絶対ガロア群

数学、特にアナベル幾何学とp進幾何学において、絶対ガロア群${\displaystyle G_{K}}$畑の${\displaystyle K}$はガロア群である${\displaystyle K^{\textrm {sep}}}$以上${\displaystyle K}$、 どこ${\displaystyle K^{\textrm {sep}}}$分離可能な閉包である${\displaystyle K}$あるいは、それは代数閉包のすべての自己同型群である。${\displaystyle K}$その修正${\displaystyle K}$絶対ガロア群は内部自己同型を除いて 明確に定義される。これはプロ有限群である。

いつ${\displaystyle K}$完全場である、${\displaystyle K^{\textrm {sep}}}$代数的閉包と同じである${\displaystyle K^{\textrm {alg}}}$の${\displaystyle K}$特に、これは次の場合に当てはまります。${\displaystyle K}$特性がゼロであるか、有限である。

• 代数的に閉じた体の絶対ガロア群は自明である。
• 実数の絶対ガロア群は、2つの要素（複素共役と恒等写像）からなる巡回群である。${\displaystyle \mathbb {C} }$分離閉包は${\displaystyle \mathbb {R} }$、そしてその次数は${\displaystyle \mathbb {R} }$は${\displaystyle [\mathbb {C}$ :\mathbb {R} ]=2} 。
• 有限体の絶対ガロア群${\displaystyle K}$プロ有限整数群と同型である

${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$^{[ 1 ]}

フロベニウス自己同型は、${\displaystyle G_{K}}$。 もし${\displaystyle K}$もっている${\displaystyle q}$要素、マップは次のように与えられる${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle K^{\textrm {alg}}}$。

• 複素係数を持つ有理関数の体の絶対ガロア群は自由群である（プロ有限群として）。この結果はアドリアン・ドゥアディによるもので、リーマンの存在定理に由来する。^{[ 2 ]}
• より一般的には、${\displaystyle C}$代数的に閉じた体であり、${\displaystyle x}$不定。すると絶対ガロア群は${\displaystyle C(x)}$ランクは、${\displaystyle C}$この結果は、 David HarbaterとFlorian Popによるもので、後に Dan Haran とMoshe Jardenによって代数的方法を用いて証明されました。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}
• させて${\displaystyle K}$p進数の有限拡張である$\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。 のために${\displaystyle p\neq 2}$その絶対ガロア群は、${\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]+3}$要素があり、生成子と関係によって明示的に記述されます。これは、Uwe Jannsen と Kay Wingberg の結果です。^{[ 6 ] [ 7 ]}の場合、いくつかの結果が知られています。${\displaystyle p=2}$しかし、構造は$\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$不明である。^{[ 8 ]}
• 絶対ガロア群が決定されたもう1つの例は、代数的数の体の最大の完全実部分体の場合である。^{[ 9 ]}

• 有理数の絶対ガロア群については、直接的な記述は知られていない。この場合、ベリイの定理から、絶対ガロア群はグロタンディークのデッサン・ダンファン（曲面上の写像）に忠実な作用を持ち、代数体のガロア理論を「見る」ことができることが導かれる。この問題を解決することは、非可換幾何学の目標の一つである。
• させて${\displaystyle K}$は有理数の最大のアーベル拡大である。すると、シャファレビッチの予想は、絶対ガロア群が${\displaystyle K}$は自由プロ有限群である。^{[ 10 ]}
• 興味深い問題は、ヤン・ミナチとグエン・ズイ・タンの、${\displaystyle n}$-マッセイ製品${\displaystyle n\geq 3}$[ ^{11 ] [ 12 ]​}

• ノイキルヒ・内田の定理は、代数体の絶対ガロア群の同型写像はすべて、体の自己同型写像​​から生じることを主張している。特に、2つの絶対ガロア群が同型であるのは、基底体が同型である場合に限る。
• すべてのプロ有限群は、何らかのガロア拡大のガロア群として現れるが、^{[ 13 ]}すべてのプロ有限群が絶対ガロア群として現れるわけではない。例えば、アルティン・シュライアーの定理は、絶対ガロア群が有限であれば、位数は1または2であると主張している。
• すべての射影プロ有限群は、擬代数的に閉じた体の絶対ガロア群として実現できる。この結果は、 Alexander LubotzkyとLou van den Driesによるものである。^{[ 14 ]}

ローラン・ファルグとピーター・ショルツェは、2022年の論文「局所ラングランズ対応の幾何化」において、Spec( E )のエタール基本群と同型である絶対ガロア群を介して局所体Eに関する情報を復元しようと試みた。この結果は、Eのワイル群（それ自体が絶対ガロア群の変種である）を評価しようとした際に計算されたものである。この結果は、Spec( E )上の自明なG-トルソルの自己同型群G ( E )の考え方から得られたものであり、したがって、G ( E )はSpec( E )上の情報と関連しており、これはアナベル問題である。^{[ 15 ]}