四角

4辺の長さが の正方形${\displaystyle \ell }$周囲長^{[ 12 ]}${\displaystyle P=4\ell }$対角線の長さ$d=√2\ell$[ ^{13 ]}この式に現れる2 の平方根は無理数であり、正確^に分数として表すことはできません。約 1.414 に等しく、^{[ 14 ]}その近似値はバビロニアの数学ですでに知られていました。^{[ 15 ]}正方形の面積は^{[ 13 ]}$${\displaystyle A=\ell ^{2}={\tfrac {1}{2}}d^{2}.}$$ 正方形の面積を辺の長さの2乗とするこの公式から、任意の数を2乗することを意味する「平方する」という用語が使われるようになった。 ^{[ 16 ]}この関係を逆にすると、与えられた面積の正方形の辺の長さは、面積の平方根となる。整数を平方する、または整数辺を持つ正方形の面積を取ると、平方数が得られる。これらは、正方形のグリッドに配置できる点の数を表す数である。 ^{[ 17 ]}

4の2乗は16なので、4×4の正方形の面積は周囲の長さに等しい。つまり、それは正多角形である。他に正多角形の整数の長方形は3×6の長方形だけである。^{[ 18 ]}

正方形は正多角形であるため、与えられた面積を囲む最小周長の四角形である。双対的に、正方形は与えられた周長内で最大の面積を含む四角形である。^{[ 19 ]}実際、AとPが四角形によって囲まれた面積と周長である場合、次の等周不等式が成り立つ。 $$16A ≤ P²$$ 等しいのは、四角形が正方形である場合に限る。^{[ 20 ] [ 21 ]}

正方形は四角形の中で最も対称的な形である。^{[ 22 ]}平面の 8つの剛体変換により、正方形はそれ自身になる。 ^{[ 23 ]}

正方形の初期位置（恒等変換）

反時計回りに90度回転

180度回転

270°回転

北西－南東方向の対角反射

水平反射

北東－南西方向の斜め反射

垂直反射

原点を中心とする軸平行正方形の場合、各対称性は点のデカルト座標の反転と交換の組み合わせによって作用します。 ^{[ 24 ]}対称性は、8 つの二等辺三角形を半辺と正方形の中心 (中心はそのまま) の間で入れ替えます。これらの三角形のいずれかを変換の基本領域とすることができます。 ^{[ 25 ]} 2 つの頂点、2 つの辺、および 2 つの半辺は、少なくとも 1 つの対称性 (半辺の場合はちょうど 1 つ) によって互いに写像されます。^{[ 22 ]}すべての正多角形もこれらの性質を持ち、^{[ 26 ]}正方形、より一般的には正多角形の対称性は頂点と辺に対して推移的に作用し、半辺に対しては単純に推移的に作用する、と表現されます。 ^{[ 27 ]}

これらの変換のうち任意の２つを、１つずつ順番に実行して組み合わせると、正方形はそれ自身に戻り、したがって別の対称性が生じます。繰り返し回転すると、合計回転角を持つ別の回転が生じます。同じ軸を持つ２つの鏡映は恒等変換に戻りますが、異なる軸を持つ２つの鏡映は正方形を回転させます。回転の後に鏡映を行うか、またはその逆を行うと、異なる鏡映が生じます。この合成操作により、正方形の８つの対称性は、正方形の群または位数８の二面体群と呼ばれる群の数学的構造を持ちます。^{[ 23 ]}長方形やひし形などの他の四角形は、これらの対称性の部分群しか持ちません。^{[ 28 ] [ 29 ]}

平面の相似性により、正方形の形状は保持されるが、その大きさは保持されない。 ^{[ 30 ]}平面の他の種類の変換により、正方形を他の種類の四角形に変換することができる。アフィン変換により、正方形を任意の平行四辺形に変換することができ、またその逆も可能である。^{[ 31 ]}射影変換により、正方形を任意の凸四角形に変換することができ、またその逆も可能である。^{[ 32 ]}これは、透視図法で見ると、正方形は任意の凸四角形のように見えることがあり、またその逆も可能であることを意味する。 ^{[ 33 ]}メビウス変換により、正方形の頂点（ただし辺ではない）を調和四角形の頂点に変換することができる。^{[ 34 ]}

