フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス

フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス
フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス
生まれる	( 1849-10-26 )1849年10月26日 シャルロッテンブルク、ベルリン、プロイセン王国
死亡	1917年8月3日(1917-08-03)（67歳） ベルリン、プロイセン王国、ドイツ帝国
国籍	ドイツ語
母校	ゲッティンゲン大学 ベルリン大学
知られている	微分方程式 群論 ケーリー・ハミルトン定理 フロベニウス法 フロベニウス行列 フロベニウス内積
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	ベルリン大学 ETH チューリッヒ
博士課程の指導教員	カール・ヴァイエルシュトラス エルンスト・クンマー
博士課程の学生	リチャード・ フックス エドモンド・ランドー イッサイ ・シュール コンラート ・クノップ ウォルター ・シュニー

フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス（ Ferdinand Georg Frobenius、1849年10月26日 - 1917年8月3日）はドイツの 数学者であり、楕円関数の理論、微分方程式、数論、群論への貢献で最もよく知られている。楕円関数を支配するフロベニウス-スティッケルベルガーの公式として知られる有名な行列式恒等式と、双二次形式の理論の開発で知られている。また、関数の有理近似（今日ではパデ近似として知られている）の概念を初めて導入し、ケーリー-ハミルトンの定理を初めて完全に証明した人物でもある。また、フロベニウス多様体として知られる現代の数理物理学における特定の微分幾何学的対象にも彼の名前が付けられている。

フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスは、1849年10月26日、ベルリン郊外のシャルロッテンブルクで、^{プロテスタント}の牧師クリスティアン・フェルディナント・フロベニウスとクリスティーネ・エリザベート・フリードリヒの息子として生まれた。1860年、11歳になる直前にヨアヒムスタール・ギムナジウムに入学した。^[2] 1867年、卒業後、ゲッティンゲン大学に進学し、大学での勉強を始めたが、1学期だけ勉強した後、ベルリンに戻り、クロネッカー、クンマー、カール・ヴァイエルシュトラスの講義に出席した。1870年、ヴァイエルシュトラスの指導のもと、優秀な成績で博士号を取得した。論文は微分方程式の解法に関するものであった。 1874年、ヨアヒムスタール・ギムナジウムで中等教育を、次いでゾフィー高校で教鞭を執った後、フロベニウスはベルリン大学の臨時数学教授に任命された。^[2]フロベニウスはベルリンに1年滞在した後、チューリッヒのアイデンヘッシッシェ工科大学の教授に就任した。1875年から1892年までの17年間、フロベニウスはチューリッヒで働いた。そこで彼は結婚し、家族を育て、数学のさまざまな分野で多くの重要な研究を行った。1891年12月末にクロネッカーが死去したため、ベルリンでの彼の教授職は空席となった。ヴァイエルシュトラスは、フロベニウスがベルリンを数学の最前線に留めておくのに適任であると固く信じ、その大きな影響力を使ってフロベニウスを任命した。 1893年に彼はベルリンに戻り、プロイセン科学アカデミーに選出された。

群論はフロベニウスのキャリア後半における主要な関心事の一つであった。彼の最初の貢献の一つは抽象群に対するシロー定理の証明であった。それ以前の証明は順列群に対するものであった。彼が証明した最初のシロー定理（シロー群の存在に関するもの）は、今日よく使われるものの1つである。

• フロベニウスはまた、次の基本定理も証明した。正の整数n が有限群Gの位数| G | を割り切る場合、 Gにおける方程式x ⁿ  = 1の解の数は、ある正の整数 kに対してknに等しい。また、彼は次の問題も提起した。上記の定理でk  = 1 の場合、方程式x ⁿ  = 1 のGの解は部分群を形成する。何年も前に、この問題は解ける群について解決された。^{[3] 1991年に}有限単純群の分類が行われた後になって初めて、この問題は一般に解決された。

さらに重要なのは、群の構造を研究するための基本的なツールである群指標と群表現の理論を彼が創始したことです 。この研究はフロベニウスの相互性の概念と、現在フロベニウス群と呼ばれているものの定義につながりました。群Gは、 H  <  Gの部分群が存在し、

