数学における対称性

対称性は幾何学だけでなく、数学の他の分野でも見られます。対称性は不変性の一種であり、数学的対象が一連の操作や変換の下で変化しないという性質です。 ^[1]

構造化されたオブジェクトX が何らかの形で与えられた場合、対称性とは、そのオブジェクトをその構造を保ちながらそれ自身に写像することです。これはさまざまな方法で発生します。たとえば、X が追加の構造を持たない集合である場合、対称性とは集合からそれ自身への全単射の写像であり、順列群を生じます。オブジェクトXが、距離構造を持つ平面またはその他の距離空間内の点の集合である場合、対称性とは、各点のペア間の距離を保つ集合のそれ自身への全単射です (つまり、等長写像です)。

一般に、数学のあらゆる種類の構造には独自の対称性があり、その多くは上記の点にリストされています。

基本的な幾何学で考慮される対称性の種類には、反射対称性、回転対称性、並進対称性、およびすべり反射対称性があり、これらについてはメインの記事「対称性 (幾何学) 」で詳しく説明されています。

f ( x ) を実変数の実数値関数とすると、 fの定義域内のすべてのxと-xに対して次の式が成り立つ場合、f は偶数になります。

${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

幾何学的に言えば、偶関数のグラフ面はy軸に対して対称です。つまり、y軸を中心に反転した後もグラフは変化しません。偶関数の例には、| x |、x ²、x ⁴、cos ( x )、cosh ( x ) などがあります。

再び、f を実変数の実数値関数とすると、 fの定義域内のすべてのxと-xに対して次の式が成り立つ場合、f は奇数です。

${\displaystyle -f(x)=f(-x)}$

つまり、

${\displaystyle f(x)+f(-x)=0\,.}$

幾何学的には、奇関数のグラフは原点に対して回転対称性を持ちます。つまり、原点を中心に180度回転してもグラフは変化しません。奇関数の例としては、 x、x ³、sin ( x )、sinh ( x )、erf ( x ) などがあります。

Aが有限であり、関数が積分可能である（例えば、 − AとAの間に垂直漸近線を持たない）場合、奇関数の − Aから+ Aへの積分はゼロになる。 ^[3]

Aが有限で関数が積分可能（例えば、 − AとAの間に垂直漸近線を持たない）であるならば、 − Aから + Aまでの偶関数の積分は、 0 から + Aまでの積分の2倍である。 ^[3]これはAが無限大のときにも成り立つが、積分が収束する場合に限る。

• 偶関数のマクローリン級数には偶数べき乗のみが含まれます。
• 奇関数のマクローリン級数には奇数べきだけが含まれます。
• 周期的な偶関数のフーリエ級数には余弦項のみが含まれます。
• 周期奇関数のフーリエ級数には正弦項のみが含まれます。

線型代数学において、対称行列とは、その転置行列に等しい正方行列（つまり、転置行列に対して不変である）である。形式的には、行列Aが対称行列であるのは、

${\displaystyle A=A^{T}.}$

行列の等式の定義では、対応するすべての位置のエントリが等しくなければならないため、等しい行列は同じ次元を持つ必要があります (異なるサイズや形状の行列は等しくできないため)。したがって、対称行列になるのは正方行列のみです。

対称行列の要素は主対角線に関して対称です。したがって、要素がA = ( a _ij ) と記述される場合、すべてのインデックスiとjについて、 a _ij = a _jiとなります。

たとえば、次の 3×3 行列は対称です。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}$

すべての正方対角行列は対称です。これは、すべての非対角要素がゼロだからです。同様に、歪対称行列の各対角要素は、それぞれが負であるため、ゼロでなければなりません。

線形代数では、実対称行列は実内積空間上の自己随伴演算子を表します。複素内積空間に対応するオブジェクトは、複素数値エントリを持つエルミート行列で、これはその共役転置に等しくなります。したがって、複素数上の線形代数では、対称行列は実数値エントリを持つ行列を指すと想定されることがよくあります。対称行列はさまざまなアプリケーションで自然に出現し、一般的な数値線形代数ソフトウェアはそれらに対して特別な対応を行います。

対称群 S n ₍有限のn個の記号の集合上) は、その要素がn 個の記号のすべての順列であり、その群演算がそのような順列の合成であり、記号の集合からそれ自身への全単射関数として扱われる群です。 ^[4] n個の記号の集合にはn ! ( n の階乗) 通りの順列が可能なので、対称群S _nの順序(つまり、要素の数)はn ! になります。

