滑らかさ

数学的解析において、関数の滑らかさは、関数の定義域における連続導関数の数（微分可能性クラス）によって測定される特性である。^[1]

クラス の関数は、少なくともkの滑らかさを持つ関数です。つまり、 クラスの関数は、その定義域で連続する k番目の導関数を持つ関数です。${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k}}$

クラスまたは関数の関数( C-無限関数と発音) は、無限に微分可能な関数、つまり、すべての次数の導関数を持つ関数です(これは、これらすべての導関数が連続していることを意味します)。 ${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle C^{\infty}}$

一般的に、滑らかな関数という用語は-関数を指します。ただし、検討中の問題については「十分に微分可能である」という意味になることもあります。 ${\displaystyle C^{\infty}}$

微分可能性クラスは、関数の導関数の特性に従って関数を分類するものです。これは、関数に対して存在し、連続している導関数の最高次の尺度です。

実数直線上の開集合 と、上で定義され実数値を持つ関数について考える。kを非負の整数 とする。 関数 は、の微分可能クラスであるとは、 の導関数が存在し、で連続である場合をいう。 が で -微分可能であれば、が で連続するので、少なくとも クラスに属します。関数が上のすべての次数の導関数を持つ場合、関数は無限微分可能、滑らか、またはクラスに属しているといわれます(したがって、これらすべての導関数は 上で連続関数です)。^[2]が滑らかであり(つまり、がクラスに属している)、その定義域の任意の点の周りのテイラー級数展開が、その点の近傍のある関数に収束する場合、関数 はクラスまたは解析的であるといわれます。 滑らかだが解析的ではない関数が存在するため、は に厳密に含まれます。バンプ関数は、この特性を持つ関数の例です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k)}}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle C^{k-1}}$${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k-1)}}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{\infty },}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{\omega },}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle C^{\omega}}$${\displaystyle C^{\infty }.}$

言い換えると、クラスはすべての連続関数から構成されます。クラスは、導関数が連続であるすべての微分可能関数から構成されます。このような関数は、連続的に微分可能と呼ばれます。したがって、関数は、導関数が存在し、クラスに属する関数とまったく同じです。一般に、クラスは、をすべての連続関数の集合と宣言し、任意の正の整数に対してを、導関数が にあるすべての微分可能関数の集合と宣言することで、再帰的に定義できます。特に、はすべての に対してに含まれ、この包含が厳密であることを示す例があります ( )。無限に微分可能な関数のクラスは、が非負の整数上で変化する ときのクラスの共通部分です。${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{0}.}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k-1}.}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k-1}}$${\displaystyle k>0,}$${\displaystyle C^{k}\subsetneq C^{k-1}}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$

この関数は 連続ですが、 x = 0 で微分できないため、クラスC ⁰ですが、クラスC ¹ではありません。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

各偶数kに対して、関数は 連続であり、すべてのxにおいてk回微分可能です。ただし、x = 0では( k + 1)回微分可能ではないため、クラスC ^{kになりますが、} j > kの場合にはクラスC ^jにはなりません。 $${\displaystyle f(x)=|x|^{k+1}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

この関数は 微分可能であり、導関数は $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$$${\displaystyle g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$$

はx → 0として振動するため、ゼロで連続ではありません。したがって、は微分可能ですが、クラスC ¹ではありません。 ${\displaystyle \cos(1/x)}$${\displaystyle g'(x)}$${\displaystyle g(x)}$

関数は 微分可能ですが、その導関数はコンパクト集合上で有界ではありません。したがって、は微分可能だが局所的にリプシッツ連続ではない関数の例です。 $${\displaystyle h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$${\displaystyle h}$

指数関数は 解析的であるため、クラスC ^ωに分類されます。三角関数も、複素指数関数との線形結合であるため、どこで定義されても解析的です。 ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{ix}}$${\displaystyle e^{-ix}}$

バンプ関数は 滑らかなのでクラスC ^{∞ですが、} x = ±1では解析的ではないためクラスC ^ωではありません。関数f はコンパクトな台を持つ滑らかな関数の例です。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ else }}\end{cases}}}$$

の開集合上で定義された関数は、すべての偏導関数が存在し、 が任意の非負整数に対して連続 して存在し、 かつ任意の となるとき、正の整数 に対して 上でクラスであると [3 ]言われ^ます。同様に、の次のフレシェ微分が存在し、 の任意の点で連続するとき、 は上でクラスであるとされます。関数が上で連続する場合、関数はクラスまたはクラスであるとされます。クラスの関数は連続的に微分可能であるとも言われます。 ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{1}}$

の開集合上で定義された関数 は、そのすべての成分が クラス（ はによって定義される自然な射影） である場合に、正の整数 に対して上でクラスであると言われます。 が 上で連続である場合、またはすべての成分が連続している場合、それはクラスまたはであると言われます。 ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ }}i=1,2,3,\ldots ,m の場合}$$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle \pi_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle U}$

