概要 ポアンカレ群は、ミンコフスキー空間 における、事象 間の時空間隔 を変えないすべての座標変換 から構成されます。例えば、2つの事象と、それらの事象の間を移動するのに要した経路を含めて、すべてが2時間遅れたとしても、あなたが持ち歩いていたストップウォッチで計測した事象間の時間間隔は同じままです。あるいは、すべてが西に5キロメートル移動したり、右に60度回転したりしても、時間間隔に変化は見られません。実際、物体の固有長 も、このような移動の影響を受けません。
こうした変換には、合計で10の自由度 があります。これらは、時間または空間を通じた平行移動（4自由度、各次元に1つずつ）、平面による鏡映（3自由度、この平面の向きの自由度）、または3つの空間方向のいずれかにおける「ブースト 」（3自由度）と考えることができます。変換の合成はポアンカレ群の操作であり、回転は 偶数個の鏡映の合成として生成されます。
古典物理学 において、ガリレオ群は 絶対時間と絶対空間 に作用する、これに相当する10パラメータ群である。ブーストの代わりに、ガリレオ群は共動座標系を関連付けるせん断写像を特徴とする。
一般相対性理論、すなわち 重力 の影響下では、ポアンカレ対称性は局所的にのみ適用されます。一般相対性理論における対称性の扱いは、本稿の範囲外です。
ポアンカレ群はミンコフスキー時空等長変換 の群です。これは10次元の非コンパクト リー群 です。4次元の時空 並進 アーベル群 は正規部分群 であり、6次元のローレンツ群 も部分群であり、原点の安定化群です。ポアンカレ群自体は、すべての並進と ローレンツ変換を 含むアフィン群 の最小部分群です。より正確には、時空並進群とローレンツ群の半直積 です。
R 1 、 3 ⋊ O （ 1 、 3 ） 、 {\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,} グループ乗算
（ α 、 f ） ⋅ （ β 、 g ） = （ α + f ⋅ β 、 f ⋅ g ） {\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)} 6 ] 別の言い方をすれば、ポアンカレ群はローレンツ群 をベクトル表現で 拡張した群 であり、非公式には非斉次ローレンツ群 と呼ばれることもある。また、ド・ジッター半径 が無限大に近づくにつれて、ド・ジッター群SO(4, 1) ~ Sp(2, 2)の 群縮 約としても得られる。
その正のエネルギーを持つユニタリー既約表現は、 質量 （非負の数）とスピン （整数 または半整数）によってインデックス付けされ、量子力学 の粒子に関連付けられています（ウィグナーの分類を 参照）。
エアランゲン計画 に従って、ミンコフスキー空間の幾何学はポアンカレ群によって定義されます。ミンコフスキー空間は、この群の均質空間 とみなされます。
量子場理論 において、ポアンカレ群の普遍被覆
R 1 、 3 ⋊ SL （ 2 、 C ） 、 {\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),} 二重カバーで識別できる
R 1 、 3 ⋊ スピン （ 1 、 3 ） 、 {\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),} はより重要です。なぜなら、それで （ 1 、 3 ） {\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)} スピン1/2の場、つまりフェルミオン を記述することはできません。SL （ 2 、 C ） {\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )} 2 × 2 2×2 ローレンツ符号スピン群と同型な行列 スピン （ 1 、 3 ） {\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}
ポアンカレ代数 はポアンカレ群のリー代数 です。これはローレンツ群のリー代数のリー代数拡張です。より具体的には、適切な（ 検出 Λ = 1 {\textstyle \det \Lambda =1} 正時性 （Λ 0 0 ≥ 1 \textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1} 恒等成分 ）、S O （ 1 、 3 ） + ↑ $\textstyle \mathrm {SO} (1,3)_{+}^{\uparrow }}$ べき乗によって提供される。 exp （ 私 1 μ P μ ） exp （ 私 2 ω μ ν M μ ν ） {\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)} リー代数 の。成分形式では、ポアンカレ代数は交換関係によって与えられる。[ 7 ] [ 8 ]
[ P μ 、 P ν ] = 0 1 私 [ M μ ν 、 P ρ ] = η μ ρ P ν − η ν ρ P μ 1 私 [ M μ ν 、 M ρ σ ] = η μ ρ M ν σ − η μ σ M ν ρ − η ν ρ M μ σ + η ν σ M μ ρ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{aligned}}}
どこP {\displaystyle P} 生成器 です。M {\displaystyle M} η {\displaystyle \eta } （ + 、 − 、 − 、 − ） {\displaystyle (+,-,-,-)} 符号規約を 参照）。
ポアンカレ代数の交換関係構造を示す図。図の辺は、生成元と非零の交換子を結んでいる。 一番下の交換関係は、回転、J 私 = 1 2 ϵ 私 m n M m n {\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}} K 私 = M 私 0 {\textstyle K_{i}=M_{i0}}
[ J m 、 P n ] = 私 ϵ m n k P k 、 [ J 私 、 P 0 ] = 0 、 [ K 私 、 P k ] = 私 η 私 k P 0 、 [ K 私 、 P 0 ] = − 私 P 私 、 [ J m 、 J n ] = 私 ϵ m n k J k 、 [ J m 、 K n ] = 私 ϵ m n k K k 、 [ K m 、 K n ] = − 私 ϵ m n k J k 、 {\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}} ここで、2 つのブーストの最終的な交換子はしばしば「ウィグナー回転」と呼ばれます。[ J m + 私 K m 、 J n − 私 K n ] = 0 {\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0} s u （ 2 ） ⊕ s u （ 2 ） {\textstyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)} そして、それに関連する表現 の効率的な処理。物理的パラメータの観点からは、
