カテゴリー（数学）

数学において、圏（具体的な圏と区別するために抽象圏と呼ばれることもある）とは、「矢印」によって結び付けられた「対象」の集合である。圏には、矢印を結合的に合成できることと、各対象に恒等矢印が存在することという2つの基本的な性質がある。簡単な例として、集合の圏が挙げられる。集合の対象は集合であり、矢印は関数である。

圏論は、対象や射が何を表しているかに関わらず、数学のすべてを圏という概念で一般化しようとする数学の一分野です。現代数学のほぼすべての分野は圏という概念で記述することができ、そうすることで、一見異なる数学分野の間に深い洞察や類似点が明らかになることがよくあります。このように、圏論は集合論やその他の公理的基礎に代わる数学の基礎を提供します。 一般に、対象や射はあらゆる種類の抽象的な実体であり、圏の概念は数学的実体とその関係を記述するための基本的かつ抽象的な方法を提供します。

圏論は数学を形式化するだけでなく、プログラミング言語の意味論など、コンピュータ科学における他の多くのシステムを形式化するためにも用いられている。

2つの圏は、対象の集合、矢印の集合、および任意の2つの矢印を構成する結合法が同じであれば、同じであるとみなされます。圏論においては、2つの異なる圏が厳密に同じ構造を持っていなくても、「同等」とみなされることがあります。それぞれの構造と互換性のある2つの圏間の写像は、関手と呼ばれます。

よく知られている圏は、太字または斜体の短い大文字の単語または略語で表されます。例としては、集合と集合関数の圏であるSet、環と環準同型の圏であるRing 、位相空間と連続写像の圏であるTop などがあります。上記のすべての圏は、恒等写像を恒等矢印として持ち、合成を矢印に対する結合法則として持ちます。任意のモノイドは、（自己射がモノイドの要素で表される単一の対象を持つ）特殊な種類の圏として理解でき、任意の前順序も同様です。

圏論に関する古典的かつ現在でも広く用いられているテキストは、Saunders Mac Lane著の『Categories for the Working Mathematician』です。その他の参考文献は、下記の参考文献に記載されています。この記事で説明する基本的な定義は、これらの書籍のいずれにおいても最初の数章に含まれています。

カテゴリには多くの同等の定義が存在する。^{[ 1 ]}一般的に用いられる定義の一つは以下の通りである。カテゴリとは$\displaystyle {\mathcal {C}}}$構成する

• クラス​${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$物体の、
• クラス$\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$射または矢印の、
• ドメインまたはソースクラスの関数${\displaystyle \operatorname {dom}$ :\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 、
• 終域またはターゲットクラスの関数${\displaystyle \operatorname {cod}$ :\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})} 、
• 3つのオブジェクトごとに${\displaystyle a,b,c}$二項演算${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)\times \operatorname {hom} (b,c)\to \operatorname {hom} (a,c)}$射の合成と呼ばれる。${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$射のサブクラスを表す${\displaystyle f}$で${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$そのため${\displaystyle \operatorname {dom} (f)=a}$そして${\displaystyle \operatorname {cod} (f)=b}$このサブクラスの射は次のように記述されます。${\displaystyle f:a\to b}$、そしてその複合体${\displaystyle f:a\to b}$そして${\displaystyle g:b\to c}$しばしば次のように書かれる${\displaystyle g\circ f}$または${\displaystyle gf}$。

以下の公理が成り立つようにする。

• 結合法則：もし${\displaystyle f:a\to b}$、${\displaystyle g:b\to c}$そして${\displaystyle h:c\to d}$それから${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$、 そして
• 左右の単位法則：すべてのオブジェクトについて${\displaystyle x}$射が存在する${\displaystyle 1_{x}:x\to x}$（著者の中にはこう書いている人もいる）${\displaystyle \operatorname {id} _{x}}$) は恒等射と呼ばれ、${\displaystyle x}$、すべての射が${\displaystyle f:a\to x}$満たす${\displaystyle 1_{x}\circ f=f}$、そしてすべての射${\displaystyle g:x\to b}$満たす${\displaystyle g\circ 1_{x}=g}$。