を実数直線の開部分集合とする。上で定義されるすべての実数値関数の集合はフレシェベクトル空間であり、半ノルムの可算族は、 、であるコンパクト集合の増加列にわたって変化する。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle D}$ $${\displaystyle p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle m=0,1,\dots ,k}$

上の関数の集合もフレシェ空間を形成します。 はすべての非負の整数値にわたって範囲をとることができる 点を除いて、上記と同じ半ノルムを使用します。${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle m}$

上記の空間は、特定の次数の導関数が必要なアプリケーションでは自然に発生しますが、特に偏微分方程式の研究では、代わりにソボレフ空間を使用する方が有益な場合があります。

パラメトリック連続性（Ck）と幾何学的連続性（Gn ^）という用語は、ブライアン・バースキーによって導入され、曲線の滑らかさは、パラメータが曲線をトレースする速度の制限を取り除くこと^によって測定できることを示しました。^{[4] [5] [6]}

パラメトリック連続性( C ^k ) は、パラメトリック曲線に適用される概念で、曲線に沿った距離に対するパラメータ値の滑らかさを表します。が存在し、 上で連続している場合、(パラメトリック) 曲線はC ^kクラスであるとされます。ここで、端点 および での導関数は、片側導関数( では右から、 では左から)とされます。 ${\displaystyle s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

この概念の実際の応用として、物体の運動を時間パラメータで表す曲線は、C ¹連続性を持ち、その 1 次導関数が微分可能である必要があります。これは、物体が有限の加速度を持つためです。映画製作中のカメラの軌道のような、より滑らかな運動には、より高次のパラメトリック連続性が必要です。

パラメトリック連続性の様々な順序は次のように記述できる。^[7]

• ${\displaystyle C^{0}}$: ゼロ次導関数は連続している（曲線は連続している）
• ${\displaystyle C^{1}}$: 0次導関数と1次導関数は連続である
• ${\displaystyle C^{2}}$: 0次、1次、2次の導関数は連続である
• ${\displaystyle C^{n}}$: 0次から-次の導関数は連続である${\displaystyle n}$

曲線または表面は連続性を持つと説明でき、滑らかさの尺度は増加します。曲線上の点の両側の線分を考えてみましょう。 ${\displaystyle G^{n}}$${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle G^{0}}$: 曲線は結合点で接触します。
• ${\displaystyle G^{1}}$: 曲線は結合点でも共通の接線方向を共有します。
• ${\displaystyle G^{2}}$: 曲線は結合点において共通の曲率中心も共有します。

一般に、曲線が（パラメトリック）連続性を持つように再パラメータ化できる場合、連続性が存在します。^{[8] [9]}曲線の再パラメータ化は、元の曲線と幾何学的に同一であり、パラメータのみが影響を受けます。 ${\displaystyle G^{n}}$${\displaystyle C^{n}}$

同様に、2 つのベクトル関数とが、ベータ制約と呼ばれる方程式を満たす場合、それらの関数が出会う点で連続性を持ちます。たとえば、連続性のベータ制約は次のとおりです。 ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle f(1)=g(0)}$${\displaystyle G^{n}}$${\displaystyle G^{4}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(1)}(0)&=\beta _{1}f^{(1)}(1)\\g^{(2)}(0)&=\beta _{1}^{2}f^{(2)}(1)+\beta _{2}f^{(1)}(1)\\g^{(3)}(0)&=\beta _{1}^{3}f^{(3)}(1)+3\beta _{1}\beta _{2}f^{(2)}(1)+\beta _{3}f^{(1)}(1)\\g^{(4)}(0)&=\beta _{1}^{4}f^{(4)}(1)+6\beta _{1}^{2}\beta _{2}f^{(3)}(1)+(4\beta _{1}\beta _{3}+3\beta _{2}^{2})f^{(2)}(1)+\beta _{4}f^{(1)}(1)\\\end{aligned}}}$

ここで、、、は任意ですが、正になるよう制約されます。^{[8] ：65} の場合、これは、 スカラーに対して、および に簡約されます（つまり、2つのベクトルの方向は等しいが、大きさは必ずしも等しくない）。 ${\displaystyle \beta _{2}}$${\displaystyle \beta _{3}}$${\displaystyle \beta _{4}}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle f'(1)\neq 0}$${\displaystyle f'(1)=kg'(0)}$${\displaystyle k>0}$

曲線が滑らかに見えるためには連続性が必要であることは明らかですが、建築やスポーツカーのデザインで目指されるような優れた美観を実現するには、より高いレベルの幾何学的連続性が求められます。たとえば、車体に連続性がない限り、車体の反射は滑らかに見えません。^[要出典]${\displaystyle G^{1}}$${\displaystyle G^{2}}$