壁紙群は、2次元の繰り返しパターンの対称群です。これらの群の多くでは、繰り返しの基本単位（周期格子の単位セル）は正方形になり得ますが、p4、p4m、p4gの3つの群では、正方形でなければなりません。^{[ 35 ]}

p4、エジプトの墓の天井

p4m、ニネベ＆ペルシャ

p4g、中国

『装飾の文法』からのタイル模様の壁紙グループ

正方形の内接円は、その正方形の中に収まる最大の円です。その中心は正方形の中心点であり、その半径（正方形の内接円半径）は${\displaystyle r=\ell /2}$この円は正方形の4辺すべて（それぞれの中点で）に接しているので、正方形は接線四角形です。正方形の外接円は4つの頂点すべてを通るので、正方形は円に内接する四角形になります。その半径、外接半径は${\displaystyle R=\ell /{\sqrt {2}}}$[ ^{36 ]}正方形の内接円^が${\displaystyle ABCD}$接点を持つ${\displaystyle E}$の上${\displaystyle AB}$、${\displaystyle F}$の上${\displaystyle BC}$、${\displaystyle G}$の上${\displaystyle CD}$、 そして${\displaystyle H}$の上${\displaystyle DA}$すると任意の点について${\displaystyle P}$内接円上で、^{[ 37 ]}$${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$$もし$d_i$は平面上の任意の点から${\displaystyle i}$正方形の 番目の頂点と${\displaystyle R}$は正方形の外接半径であり、その場合^{[ 38 ]}$${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$$ もし${\displaystyle L}$ そして$d_i$は、平面上の任意の点から正方形の重心および4つの頂点までの距離をそれぞれ表すとすると、$${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$$そして$${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$$どこ${\displaystyle R}$は正方形の外接半径である。^{[ 39 ]}

単位正方形とは、一辺の長さが1の正方形のことです。デカルト座標では、多くの場合、点を囲む正方形として表されます。${\displaystyle (x,y)}$持っている${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$そして${\displaystyle 0\leq y\leq 1}$その頂点は、それぞれの座標が0または1である4つの点である。^{[ 89 ]}

中心が点にある軸に平行な正方形${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$長さの側面${\displaystyle 2r}$（どこ${\displaystyle r}$（内半径は辺の長さの半分）は4つの点に頂点を持つ${\displaystyle (x_{c}\pm r,y_{c}\pm r)}$その内部は点から構成されている。${\displaystyle (x,y)}$と${\displaystyle \max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)<r}$、その境界は、${\displaystyle \max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)=r}$[ ^{90 ]​}

中心が点にある対角線上の正方形${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$長さの対角線${\displaystyle 2R}$（どこ${\displaystyle R}$は外接半径、対角線の半分であり、4つの点に頂点を持つ。${\displaystyle (x_{c}\pm R,y_{c})}$そして${\displaystyle (x_{c},y_{c}\pm R)}$その内部は点から構成されている。${\displaystyle (x,y)}$と${\displaystyle |x-x_{c}|+|y-y_{c}|<R}$、その境界は、${\displaystyle |x-x_{c}|+|y-y_{c}|=R}$^{[ 90 ]}例えば、図は原点を中心とする対角線状の正方形を示している。${\displaystyle (0,0)}$外接半径2は、次の式で与えられる。${\displaystyle |x|+|y|=2}$。

複素数平面では、虚数単位による乗算は${\displaystyle i}$積のもう一方の項を原点（ゼロ）を中心に90°回転させます。したがって、ゼロでない複素数であれば${\displaystyle p}$繰り返し乗算される${\displaystyle i}$4つの数字を与える${\displaystyle p}$、${\displaystyle ip}$、${\displaystyle -p}$、 そして${\displaystyle -ip}$これらの数は、原点を中心とする正方形の頂点を形成します。^{[ 91 ]}これらの4つの複素数の実部と虚部をデカルト座標と解釈すると、${\displaystyle p=x+iy}$すると、これらの4つの数字の座標は次のようになります。${\displaystyle (x,y)}$、${\displaystyle (-y,x)}$、${\displaystyle (-x,-y)}$、 そして${\displaystyle (-y,-x)}$^{[ 92 ]}この平方数は、他の任意の複素数に変換することができる。${\displaystyle c}$は中心であり、原点から${\displaystyle c}$複素数演算では、 と の加算として表される。${\displaystyle c}$[ ^{93 ]}ガウス整数、つまり実部と虚部が整数である複素数は、^複素平面上で正方格子を形成する。 ^{[ 93 ]}