私たちは書く${\displaystyle f:a\to b}$そして私たちはこう言います「${\displaystyle f}$はからへの射である${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$「. 私たちは書きます${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$（または${\displaystyle \operatorname {hom} _{\mathcal {C}}(a,b)}$どのカテゴリーに分類すべきか混乱が生じる可能性がある場合${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$は、からのすべての射のホムクラスを表すために参照します。${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$[ ^{2 ]​}

一部の著者は射の合成を「図式的な順序」で記述し、次のように記述する。${\displaystyle f\,;g}$（時々⨟ ^{[ 3 ]}付き）または${\displaystyle fg}$の代わりに${\displaystyle g\circ f}$。

これらの公理から、すべてのオブジェクトに対して恒等射がただ一つ存在することを証明できる。多くの場合、各オブジェクトに恒等射を割り当てる写像は、圏の構造の追加部分、すなわちクラス関数として扱われる。${\displaystyle i:\operatorname {ob} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$。

一部の著者は、各対象を対応する恒等射と同一視するという、定義の若干の変形版を用いている。これは、圏の基本データは対象ではなく射であるという考えに基づいている。実際、追加の性質を持つ部分的な二項演算を用いることで、対象を全く参照することなく圏を定義することも可能である。

カテゴリー${\displaystyle {\mathcal {C}}}$両方が小さい場合、小さいと呼ばれます。${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$そして${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$実際には集合であって真のクラスではない、そうでなければ大きい。局所的に小さいカテゴリとは、すべてのオブジェクトに対して次の条件を満たすカテゴリである。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$、ホームクラス${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$はホムセットと呼ばれる集合です。数学における多くの重要な圏（集合の圏など）は、小さいわけではありませんが、少なくとも局所的には小さいです。小さな圏では対象が集合を形成するため、小さな圏はモノイドに似た代数的構造と見なすことができますが、閉包性は必要ありません。一方、大きな圏は、代数的構造の「構造」を作成するために使用できます。

すべての集合（対象）と、それらの間のすべての関数（射）からなるクラスで、射の合成が通常の関数合成である場合、大きなカテゴリSet が形成されます。これは数学において最も基本的で、最も一般的に使用されるカテゴリです。カテゴリRel は、すべての集合（対象）と、それらの間の二項関係（射）から構成されます。関数の代わりに関係を抽象化すると、カテゴリの特別なクラスであるアレゴリーが得られます。

任意のクラスは、射が恒等射のみであるような圏と見なすことができる。このような圏は離散的である。任意の集合に対して、${\displaystyle I}$、I 上の離散圏は、要素を持つ小さな圏です。${\displaystyle I}$オブジェクトとして、そして恒等射のみを射として扱う。

予約注文したセットならどれでも${\displaystyle (P,\leq )}$は小さなカテゴリを形成し、そのオブジェクトは${\displaystyle P}$射は、からを指す矢印です。${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$いつ${\displaystyle x\leq y}$同一性射の存在と射の合成可能性は、前順序の反射性と推移性によって保証される。任意の 2 つの対象に対して、一方から他方への射は最大で 1 つしか存在しない (このようなカテゴリはthinと呼ばれる)。${\displaystyle \leq }$さらに反対称であるため、任意の2つの対象の間には最大で1つの射しか存在できません。特に、任意の半順序集合と任意の同値関係は、小さな圏と見なすことができます。任意の順序数は、順序集合として見た場合、圏と見なすことができます。

任意のモノイド（単一の結合的な二項演算と単位元を持つ任意の代数構造）は、単一の対象を持つ小圏を形成する。${\displaystyle x}$。 （ここ、${\displaystyle x}$（任意の固定集合）からの射${\displaystyle x}$に${\displaystyle x}$はまさにモノイドの要素であり、恒等射は${\displaystyle x}$はモノイドの恒等式であり、射の圏論的合成はモノイド演算によって与えられる。モノイドに関するいくつかの定義と定理は、圏論にも一般化できる。

同様に、任意の群は、すべての射が可逆である単一の対象を持つ圏と見なすことができる。つまり、すべての射に対して${\displaystyle f}$射が存在する${\displaystyle g}$それは左と右の両方の逆です${\displaystyle f}$合成に関して。この意味で可逆な射を同型射と呼ぶ。