対称多項式は、 n 個の変数を持つ多項式 P ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) であり、いずれかの変数を入れ替えても同じ多項式が得られます。正式には、下付き文字 1、2、...、n の任意の順列 σ に対して、 P ( X σ ( 1 ) 、 X σ ₍ 2 ) _、 ...、X _{σ( n )} ) =  P ( X ₁、X ₂、...、X _n )が成り立つ場合、 P は対称多項式です。

対称多項式は、1 つの変数の多項式の根とその係数の関係を研究する際に自然に生じます。これは、係数は根の多項式表現で与えることができ、この設定ではすべての根が同様の役割を果たすためです。この観点から、基本的な対称多項式は最も基本的な対称多項式です。定理によれば、任意の対称多項式は基本的な対称多項式で表現できます。これは、単項多項式の根のすべての対称 多項式表現は、多項式の係数の多項式表現として与えることもできることを意味します。

2つの変数X ₁とX ₂には、次のような対称多項式があります。

• ${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$
• ${\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}$

3つの変数X ₁、X ₂、X ₃では対称多項式として次の式が得られます。

• ${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}\,}$

数学において、対称テンソルとは、ベクトル引数の 順列に対して不変なテンソルのことです。

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})}$

記号{1,2,..., r }のあらゆる順列σに対して成り立つ。あるいは、r^{次の対称テンソルを}r個の添え字を持つ 量として座標で表すと、

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.}$

有限次元ベクトル空間上の階数rの対称テンソルの空間は、 V上の次数rの斉次多項式の空間の双対に自然に同型です。特性 0の体上では、すべての対称テンソルの次数付きベクトル空間は、V上の対称代数と自然に同一視できます。関連する概念は、反対称テンソルまたは交代形式の概念です。対称テンソルは、工学、物理学、数学で広く使用されます。

多項式が与えられた場合、いくつかの根はさまざまな代数方程式によって接続される場合があります。たとえば、2 つの根、たとえばAとBについては、A ² + 5 B ³ = 7となる場合があります。ガロア理論の中心的なアイデアは、根が満たされる代数方程式は、根が入れ替えられた後でもまだ満たされるという特性を持つ根の順列(または並べ替え) を検討することです。重要な但し書きは、係数が有理数である代数方程式に限定することです。したがって、ガロア理論は代数方程式に固有の対称性を研究します。

抽象代数学において、自己同型とは、数学的対象からそれ自身への同型性です。ある意味では、それは対象の対称性であり、その構造をすべて保存しながら対象をそれ自身に写像する方法です。ある対象のすべての自己同型の集合は、自己同型群と呼ばれる群を形成します。大まかに言えば、それは対象の 対称群です。

• 集合論において、集合Xの要素の任意の順列は自己同型である。Xの自己同型群はX上の対称群とも呼ばれる。
• 初等算術では、整数の集合Zを加法による群として考えると、唯一の非自明な自己同型、すなわち否定が存在します。しかし、環として考えると、自明な自己同型しか存在しません。一般的に言えば、否定は任意のアーベル群の自己同型ですが、環や体の自己同型ではありません。
• 群の自己同型とは、群からそれ自身への群同型である。非公式には、構造が変化しないような群の要素の順列である。すべての群Gに対して、自然な群準同型G → Aut( G ) が存在し、その像は内部自己同型の群 Inn( G )であり、その核はGの中心である。したがって、G が自明な中心を持つ場合、自身の自己同型群に埋め込むことができる。^[5]
• 線型代数学において、ベクトル空間 Vの自己準同型は線型作用素 V → Vである。自己同型はV上の可逆な線型作用素である。ベクトル空間が有限次元の場合、Vの自己同型群は一般線型群GL( V )と同じである。
• 体自己同型は、体からそれ自身への全単射な 環準同型である。有理数( Q ) と実数( R )の場合、非自明な体自己同型は存在しない。Rの一部のサブ体は非自明な体自己同型を持つが、 R全体には拡張されない( Rに平方根を持つ数という性質を保存できないため)。複素数Cの場合、R をRに送る唯一の非自明な自己同型、すなわち複素共役が存在するが、無限 (可算でない) 個の「ワイルド」自己同型が存在する(選択公理 を仮定)。^{[6]体自己同型は}体拡大、特にガロア拡大の理論にとって重要である。ガロア拡大L / Kの場合、Kを点ごとに固定したLのすべての自己同型の部分群は、拡大のガロア群と呼ばれる。