コンパスと定規を用いて一辺の長さが与えられた正方形を作図する方法は、ユークリッドの『原論』第1巻第46章に記されている。^{[ 94 ]}この作図法が存在するということは、正方形が作図可能な多角形であることを意味する。正多角形は${\displaystyle n}$-角形は、奇素因数が${\displaystyle n}$は異なるフェルマー素数であり、^{[ 95 ]}平方数の場合${\displaystyle n=4}$奇数の素因数を持たないため、この条件は自明に真である。^{[ 96 ]}

要素IV.6〜7では、円に内接する正方形と円に外接する正方形の作図もそれぞれ示されている。^{[ 97 ]}

• 
  与えられた外接円を持つ正方形
• 
  タレスの定理を用いて、与えられた辺の長さを持つ正方形を求める。
• 
  指定された対角線を持つ正方形

正方形の4つの頂点すべてが曲線上にあるとき、その正方形は曲線に内接していると言います。未解決の内接正方形問題は、すべての単純閉曲線に内接正方形が存在するかどうかを問うものです。これはすべての滑らかな曲線^{[ 121 ]}と任意の閉じた凸曲線に対して真です。すべての閉じた凸曲線に常に内接できる唯一の他の正多角形は正三角形です。なぜなら、他の正多角形を内接できない凸曲線が存在するからです。^{[ 122 ]}

三角形に内接する正方形の場合、少なくとも正方形の一辺が三角形の辺に接します。鋭角三角形には、3つの辺それぞれに1つずつ、合計3つの内接正方形があります。直角三角形には、直角に接する正方形と斜辺に接する正方形の2つがあります。鈍角三角形には、最も長い辺に内接する正方形が1つだけあります。三角形に内接する正方形は、三角形の面積の半分までしか覆うことができません。^{[ 123 ]}

古代から、表面積を表す多くの単位は正方形から定義されており、通常は辺の長さの標準単位が用いられ、例えば平方メートルや平方インチなどがある。^{[ 124 ]}

古代ギリシャの演繹幾何学では、平面図形の面積は、コンパスと定規を使って有限の手順だけで同じ面積の正方形を作図することによって測定され、比較されました。このプロセスは求積法または平方法と呼ばれています。ユークリッドの『原論』では、長方形、平行四辺形、三角形、そしてより一般的には、それらを三角形の断片に分割することによって単純な多角形に対してこれを行う方法を示しています。^{[ 125 ]}ヒポクラテスの三日月形^{[ 126 ]}や放物線^{[ 127 ]}のように、曲線の辺を持つ図形も平方化できます。

面積測定の定義形状として正方形を用いるこの方法は、ピタゴラスの定理のギリシャ語版にも見られる。直角三角形の2辺上に作られた正方形の総面積は、斜辺上に作られた正方形の総面積と等しい。^{[ 128 ]}この形式で述べれば、正三角形や半円など、三角形の辺上の他の形状にも同様に当てはまるが、^{[ 129 ]}ギリシャ人は正方形を用いた。現代数学では、正方形の面積を用いたこの定理の定式化は、平方数を含む代数的な定式化に置き換えられている。直角三角形の辺と斜辺の長さは、次の式を満たす。${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$[ ^{130 ]​}

面積の尺度として求積法に重点が置かれていたため、ギリシャ人や後の数学者たちは、コンパスと定規を使って有限の手順で与えられた円と同じ面積の正方形を作図し、円を正方形にしようと試みましたが、成功しませんでした。1882年、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の結果として、この課題は不可能であることが証明されました。この定理は、πが代数的無理数ではなく超越数であることを証明しています。つまり、π は有理係数を持つ多項式の根ではありません。円を正方形にするための作図は、πの多項式公式に変換できますが、そのような公式は存在しません。^{[ 131 ]}哲学では、「正方形の円」という概念はアリストテレス以来、撞着語法の例として使われており、タクシーの幾何学（下記参照）のような、このフレーズが意味を持つ文脈を見つけようとする試みが起こっています。^{[ 132 ]}

正方形のタイル張り

ピタゴラス式タイル張り

床やゲーム盤でおなじみの正方形のタイル張りは、平面の3 つの正則なタイル張りの 1 つです。他の 2 つは正三角形と正六角形を使用します。^{[ 133 ]}正方形のタイル張りの頂点は正方格子を形成します。^{[ 134 ]}複数のサイズの正方形で平面をタイル張りすることもできます。^{[ 135 ] [ 136 ]}例えば、ピタゴラスの定理の証明との関連から名付けられたピタゴラスのタイル張りなどです。^{[ 137 ]}