角が 90 度の円弧を持つ角丸長方形には連続性がありますが、連続性はありません。同じことが、角に球の八分円、辺に 1/4 円柱を持つ角丸立方体にも当てはまります。連続性のある編集可能な曲線が必要な場合は、通常、 3 次スプラインが選択されます。これらの曲線は、工業デザインで頻繁に使用されます。 ${\displaystyle G^{1}}$${\displaystyle G^{2}}$${\displaystyle G^{2}}$

すべての解析関数は、それが解析的である集合上で「滑らか」 (つまり、すべての導関数が連続) であるが、 (前述の)バンプ関数などの例は、実数上の関数については逆が当てはまらないことを示している。つまり、解析的ではない滑らかな実関数が存在する。滑らかだがどの点でも解析的ではない関数の簡単な例は、フーリエ級数によって作ることができる。別の例はファビウス関数である。このような関数は例外であって規則ではないように思えるかもしれないが、解析関数は滑らかな関数の中に非常に薄く散在していることが判明している。より厳密に言えば、解析関数は滑らかな関数のわずかな部分集合を形成する。さらに、実数直線のすべての開部分集合Aに対して、 A上でのみ解析的であり、他の場所では解析的ではない滑らかな関数が存在する^{[引用が必要]}。

この状況を、実数直線上の超越数の遍在性と比較すると便利です。実数直線と滑らかな関数の集合の両方において、最初に思い浮かぶ例 (代数/有理数と解析関数) は、大多数の場合よりもはるかに適切に動作します。超越数と、どこにも存在しない解析関数は、完全な測定範囲を持ちます (それらの補数はわずかです)。

このように説明した状況は、複素微分可能関数とは著しく対照的です。複素関数が開集合上で 1 回だけ微分可能であれば、その集合上では無限に微分可能かつ解析的になります^[要出典]。

与えられた閉じた台を持つ滑らかな関数は、滑らかな1の分割（1の分割と位相用語集を参照）の構築に使用されます。これらは、例えば、リーマン計量が局所的な存在から始めて大域的に定義できることを示すなど、滑らかな多様体の研究に不可欠です。簡単な例は、実数直線上のバンプ関数、つまり区間[ a , b ]の 外側で値0を取り、$${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$$

線上の重なり合う区間がいくつか与えられた場合、それぞれの区間と半無限区間にバンプ関数を構築して線全体をカバーすることができ、関数の合計は常に 1 になります。 ${\displaystyle (-\infty ,c]}$${\displaystyle [d,+\infty )}$

先ほど述べたことから、単位分割は正則関数には適用されません。正則関数の存在と解析接続に対する異なる動作は、層理論の根源の 1 つです。対照的に、滑らかな関数の層は、位相情報をあまり持ちません。

次元の滑らかな多様体 とアトラスが与えられたとき、すべての に対してとなるチャートが存在し 、がの近傍から までの滑らかな関数であるとき、マップは上で滑らかです(指定された次数までのすべての偏導関数は連続です)。チャート間の遷移関数の滑らかさの要件により、1 つのチャートで の近くで が滑らかであれば、他のどのチャートでも の近くで が滑らかになることが保証されるため、滑らかさはを含むアトラスの任意のチャートに関して確認できます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$${\displaystyle p\in U,}$${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi (p)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

が次元多様体 から 次元多様体への写像である場合、が滑らかであるのは、任意の に対してを含むチャートとを含むチャートが存在し、が から への滑らかな関数である場合である。${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p\in M,}$${\displaystyle (U,\phi )}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle (V,\psi )}$${\displaystyle F(p)}$${\displaystyle F(U)\subset V,}$${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

多様体間の滑らかな写像は、接空間間の線型写像を誘導します。 に対して、各点において、プッシュフォワード（または微分）は、の接ベクトルを の接ベクトルに写します。また、接バンドルのレベルでは、プッシュフォワードはベクトルバンドル準同型です。プッシュフォワードの双対はプルバック で、上の共ベクトルを 上の共ベクトルに、-形式を -形式に「引き戻す」ものです。このように、多様体間の滑らかな関数は、ベクトル場や微分形式などのローカルデータを、ある多様体から別の多様体へ、または積分などの計算がよく理解されているユークリッド空間まで転送できます。 ${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F(p)}$${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$${\displaystyle F_{*}:TM\to TN.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).}$

滑らかな関数に沿った逆像とプッシュフォワードは、一般に、追加の仮定がなければ多様体ではありません。正則点の逆像（つまり、逆像上で微分が消えない場合）は多様体です。これが逆像定理です。同様に、埋め込みに沿ったプッシュフォワードも多様体です。^[10]

多様体の任意の部分集合に対しては、滑らかな写像という概念が存在します。 が関数であり、その定義域と値域がそれぞれ多様体との部分集合である場合、 は滑らかであるとは、すべての に対してとなる開集合と、すべての に対してとなる滑らかな関数が存在する場合を指します。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\subseteq M}$${\displaystyle Y\subseteq N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle U\subseteq M}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle F:U\to N}$${\displaystyle F(p)=f(p)}$${\displaystyle p\in U\cap X.}$

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