線型群

数学において、行列群は、行列乗算の演算を伴う、指定された体K上の可逆行列からなる群 Gです。線型群は、行列群と同型である群です（つまり、K上の忠実な有限次元表現を許容します）。

有限群はどれも線形です。なぜなら、ケーリーの定理を使用して、置換行列によって実現できるからです。無限群の中でも、線形群は興味深く扱いやすいクラスを形成します。線形でない群の例には、「大きすぎる」群 (たとえば、無限集合の置換群) や、何らかの異常な動作を示す群 (たとえば、有限生成無限捩れ群) などがあります。

群G が線型であるとは、体K、整数 d、およびGから一般線型群GL _d ( K ) ( K上の次元dの忠実な線型表現)への入射準 同型が存在する場合を指します。必要な場合は、体と次元を指定して、 Gが K 上の次数 d の線型であると述べることができます。基本的なインスタンスは、線型群のサブグループとして定義される群です。たとえば、 次のようになります。

1. 群GL _n ( K ) 自体。
2. 特殊線型群SL _n ( K ) （行列式が 1である行列の部分群）
3. 可逆な上三角行列（または下三角行列）の群
4. g _{i が}集合Iによってインデックス付けされたGL _n ( K )内の要素の集合である場合、g _iによって生成される部分群は線型群である。

リー群の研究では、複素数体上で忠実に表現できるリー群にのみ注目することが教育上都合が良い場合がある。（著者によっては、群をGL _n ( C )の閉じた部分群として表現することを要求する。）このアプローチに従う書籍には、Hall (2015) ^[1]やRossmann (2002) ^{[2]などがある。}

いわゆる古典群は、上記の例 1 と 2 を一般化したものです。これらは線型代数群、つまり有限個の方程式で定義されるGL _nの部分群として生じます。基本的な例としては、直交群、ユニタリ群、シンプレクティック群がありますが、除算代数を使用してさらに多くの群を構築できます(たとえば、四元数代数の単位群は古典群です)。これらの群に関連付けられた射影群も線型ですが、それほど明白ではないことに注意してください。たとえば、群 PSL ₂ ( R ) は 2 × 2 行列の群ではありませんが、一般的な場合に使用できる 3 × 3 行列としての忠実な表現 (随伴表現) があります。

多くのリー群は線形ですが、すべてが線形というわけではありません。SL ₂ ( R )の普遍被覆は線形ではなく、多くの可解群、たとえばハイゼンベルク群の中心巡回部分群による商も線形ではありません。

古典的なリー群の離散部分群（例えば、格子群や薄い群）も興味深い線型群の例です。

n位数の有限群G は、任意の体K上で高々 n次まで線型である。この定理はケーリーの定理と呼ばれることもあり、左（または右）乗法による群環K [ G ]へのGの作用が線型かつ忠実であるという事実から単純に導かれる。リー型（有限体上の古典群）の有限群は有限単純群の重要な族であり、有限単純群の分類でほとんどのスロットを占める。

上記の例 4 は一般的なため、明確なクラスを定義することはできません (すべての線型群が含まれます) が、有限のインデックス セットI、つまり有限生成群に制限すると、多くの興味深い例を構築できます。たとえば、次のようになります。

• ピンポン補題は、自由群である線型群の多くの例を構築するために使用できます（たとえば、によって生成される群は自由です）。${\displaystyle {\bigl (}{}_{2}^{1}\,_{1}^{0}{\bigr )},\,{\bigl (}{}_{0}^{1}\,_{1}^{2}{\bigr )}}$
• 算術群は有限生成であることが知られています。一方、与えられた算術群の生成元の明示的な集合を見つけることは難しい問題です。
• 組紐群（有限に提示された群として定義される）は、生成元が明示的な行列によって作用する有限次元複素ベクトル空間上で忠実な線型表現を持つ。 ^{[3]種数2の曲面の}写像類群も線型であることが知られている。^[4]

