775 年に発表された彼の著書『算術の研究』では、整数がax ² + by ² + cxyの形式で表現できる場合という一般的な問題を扱うために、2 進二次形式の一般理論を展開しました。
• 彼は連分数の理論に貢献した。

解析幾何学のさまざまな点に関する論文も多数あります。そのうちの2つは、かなり後年の1792年と1793年に書かれたもので、彼は二次曲面（または円錐面）の方程式を標準形に簡約しました。

1772年から1785年にかけて、彼は偏微分方程式の科学を創始した一連の論文を寄稿しました。これらの結果の大部分は、1794年に出版されたオイラーの積分学の第2版にまとめられました。

最後に、天文学の問題に関する論文は数多くあります。その中で最も重要なものは次のとおりです。

• 1772年、一般的な三体問題を解こうと試み、その結果、共線的および正三角形的という2つの定常パターン解を発見。これらの解は後に、現在ラグランジアン点として知られているものを説明するものとして発見されました。
• 楕円体の引力について、1773年：これはマクローリンの研究に基づいています。
• 月の永年方程式について、1773年。ポテンシャルの概念を初めて導入したことでも注目に値します。物体の任意の点におけるポテンシャルは、物体の各要素の質量の合計をその点からの距離で割ったものです。ラグランジュは、物体の外部点におけるポテンシャルがわかれば、あらゆる方向への引力もすぐにわかることを示しまし た。ポテンシャルの理論は、1777年にベルリンに送られた論文で詳しく説明されました。
• 惑星軌道の交点の運動について、1774年。
• 惑星軌道の安定性について、1776年。
• 1778 年と 1783 年の 2 つの論文では、3 つの観測から彗星の軌道を決定する方法が完全に説明されています。これは実際には利用できませんでしたが、機械的な求積法によって摂動を計算する彼のシステムは、この主題に関するその後のほとんどの研究の基礎となりました。
• 1781年から1784年にかけての、惑星の元素の永年的および周期的変動の決定。これらに割り当てられた上限は、後にル・ヴェリエによって得られたものとほぼ一致しており、ラグランジュは、当時惑星の質量について持っていた知識の許す限りの進歩を遂げました。
• 補間法に関する 3 つの論文、1783 年、1792 年、1793 年。これを扱う有限差分の部分は、現在、ラグランジュが残した段階と同じ段階にあります。

これらのさまざまな論文に加えて、彼は基礎論文『分析力学』を執筆しました。

この本で、彼は仮想仕事の法則を定め、その一つの基本原理から変分法の助けを借りて、固体と流体の両方 の力学全体を導き出しました。

この本の目的は、この主題が暗黙のうちに単一の原理に含まれていることを示し、特定の結果を得ることができる一般的な公式を与えることである。彼がこの結果を得た一般化座標法は、おそらく彼の分析の最も優れた結果である。ダランベールやオイラーが行ったように物質系の個々の部分の運動を追跡する代わりに、彼は、系が持つ自由度と同じ数の一般化座標と呼ばれる変数xでその構成を決定すると、系の運動エネルギーと位置エネルギーをそれらの変数で表現でき、そこから単純な微分によって運動の微分方程式を導くことができることを示した。たとえば、剛体の力学では、彼は特定の問題を考慮する代わりに、現在では一般に次の形式で記述される一般的な方程式を採用している。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}=0,}$

ここで、T は運動エネルギー、V はシステムの位置エネルギーを表す。次に彼は、この方程式を解く方法として、現在ではラグランジュ乗数法として知られている方法を提示した― ただし、この方法が発表されたのはこれが初めてではない ― 。^[23] ここで示されているその他の小さな定理の中で、与えられた制約の下で、与えられた衝撃によって物質系に与えられた運動エネルギーが最大になるという命題と、最小作用の原理について言及するだけで十分だろう。すべての分析は非常に優雅であるため、ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿は、この作品は科学的な詩としか表現できないと述べた。ラグランジュは、力学は実際には4 次元、つまり時間と空間内の点の 3 つの座標の幾何学に類似した純粋数学の一分野であると述べた。また、作品の始めから終わりまで 1 つの図もなかったことを誇りにしていたと言われている。最初は本を出版する印刷業者が見つからなかった。しかしルジャンドルは最終的にパリの会社を説得してそれを引き受けさせ、1788年にラプラス、クザン、ルジャンドル（編集者）、コンドルセの監修のもと出版された。^[10]

ラグランジュがエコール・ポリテクニークで行った微分積分の講義は、1797年に出版された論文『解析関数理論』の基礎となっている。この著作は、彼が1772年にベルリン新聞社に送った論文に含まれていたアイデアを拡張したもので、その目的は、特に代数の一般性の原理に依拠して、代数関数の級数展開に基づく一連の定理を微分積分に代用することである。

これに似た方法は、 1758年にロンドンで出版されたジョン・ランデンの著書『残差解析』ですでに使われていた。ラグランジュは、微分積分の通常の扱いにおいて哲学者が異議を唱えていた、無限大と無限小の量の使用に伴う困難を、この方法で取り除くことができると信じた。この本は3つの部分に分かれており、第1部では一般関数論を扱い、テイラーの定理の代数的証明を与えるが、その妥当性には疑問の余地がある。第2部では幾何学への応用を扱い、第3部では力学への応用を扱っている。