量子力学では、ボソンには置換演算子の下で対称な代表があり、フェルミオンには反対称な代表があります。

これはフェルミオンに対するパウリの排他原理を意味します。実際、単一値の多粒子波動関数に対するパウリの排他原理は、波動関数が反対称であることを要求するのと同等です。反対称の 2 粒子状態は、1 つの粒子が状態 で、もう 1 つの粒子が状態 である状態の合計として表されます。 ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle }$${\displaystyle \scriptstyle |y\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle }$

交換の下での反対称性とは、A ( x , y ) = − A ( y , x )を意味します。これは、A ( x , x ) = 0を意味し、パウリの排他律です。基底のユニタリ変換によって反対称行列は反対称のままになるため、これはどの基底でも当てはまりますが、厳密に言えば、量A ( x , y )は行列ではなく、反対称ランク 2テンソルです。

逆に、対角量A ( x , x )がすべての基底でゼロの場合、波動関数の成分は次のようになります。

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )}$

は必ず反対称である。これを証明するために、行列要素を考えてみよう。

${\displaystyle \langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))\,}$

これはゼロです。なぜなら、2つの粒子が重ね合わせ状態にある確率はゼロだからです。しかし、これは ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle +|y\rangle }$

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle \,}$

右辺の最初と最後の項は対角要素でゼロであり、全体の合計はゼロに等しくなります。したがって、波動関数の行列要素は次のようになります。

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0\,}$。

または

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x)\,}$

A から B への関係が成り立つときは常に、B から A への関係も成り立つ場合、その関係は対称的であると言います。対称性は反対称性の正確な反対ではないことに注意してください。

等長変換は、距離空間間の距離保存写像です。距離空間、または集合と集合の要素間の距離を割り当てる方式が与えられた場合、等長変換は、新しい距離空間の要素間の距離が元の距離空間の要素間の距離に等しくなるように、要素を別の距離空間に写像する変換です。2 次元または 3 次元空間では、2 つの幾何図形が等長変換によって関連付けられている場合、つまり 剛体運動、または 剛体運動と反射の 合成によって関連付けられている場合、それらの図形は合同です。剛体運動による関係を除き、直接等長変換によって関連付けられている場合は、それらの図形は等しいです。

等長写像は幾何学や関数、確率分布、行列、文字列、グラフなどにおける対称性の作業定義を統一するために使われてきた。^[7]

微分方程式の対称性は、微分方程式を不変にする変換です。このような対称性に関する知識は、微分方程式を解くのに役立つ場合があります。

微分方程式系の線対称性は、微分方程式系の連続対称性です。線対称性の知識は、次数を減らすことで常微分方程式を単純化するために使用できます。^[8]

常微分方程式の場合、適切な一連のリー対称性に関する知識があれば、一連の第 1 積分を明示的に計算して、積分なしで完全な解を得ることができます。

対称性は、関連する常微分方程式を解くことによって発見されることがあります。^[8]これらの方程式を解くことは、元の微分方程式を解くよりもはるかに簡単です。

可能な結果の数が有限の場合、順列（再ラベル付け）に関する対称性は離散一様分布を意味します。

可能な結果の実区間の場合、等しい長さのサブ区間の交換に関する対称性は、連続した一様分布に対応します。

「ランダムな整数を取る」または「ランダムな実数を取る」などの他のケースでは、再ラベル付けまたは同じ長さのサブ間隔の交換に関して対称な確率分布はまったく存在しません。他の合理的な対称性は、特定の分布を 1 つ選び出すものではありません。言い換えると、最大の対称性を提供する唯一の確率分布は存在しません。

確率分布を変更しない可能性がある1 つの次元の等長変換のタイプが 1 つあります。これは、たとえば 0 などの点における反射です。

正の結果を伴うランダム性の対称性として考えられるのは、前者が対数に当てはまること、つまり結果とその逆数が同じ分布を持つことです。ただし、この対称性は特定の分布を一意に選び出すものではありません。

平面または空間内の「ランダムな点」の場合、原点を選択し、それぞれ円対称または球対称の確率分布を考慮することができます。

• 積分における対称性の利用
• 不変性（数学）

• ワイル、ヘルマン（1989）[1952]。対称性。プリンストン科学図書館。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-02374-3。
• ロナン、マーク（2006年）。『対称性と怪物』オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-280723-6。（一般読者向けの簡潔な紹介）
• デュ・ソートイ、マーカス（2012年）。『ムーンシャインを探して：対称性を探る数学者の旅』ハーパーコリンズ。ISBN 978-0-00-738087-9。