Loading article…
数学、特に抽象代数学において、可換環の素元は、整数の素数や既約多項式に類似した特定の特性を満たすオブジェクトです。素元と既約元はUFDでは同じ概念ですが、一般には同じではないため、区別するように注意する必要があります。
意味
可換環Rの元p は、それが零元でも単位元でもなく、R内の任意のaおよびbに対してp がab を割り切るときはいつでも、 p がa を割り切るか、またはp がb を割り切るとき、素数であるという。この定義では、ユークリッドの補題は、素数は整数の環における素元であるという主張である。同様に、元pが素元であるためには、pによって生成される主イデアル( p )が零でない素イデアルである必要がある。[1] (整域では、イデアル(0)は素イデアルであるが、0は「素元」の定義では例外である点に注意。)
素元への関心は算術の基本定理に由来しており、この定理では、ゼロでない整数は基本的に、1 または -1 に正の素数の積を掛けた形でしか表すことができないと主張しています。これにより、整数で説明した内容を一般化する一意の因数分解領域の研究が生まれました。
素数であるかどうかは、どの環に元が含まれるかによって決まります。たとえば、 2 はZの素数元ですが、ガウス整数環Z [ i ]の素数元ではありません。これは、2 = (1 + i )(1 − i )であり、 2 は右側のどの因数も割り切れないからです。
主要な理想とのつながり
環R (単位元)のイデアルI は、因数環R / Iが整域である場合に素数です。
整域では、非ゼロの主イデアルは、素元によって生成される場合のみ 素イデアルとなります。
既約要素
素元を既約元と混同してはならない。整域ではすべての素数は既約であるが[2]、その逆は一般には成り立たない。しかし、一意因数分解領域[3] 、またはより一般的にはGCD領域では、素数と既約元は同じである。
例
以下はリング内の素数要素の例です。
- 整数環Zの整数±2、±3、±5、±7、±11、...
- ガウス整数環Z [ i ]の複素数(1 + i )、19、(2 + 3 i )
- Z上の多項式環Z [ x ]の多項式x 2 − 2とx 2 + 1。
- 商環 Z /6 Zの 2
- x 2 + ( x 2 + x )は素数であるが、環Q [ x ]/( x 2 + x )において既約ではない。
- 整数のペアの環Z 2において、 (1, 0)は素数であるが既約ではない（(1, 0) 2 = (1, 0)である）。
- 代数的整数の環 において、要素3は既約ですが素数ではありません (3 は右側のどの因数も割り切れますが、3 は右側のどの因数も割り切れないため)。
![{\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ed4e4e8f7026e55edc2e4c5f68e4fc9c93da46)
参考文献
- 注記
- ^ Hungerford 1980、定理 III.3.4(i)、定理と証明の下の注釈に示されているように、結果は完全に一般性を保ちます。
- ^ ハンガーフォード 1980、定理 III.3.4(iii)
- ^ ハンガーフォード 1980、定義 III.3.5 の後の注釈
- 出典
- ハンガーフォード、トーマス W. (1980)、代数学、大学院数学テキスト、第 73 巻 (1974 年版の再版)、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBNの第 III.3 節 978-0-387-90518-1、MR 0600654
- ジェイコブソン、ネイサン（1989）、Basic algebra. II（第2版）、ニューヨーク：WH Freeman and Company、pp. xviii+686、ISBN 0-7167-1933-9、MR 1009787
- カプランスキー、アーヴィング（1970）、可換環、ボストン、マサチューセッツ州：アリン＆ベーコン社、pp. x+180、MR 0254021