正方形パッキング問題では、与えられた数の単位正方形が収まる最小の正方形または円を求めます。チェス盤は、より大きな正方形に平方数の単位正方形を最適に詰め込みますが、このようないくつかの特殊なケースを除いて、これらの問題の最適解は未解決のままです。^{[ 138 ] [ 139 ] [ 140 ]}正方形への円のパッキングについても同様です。^{[ 141 ]}正方形を他の形状に詰め込むと、計算複雑度が高くなります。与えられた数の単位正方形が、半整数の頂点座標を持つ直交凸の直線多角形に収まるかどうかをテストすることは、 NP完全です。^{[ 142 ]}

正方形を正方形に分割するとは、与えられた正方形を、すべて整数の辺の長さを持つ小さな正方形に分割することです。異なる小さな正方形による分割は、完全正方形と呼ばれます。^{[ 143 ]} 「パーキンス夫人のキルト」と呼ばれる正方形を正方形に分割する別のバリ​​エーションでは、繰り返しが許容されますが、辺の長さの最大公約数が 1 になるように、できるだけ少ない小さな正方形を使用します。 ^{[ 144 ]}平面全体を、各整数の辺の長さを持つ正方形がちょうど 1 つずつある正方形でタイル張りすることができます。^{[ 145 ]}

回転するクリフォードトーラスの立体投影図

頂点ごとに6つの正方形を持つ正多面体

膨らませた四角い枕の数値シミュレーション

高次元では、平面以外の曲面も、端と端が接する同じ大きさの正方形でタイル張りすることができます。このような曲面の 1 つは、2 つの合同な円の 4 次元直交積であるクリフォード トーラスです。これは、対向する辺のペアを接着した単一の正方形と同じ固有の幾何学を持っています。^{[ 146 ]} 3 次元の正六面体である別の正方形タイル張り曲面は、各頂点で 6 つの正方形が接しています。^{[ 147 ]}紙袋問題は、2 つの正方形を端と端で接着してタイル張りした曲面で囲むことができる最大の体積を求める問題で、その正確な答えは不明です。^{[ 148 ]} 2 つの正方形を異なるパターンで接着し、各正方形の頂点をもう 1 つの正方形の辺の中点に取り付ける (または、これらの 2 つの正方形を 8 つの正方形に分割して端と端で接着する) と、ビスコルヌと呼ばれるピンクション形状が生成されます。^{[ 149 ]} 3次元整数格子の有限個の正方形でタイル張りされた表面は、ポリオミノイドと呼ばれます。^{[ 150 ]}

よくある数学パズルは、正方形のグリッド内のあらゆるサイズの正方形を数えることです。${\displaystyle n\times n}$正方形。例えば、9つの正方形からなる正方形グリッドには14個の正方形があります。グリッドを構成する9つの正方形と、さらに4つの正方形です。$2×2$正方形、そして1つ${\displaystyle 3\times 3}$正方形。パズルの答えは${\displaystyle n(n+1)(2n+1)/6}$、正四角錐数。^{[ 151 ]}${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$これらの数字は次のとおりです: ^{[ 152 ]}

同じパズルのバリエーションでは、グリッドによって形成される正方形の数を問う。${\displaystyle n\times n}$点のグリッドでは、軸に平行でない正方形も許容されます。たとえば、9点のグリッドには、上記のように軸に平行な正方形が5つありますが、さらに1つの対角線上の正方形も含まれているため、合計で6つになります。^{[ 153 ]}この場合、答えは4次元ピラミッド数によって与えられます。${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$。 のために${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$これらの数字は次のとおりです: ^{[ 154 ]}

正方形に関する別の数え上げ問題は、正方形を相似な長方形に分割する際に使用できる長方形の異なる形状の数を問うものです。正方形を2つの相似な長方形に分割する方法は、正方形を二等分する1つの方法のみですが、正方形を3つの相似な長方形に分割する場合、長方形の縦横比は3つあり得ます。 ^{[ 155 ]} 3:1、3:2、および塑性比の2乗、約1.755:1です。^{[ 156 ]}正方形を相似な長方形に分割する際に可能な比率の数は、${\displaystyle n}$長方形は小さな値で知られています${\displaystyle n}$ただし、一般的な公式ではありません。${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$これらの数字は次のとおりです: ^{[ 157 ]}

魔方陣とは、各行、各列、および両方の主対角線上の正の数の合計が等しい、正方の数の配列のことである。^{[ 158 ]}${\displaystyle n\times n}$配列の場合、合計は次のように定式化できます。${\displaystyle n(n^{2}+1)/2}$; の数字${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$は：^{[ 159 ]}