同様の論文としては、1804年に出版され、1806年に第2版が出版された『関数の計算に関する講義』がある。この本の中で、ラグランジュは積分制約を伴う変分法の問題の文脈で、有名なラグランジュ乗数法を定式化した。微分積分と変分法に捧げられたこれらの著作は、コーシー、ヤコビ、ワイエルシュトラスの研究の出発点とみなすことができる。

• 
  1813 年に発行された「関数分析理論」のコピー
• 
  「理論分析」のタイトルページ
• 
  「機能分析理論」の紹介
• 
  「関数分析理論」の最​​初のページ

後年、ラグランジュは代数形式の研究に基づいて微分積分学を創設するよりも無限小の使用を全面的に支持し、1811年に発行された『解析力学』第2版の序文で、無限小の使用を正当化し、次のように結論付けている。

無限小法の精神を理解し、素数比と極限比の幾何学的方法、または導関数の解析的方法によってその結果の正確さを検証すると、証明を短縮して簡素化するための確実で価値のある手段として無限小量を使用できます。

1798年に出版された彼の『数値方程式の解法』も、エコール・ポリテクニークでの講義の成果である。そこで彼は、連分数を用いて方程式の実根を近似する方法を示し、他のいくつかの定理を述べている。最後の注釈では、フェルマーの小定理、つまり

${\displaystyle a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}}$

ここでpは素数であり、aはpと素数である。この式は、任意の二項方程式の完全な代数解を与えるために適用できます。また、元の方程式の根の差の二乗を根とする方程式を使用して、それらの根の位置と性質に関する重要な情報を提供する方法についても説明しています。

惑星の運動に関する理論は、ラグランジュのベルリン論文の中でも特に注目すべきいくつかの論文の主題となっていた。1806 年にこの主題はポアソンによって再び取り上げられ、フランス科学アカデミーで発表された論文で、ラグランジュの公式が軌道の安定性に一定の限界をもたらすことを示した。その場にいたラグランジュは、この主題全体を改めて議論し、1808 年に科学アカデミーに送った手紙で、任意の定数の変化によって、相互作用するあらゆる物体のシステムの周期的不等式と永年的不等式を決定できる方法を説明した。

オイラーはラグランジュをベルリン科学アカデミー会員に推薦し、ラグランジュは1756年9月2日に選出された。 1790年にエディンバラ王立協会会員、1806年に王立協会会員、スウェーデン王立科学アカデミーの外国人会員に選出された。 1808年、ナポレオンはラグランジュをレジオンドヌール勲章グランドオフィシエと帝国伯爵に任命した。1813年、パリで死去する1週間前にラ・レユニオン帝国勲章大十字を授与され、最も名誉あるフランス国民に捧げられた 霊廟であるパンテオンに埋葬された。

ラグランジュは、月の秤動に関する論文により、 1764年にフランス科学アカデミー賞を受賞した。1766年にアカデミーは木星の衛星の運動に関する問題を提案し、再びラグランジュに賞が授与された。彼はまた、1772年、1774年、1778年の賞を共同受賞または獲得した。

ラグランジュは、エッフェル塔が初めてオープンした際に第一段階の銘板に記念された72 人の著名なフランス人科学者の 1 人です。パリ 5 区のラグランジュ通りは、彼にちなんで名付けられました。トリノでは、彼の生家が今も残っている通りは、ラグランジュ通りと名付けられています。月のクレーターラグランジュと小惑星1006 ラグランジェアにも彼の名前が付けられています。

• ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられたものの一覧
• 4次元空間
• ガウスの法則
• メートルの歴史
• 計測改革におけるラグランジュの役割
• 秒振り子

ウィキメディア・コモンズには、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュに関連するメディアがあります。

Wikiquote にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュに関する引用があります。

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ジョセフ＝ルイ・ラグランジュ」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• ワイスタイン、エリック・ヴォルフガング（編）。 「ジョゼフ・ラグランジュ（1736–1813）」。サイエンスワールド。
• ラグランジュ、ジョセフ・ルイ・ド：宇宙生物学、天文学、宇宙飛行の百科事典
• クラーク、アグネス・メアリー（1911年）。「ラグランジュ、ジョセフ・ルイス」 ブリタニカ百科事典第16巻（第11版）。pp.75-78。
• 数学系譜プロジェクトにおけるジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ
• 古典力学の創始者：ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ
• ラグランジュ点
• ラグランジュの結果の導出（ラグランジュ法ではない）
• ラグランジュの著作 (フランス語) Oeuvres de Lagrange、Joseph Alfred Serret 編集、1867 年パリ、Göttinger Digitalisierungszentrum によってデジタル化 (Mécanique Analytique は第 11 巻と第 12 巻に収録)
• ジョセフ・ルイ・ド・ラグランジュ – ガリカ数学を完了する
• ラグランジュ ペルセのクロノロジーの発明
• プロジェクト・グーテンベルクのジョセフ＝ルイ・ラグランジュの作品
• インターネット アーカイブにあるジョセフ＝ルイ ラグランジュの著作またはラグランジュに関する作品
• 分析機械 (パリ、1811 ～ 1815 年)