場合によっては、多様体の基本群は、幾何学的構造から得られる表現を使用して線型であることが示されます。たとえば、種数2 以上のすべての閉曲面は双曲リーマン面です。均一化定理により、双曲平面の等長変換群における基本群の表現が生成されます。これはPSL ₂ ( R )と同型であり、これにより基本群がフックス群として実現されます。この構成の一般化は、多様体上の ( G、X ) 構造の概念によって与えられます。

もう一つの例はザイフェルト多様体の基本群である。一方、3次元多様体の全ての基本群が線形であるかどうかは分かっていない。^[5]

線型群は膨大な例のクラスですが、すべての無限群の中で、線型群は多くの注目すべき特性によって区別されます。有限生成線型群には、次の特性があります。

• それらは残差的に有限である。
• バーンサイドの定理：特性0の体上で線形である有限指数の捩れ群は有限でなければならない。 ^[6]
• シューアの定理：捩れ線型群は局所有限である。特に、有限生成であれば有限である。^[7]
• セルバーグの補題：任意の有限生成線型群は有限指数の捩れのない部分群を含む。^[8]

ティッツの代替案は、線型群が非可換自由群を含むか、または実質的に解ける（つまり、有限指数の解ける群を含む）ことを述べています。これには、たとえば次のような多くの結果が伴います。

• 有限生成線型群のデーン関数は多項式か指数関数のいずれかしか取り得ない。
• 従属線型群は事実上解ける群であり、特に初等従属群は解ける群である。
• フォン・ノイマン予想は線型群に対しては成り立つ。

非線形群の無限生成例を挙げることは難しくありません。例えば、無限アーベル群 ( Z /2 Z ) ^N x ( Z /3 Z ) ^{N は}線形ではありません。^{[9]無限集合上の}対称群はこの群を含むため、これも線形ではありません。有限生成例を見つけるのはより微妙で、通常は上記に挙げた特性のいずれかを使用する必要があります。

• 有限線型群は残差有限であるため、単純かつ無限であることはできません。したがって、有限生成無限単純群、たとえばトンプソン群 Fや、ヒグマン群を最大固有正規部分群で割った商は線型ではありません。
• 上で述べたTitsの代替案の帰結として、Grigorchukのグループのような中間成長のグループは線形ではありません。
• 再びティッツの代替案によれば、上で述べたように、フォン・ノイマン予想に対するすべての反例は線形ではありません。これには、トンプソンの群 Fとタルスキ・モンスター群が含まれます。
• バーンサイドの定理によれば、タルスキーモンスター群のような無限の有限生成捩れ群は線形にはなり得ません。
• 線形ではない双曲群の例としては、リー群Sp( n ,1)の格子の商として得られるものがある。 ^[10]
• 自由群の外部自己同型群 Out (Fn ₎はnが4以上の場合には線形ではないことが知られている^。[11]
• 編組群の場合とは対照的に、種数 > 2 の曲面の写像類群が線形であるかどうかは未解決の問題です。

グループが線形であると確立されると、そのグループに対する「最適な」忠実な線形表現、たとえば可能な限り低い次元のものを見つけようとしたり、そのすべての線形表現 (忠実でない表現も含む) を分類しようとしたりすることが興味深いです。これらの質問は表現論の対象です。理論の主要な部分は次のとおりです。

• 有限群の表現論;
• リー群、より一般的には線型代数群の表現理論。

無限有限生成群の表現論は一般に謎に包まれています。この場合の関心対象は群の性格多様体であり、これは自由群、曲面群、より一般的にはリー群の格子（例えば、マルグリスの超剛性定理やその他の剛性結果を通じて）など、ごく少数のケースでのみよく理解されています。

• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666。
• ロスマン、ウルフ（2002）、リー群：線型群による入門、オックスフォード大学院数学テキスト、オックスフォード大学出版局、ISBN 9780198596837。
• Suprnenko, DA (1976).行列群. 数学モノグラフの翻訳. 第45巻.アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1595-4。
• ウェールフリッツ、BAF (1973)。無限の線形群。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 76.シュプリンガー・フェルラーク。