アイデンティティ要素

数学において、二項演算の単位元または中立元は、演算が適用されたときにすべての要素が変更されない元で​​す。^{[1] [2]たとえば、0は}実数の加算の単位元です。この概念は、群や環などの代数構造で使用されます。単位元という用語は、混乱の可能性がない場合には単位元に短縮されることがよくあります（加法単位元と乗法単位元の場合のように）^[3]が、その単位元は暗黙的に、関連付けられている二項演算に依存します。

( S , ∗) を二項演算∗を備えた集合 Sとする。このとき、 Sの  元 eはSの sに対して e∗s=s が成り立つ場合、左恒等式であり、右恒等式は、 S内の 任意の ss∗e=s であるときである。^[4]eが左恒等式かつ右恒等式であるとき二面的なアイデンティティ、あるいは単にアイデンティティ。^{[5][6][7][8][9]}

加法に関する恒等式は加法的な恒等式（0と表記されることが多い）と乗法に関する恒等式は乗法単位元（1と表記されることが多い）。^[3]例えば、群の場合環、整域、体など、2項演算の両方をサポートする集合で最もよく使用される。乗法単位元は、しばしば と呼ばれる。${\displaystyle e}$後者の文脈では、単位元（単位元を持つ環）を指す。^[10][11][12]環論における単位元乗法逆元と混同してはならない。定義上、単位元自体は必然的に単位元である。^[13][14]

等式が与えられた例S = { e,f } では、 S は半群です。これは、 ( S、 ∗) が複数の左単位元を持つ可能性があることを示しています。実際、すべての要素は左単位元になることができます。同様に、右単位元も複数存在する可能性があります。ただし、右単位元と左単位元の両方がある場合、それらは等しくなければならず、結果として 1 つの両側単位元になります。

これを理解するには、l が左恒等式でr が右恒等式である場合、l = l ∗ r = r となることに注意してください。特に、両側恒等式は 1 つしか存在できません。つまり、eとf の2 つがある場合、e ∗ f はeとf の両方に等しくなければなりません。

また、 ( S , ∗)が単位元を持たないことも十分あり得ます。 ^[15]例えば、乗算演算における偶数の場合などです。^[3]もう 1 つの一般的な例はベクトルの外積です。ここで単位元が存在しないのは、非ゼロの外積の方向が、乗算される要素と常に直交するという事実に関係しています。つまり、元のベクトルと同じ方向の非ゼロ ベクトルを得ることはできません。単位元を持たない構造のさらに別の例として、正の自然数の加法半群が挙げられます。

• 吸収要素
• 加法逆数
• 一般逆
• 恒等式（方程式）
• 恒等関数
• 逆要素
• モノイド
• 擬似リング
• 準群
• ユニタル（曖昧さ回避）

• ボーリガード、レイモンド A.; フレイリー、ジョン B. (1973)、『線形代数の入門：群、環、体へのオプション入門』、ボストン：ホートン・ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• フレイリー、ジョン B. (1976)、抽象代数入門(第 2 版)、読書: Addison-Wesley、ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964)、Topics In Algebra、ウォルサム：Blaisdell Publishing Company、ISBN 978-1114541016
• マッコイ、ニール H. (1973)、現代代数学入門、改訂版、ボストン：アリン＆ベーコン、LCCN  68015225

• M. Kilp、U. Knauer、AV Mikhalev、「モノイド、行為、カテゴリーとリース積およびグラフへの応用」、De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29、Walter de Gruyter、2000年、ISBN 3-11-015248-7、p. 14–15