[ H 、 p 私 ] = 0 [ H 、 L 私 ] = 0 [ H 、 K 私 ] = 私 ℏ c p 私 [ p 私 、 p j ] = 0 [ p 私 、 L j ] = 私 ℏ ϵ 私 j k p k [ p 私 、 K j ] = 私 ℏ c H δ 私 j [ L 私 、 L j ] = 私 ℏ ϵ 私 j k L k [ L 私 、 K j ] = 私 ℏ ϵ 私 j k K k [ K 私 、 K j ] = − 私 ℏ ϵ 私 j k L k {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}} この代数のカシミール不変量は次の通りである。 P μ P μ {\textstyle P_{\mu }P^{\mu }} W μ W μ {\textstyle W_{\mu }W^{\mu }} W μ {\textstyle W_{\mu }} はパウリ・ルバンスキー擬似ベクトル であり、群の表現のラベルとして機能します。
ポアンカレ群は、あらゆる相対論的場の理論 における完全な対称群である。その結果、すべての素粒子は この群の表現 に属する。これらは通常、各粒子の4元運動量の2 乗（すなわち質量の2乗）と固有量子数 によって指定される。J P C {\textstyle J^{PC}} J {\displaystyle J} はスピン 量子数です。P {\displaystyle P} C {\displaystyle C} 電荷共役 量子数です。実際には、多くの量子場理論 では電荷共役とパリティが破られています。このような場合、P {\displaystyle P} C {\displaystyle C} 対称性は 量子場理論において不変で あるため、与えられたものから時間反転量子数を 構築することができる。
位相空間 として、この群は4つの連結成分を持つ。すなわち、恒等成分、時間反転成分、空間反転成分、および時間反転と空間反転の両方を持つ成分である。[ 9 ]
その他の寸法 上記の定義は、任意の次元に容易に一般化できる。d次元
IO （ 1 、 d − 1 ） := R 1 、 d − 1 ⋊ O （ 1 、 d − 1 ） {\displaystyle \operatorname {IO} (1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O} (1,d-1)} 同様の乗算
（ α 、 f ） ⋅ （ β 、 g ） = （ α + f ⋅ β 、 f ⋅ g ） {\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)} 6 ] リー代数はその形式を維持し、添え字μ とνは 0 からd -1i K i より
注記 ↑ Poincaré、Henri (1905-12-14)、「Sur la dynamique de l'électron」 、Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 、21 : 129–176 、Bibcode : 1906RCMP...21..129P、doi : 10.1007/bf03013466、hdl ：2027/uiug.30112063899089、S2CID 120211823 Wikisourceの 翻訳：電子のダイナミクスについて ）。この論文で定義された群は、現在ではスカラー乗数を持つ同次ローレンツ群として記述される。↑ Minkowski, Hermann、 「Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern」 、 Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学 講座 : 53–111 運動する物体における電磁過程の基本方程式 ）↑ ミンコフスキー、ヘルマン、 「Raum und Zeit」 、 Physikalische Zeitschrift 、 10 : 75– 88 ↑ 「対称性と保存則の概観：ポアンカレについて」 （PDF） 。frankwilczek.com 。 2021 年2月14日 取得 。 ↑ Barnett, Stephen M (2011-06-01). "光学角運動量の6つの成分について" . Journal of Optics . 13 (6) 064010. Bibcode : 2011JOpt...13f4010B . doi : 10.1088/2040-8978/13/6/064010 . ISSN 2040-8978 . S2CID 55243365 . 1 2 オブラク、ブラゴイェ (2017-08-01). BMS 粒子の三次元構造 . Springer. p. 80. ISBN 978-3-319-61878-4 。↑ NN Bogolubov (1989). 量子場理論の一般原理 （第2 版）. Springer. p. 272. ISBN 0-7923-0540-X 。↑ T. Ohlsson (2011).相対論的量子物理学：高度 な 量子力学から入門的な量子場理論まで 。ケンブリッジ大学出版局。p. 10。ISBN 978-1-13950-4324 。↑ 「トピック：ポアンカレ群」 。www.phy.olemiss.edu 。 2021年7月18日 取得 。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c467531b0b1bec3124586a9ad9bcd62a7b16422)
![{\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd79be626e42dc8b5e015a4467278c2ffa4e1bf)
![{\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50aaf1fcdbd0eb83c8bec785960878156d3c20c9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9d399d3cce4a3fa5ed6480aaaeb54e9f2807a9)
