部分群の格子

数学において、群の部分群の格子は、その要素がの部分群であり、部分順序がの包含となる格子です。この格子では、 2 つの部分群の結合はそれらの和によって生成される部分群であり、2 つの部分群の交わりはそれらの共通部分です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

二面体群 Dih 4_には、それ自身と自明な部分群を含めて 10 個の部分群があります。8 個の群元のうち 5 個は位数2 の部分群を生成し、他の 2 個の非単位元は両方とも位数 4 の同じ巡回部分群を生成します。さらに、位数2 の要素のペアによって生成されるZ ₂ × Z ₂形式の部分群が 2 つあります。これらの 10 個の部分群によって形成される格子を図に示します。

この例は、グループのすべての部分群の格子が一般にモジュラー格子ではないことも示しています。実際、この特定の格子には、禁止されている「五角形」N _{5 が}部分格子として含まれています。

A ≤ Cを満たす群の任意のA、B、Cサブグループ（A はCサブグループ）に対して、 AB ∩ C = A（B ∩ C）が成り立ちます。ここでの乗算はサブグループの積です。この特性は、群のモジュラー特性（Aschbacher 2000）または（Dedekintの）モジュラー法則（Robinson 1996、Cohn 2000）と呼ばれています。2 つの正規サブグループの場合、積は実際には2 つを含む最小のサブグループであるため、正規サブグループはモジュラー格子を形成します。

格子定理は、群の部分群の格子とその商の格子の間にガロア接続を確立します。

ザッセンハウスの補題は、部分群の格子における商と積の特定の組み合わせの間に 同型性を与えます。

群は代数構造であるため、一般定理 (Burris & Sankappanavar 2011, p. 33) により、その部分群の格子は代数格子になります。これは、群が完全かつコンパクトに生成されることを意味します。ただし、一般に、すべての格子が何らかの群の部分群格子の部分格子と同型であるという意味で、部分群の格子の可能な部分格子に制限はありません。さらに、すべての有限格子は、何らかの有限群の部分群格子の部分格子と同型です(Schmidt 1994, p. 9)。すべての有限分配格子は、何らかの群の正規部分群格子とも同型です (Silcock 1977)。

特定の特性を持つサブグループは格子を形成しますが、他の特性を持つサブグループは格子を形成しません。

• 正規部分群は常にモジュラー格子を形成します。実際、格子がモジュラーであることを保証する本質的な性質は、部分群が互いに可換であること、つまり、それらが準正規部分群であることです。
• べき零正規部分群は格子を形成し、これはフィッティングの定理の内容(の一部)となる。
• 群のクラスは、同型、非正規部分群、非正規部分群の積に対して閉じている場合、フィッティングクラスと呼ばれます。任意のフィッティングクラスFに対して、非正規F部分群と正規F部分群の両方が格子を形成します。これは、 F を冪零群のクラスとして上記を一般化したもの、およびF を可解群のクラスとして別の例を示します。
• 中心サブグループは格子を形成します。

しかし、有限部分群も捩れ部分群も格子を形成しません。たとえば、自由積は2 つの 捩れ元によって生成されますが、無限であり、無限順序の元を含みます。 ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} *\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

正規部分群がモジュラー格子を形成するという事実は、より一般的な結果、すなわち任意のマルツェフ多様体（その群はその一例です）において、合同格子がモジュラーである、という結果の特殊なケースです（Kearnes & Kiss 2013）。

部分群の格子に関する格子理論的情報は、元の群に関する情報を推測するために時々使用できます。このアイデアは、 Øystein Ore  (1937, 1938) の研究に遡ります。たとえば、Ore が証明したように、群が局所巡回的である ためには、その部分群の格子が分配的である必要があります。さらに、格子が昇順連鎖条件を満たす場合、その群は巡回的です。

部分群の格子が補格子である群は補群(Zacher 1953)と呼ばれ、部分群の格子がモジュラー格子である群は岩沢群またはモジュラー群 (Iwasawa 1941)と呼ばれます。このタイプの格子理論的特徴付けは、可解群と完全群に対しても存在します(Suzuki 1951)。

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• 部分群の格子に関する PlanetMath のエントリ
• 例: 対称群 S4 の部分群の格子