球体内の同心円状の正方形（正投影図法）

双曲平面上の同心円状の正方形（等角円盤モデル）

八分円とは、直角を持つ正三角形のことです。

直角を持つ正六角形は、各頂点で4つの六角形が交わるようにして双曲平面を敷き詰めることができる。

おなじみのユークリッド幾何学では、空間は平坦であり、凸四角形の内角の合計は 360° なので、正方形 (正四角形) は 4 つの等しい辺と 4 つの直角 (それぞれ 90°) を持ちます。対照的に、球面幾何学と双曲幾何学では、空間は曲がっており、凸四角形の内角の合計は 360° にならないため、4 つの直角を持つ四角形は存在しません。これらの幾何学はいずれも、4 つの等しい辺と 4 つの等しい角を持つ正四角形を特徴としており、しばしば正方形と呼ばれます^{[ 160 ]。}ただし、直角がないため、この名前を避ける著者もいます。これらの幾何学には、直角を持つ正多角形も存在しますが、辺の数は 4 つとは異なります^{[ 161 ]。}

球面幾何学では、空間は一様な正の曲率を持ち、すべての凸四角形（4 つの大円弧の辺を持つ多角形）の角度の合計は、その表面積に比例する角度超過と呼ばれる量だけ 360° を超えます。小さな球面正方形はほぼユークリッド的であり、大きな正方形の角度は面積とともに増加します。^{[ 160 ]} 1 つの特別なケースは、球面の 6 分の 1 を覆う 4 つの 120° の角度を持つ球面立方体の面です。 ^{[ 162 ]}もう 1 つは、 4 つの直角を持つ球面正方形二面体の面である半球です。世界地図用のピアース五角形投影は、このような 2 つの面をユークリッド正方形に等角写像します。^{[ 163 ]}球の八分円は、 3 つの等しい辺と 3 つの直角を持つ正球面三角形です。8 つの三角形が球面をタイル状に覆い、各頂点で 4 つが交わり、球面八面体を形成します。^{[ 164 ]}球面三日月は正二角形で、2つの半円形の辺と対蹠点に等しい2つの角を持ちます。直角三日月は球の4分の1を覆い、4つの三日月を持つ正多面体の1つの面になります。^{[ 165 ]}

双曲幾何学では、空間は一様な負の曲率を持ち、すべての凸四角形の角度の合計は、その表面積に比例する角度欠損と呼ばれる量だけ 360° に満たない。小さな双曲正方形はほぼユークリッド的であり、大きな正方形は面積の増加とともに減少する。特殊なケースには、 4より大きいすべてのnの値に対して360°/ nの角度を持つ正方形があり、それぞれが双曲平面をタイル張りすることができる。^{[ 161 ]}無限極限では、理想的な正方形は、無限の長さの 4 つの辺と、双曲平面の外側の理想的な点にある 4 つの頂点を持ち、内角は0°である。 ^{[ 166 ]}理想的な正方形は、すべての理想的な四角形と同様に、 360°の角度欠損に比例する有限の面積を持つ。^{[ 167 ]}また、すべての頂点に直角があり、4 より大きい任意の数の辺を持つ正双曲多角形を作ることも可能である。このような多角形は双曲平面を均一に敷き詰めることができ、これは各頂点をn個の正方形で囲むことの双対である。

ユークリッド平面は、ユークリッド距離関数を採用することにより、実座標平面上で定義することができる。この関数によれば、任意の2点間の距離は${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$そして${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$は${\displaystyle \textstyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}$異なる距離関数を採用すると、他の計量幾何学が形成され、これらの幾何学の中には、ユークリッド正方形となる形状が「円」（中心点から等距離にある点の集合）となるものがある。座標軸に対して45°傾いた正方形は、タクシー幾何学における円であり、${\displaystyle L_{1}}$距離${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$タクシーの距離を示す地点${\displaystyle d}$任意の点から、その点を中心とする対角線の長さを持つ正方形を描きます。${\displaystyle 2d}$同様に、軸に平行な正方形は、${\displaystyle L_{\infty }}$またはチェビシェフ距離、${\displaystyle \max(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|)}$この指標では、距離が${\displaystyle d}$ある点から、与えられた点を中心とする、軸に平行な正方形を一辺の長さで形成する。${\displaystyle 2d}$^{[ 168 ] [ 169 ] [ 170 ]}関連して、正方形と円はスクワークルと呼ばれる中間的な形状になることがあります。^{[ 171 ]}