${\displaystyle H\cap H^{x}=\{1\}}$すべてに対して。${\displaystyle x\in GH}$

その場合、セット

${\displaystyle N=G\,-\!\!\bigcup _{x\in GH}\!\!H^{x}}$

はGの単位元とともに冪零な部分群を形成し、これは1959 年にジョン・G・トンプソンによって示されました。 ^[4]この定理の既知の証明はすべて指標を利用しています。指標に関する最初の論文 (1896) で、フロベニウスはすべての奇数素数pに対して位数 (1/2)( p ³  − p) の群の指標表を作成しました(この群は p  > 3 であれば単純です)。彼はまた、対称群と交代群の表現論に基本的な貢献をしました。 ${\displaystyle PSL(2,p)}$

フロベニウスは、 Q上のガロア群で素数を共役類に変換する標準的な方法を導入しました。具体的には、K / Q が有限ガロア拡大である場合、 Kで分岐しない各（正の）素数pと、 K内のp上にある各素イデアルPに対して、 Kのすべての整数xに対して条件 g ( x ) = x p (mod P )を満たす Gal( K / Q )の唯一の元 g^が 存在 します。 p上でP を変化させると、 gは共役に変わります（そして g のすべての共役はこのように発生します）。そのため、ガロア群におけるgの共役類はpに標準的に関連付けられます。これはpのフロベニウス共役類と呼ばれ、共役類の任意の元はpのフロベニウス元と呼ばれます。K をm番目の円分体とすると、そのQ上のガロア群はm を法とする単位であり（したがって可換であり、共役類は元になる）、m を割り切れないpに対して、ガロア群のフロベニウス類はm を 法とする pである。この観点から、Q上のガロア群（または、より一般的には、任意の数体上のガロア群）におけるフロベニウス共役類の分布は、等差数列における素数に関するディリクレの古典的な結果を一般化するものである。Q の無限次拡大のガロア群の研究は、このフロベニウス元の構成に大きく依存しており、これはある意味で、詳細な研究にアクセスできる元の稠密な部分集合を提供する。

• フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスにちなんで名付けられたものの一覧

• フロベニウス、フェルディナンド ゲオルグ (1968)、セール、J.-P. (編)、ゲザメルテ・アブハンドルンゲン。 Bände I、II、III、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-04120-7、MR  0235974
• シリーズ無限表現ごとの機能分析(ラテン語)、学位論文、1870 年
• Über die Entwicklung Analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (ドイツ語)、 Journal für die reine und angewandte Mathematik 73、1–30 (1871)
• Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen、関数係数係数(ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 74、254–272 (1872)
• Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der lineen Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 76、236–270 (1873)
• Über die Integration der lineen Differentialgleichungen durch Reihen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 76、214–235 (1873)
• Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 77、245–257 (1874)
• Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der lineen Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 78、93–96 (1874)
• Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 79、185–247 (1875)
• Über algebraisch integrirbare Lineare Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 80、183–193 (1875)
• Über das Pfaffsche 問題(ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 82、230–315 (1875)
• Über die regulären Integrale der lineen Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 80、317–333 (1875)
• Note sur la théorie des formesquadratiques à un nombre quelconque de variables (フランス語)、 Comptes rendus de l'Académie des Sciences Paris 85、131–133 (1877)
• Zur Theorie der elliptischen Functionen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 83、175–179 (1877)
• Über adjungirte lineale Differentialausdrücke (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 85、185–213 (1878)
• Über lineare Substitutionen und bilineare Formen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 84、1–63 (1878)
• Über homogene totale Differentialgleichungen (ドイツ語)、Journal für die reine und angewandte Mathematik 86、1–19 (1879)
• Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen (ドイツ語)、Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 26、456—477 (1912)

• カーティス、チャールズ W. (2003)、「表現論の先駆者：フロベニウス、バーンサイド、シュア、ブラウアー、数学の歴史」、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2677-5、MR  1715145レビュー

ウィキメディア・コモンズには、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスに関連するメディアがあります。

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「フェルディナント ゲオルク フロベニウス」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• G. フロベニウス、「超複素量の理論」（英訳）