群圏とは、すべての射が同型であるような圏のことである。群圏は、群、群作用、同値関係の一般化である。圏論の観点から言えば、群とは対象がちょうど1つだけの群圏にすぎない。位相空間を考えてみよう。${\displaystyle X}$そして基準点を固定する${\displaystyle x_{0}}$の${\displaystyle X}$、 それから${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$は位相空間の基本群である${\displaystyle X}$そして基点${\displaystyle x_{0}}$、そして集合としては群の構造を持つ。基点を${\displaystyle x_{0}}$すべてのポイントを通過する${\displaystyle X}$そしてすべての和集合を取る${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$すると、結果として得られる集合は群構造（の基本群構造と呼ばれる）のみを持つ。${\displaystyle X}$): 2 つのループ (ホモトピーの同値関係の下で) は同じ基点を持たない可能性があるため、それらを掛け合わせることはできません。圏論の言葉で言えば、ここでは 2 つの射は同じソースオブジェクト (またはターゲットオブジェクト。この場合、任意の射のソースオブジェクトとターゲットオブジェクトは同じ、つまり基点であるため) を持たない可能性があるため、それらを合成することはできません。

任意の有向グラフ（あるいはより一般的には箙）は、小さな圏を生成する。対象はグラフの頂点であり、射はグラフ内のパス（必要に応じてループを追加）である。ここで、射の合成はパスの連結である。このような圏は、グラフによって生成される自由圏と呼ばれる。

順序保存関数（すなわち単調増加関数）を射とするすべての順序付き集合のクラスは、Ordという圏を形成する。これは具体的な圏、すなわち、対象が何らかの追加構造を持つ集合と同一視でき、射がその構造を尊重する関数である圏である。

群準同型を射とし、関数合成を合成演算とするすべての群のクラスは、大きな圏Grpを形成する。${\displaystyle \mathbf {Ord} }$、${\displaystyle \mathbf {Grp} }$は具体的な圏である。すべてのアーベル群とその群準同型からなる圏Abは、の完全部分圏である。${\displaystyle \mathbf {Grp} }$、そしてアーベル圏のプロトタイプ。

すべてのグラフのクラスは、別の具体的なカテゴリを形成し、そこでは射はグラフ準同型（つまり、すべての隣接関係と接続関係を保持する方法で頂点を頂点に、辺を辺に写像するグラフ間の写像）です。

具体的な分類例を以下の表に示す。

ファイバー束と、それらの間に存在するバンドルマップは、具体的なカテゴリを形成する。

圏Cat は、すべての小さな圏から成り、それらの間の射として関手が存在する。逆に、関手圏は、2 つの固定された圏間の関手を対象とし、それらの間の自然変換を射として持つ。

カテゴリーを問わず${\displaystyle {\mathcal {C}}}$それ自体を別の方法で新しいカテゴリと考えることができます。オブジェクトは元のカテゴリのものと同じですが、矢印は元のカテゴリの矢印を反転させたものです。これは双対カテゴリまたは反対カテゴリと呼ばれ、で表されます。${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$。

もし${\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {D}}}$カテゴリがあり、製品カテゴリを形成できます${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$: オブジェクトは、1 つのオブジェクトから構成されるペアです。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして1つは${\displaystyle {\mathcal {D}}}$射もまたペアであり、1 つの射は${\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして1つは${\displaystyle {\mathcal {D}}}$このようなペアは、コンポーネントごとに構成できます。

射の集合を特定することにより${\displaystyle {\mathcal {C}}}$適切な同値関係を介して${\displaystyle \sim }$商のカテゴリーを構築することができる${\displaystyle {\mathcal {C}}/\sim }$。

固定された物体の場合${\displaystyle X}$の${\displaystyle {\mathcal {C}}}$オーバーカテゴリまたはスライスカテゴリ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$ペアで構成される${\displaystyle (A,f)}$物体の${\displaystyle A}$の${\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして射${\displaystyle f:A\to X}$射と${\displaystyle (A,f)}$そして${\displaystyle (A',f')}$射によって与えられる${\displaystyle g:A\to B}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}}$射と互換性がある${\displaystyle X}$つまり${\displaystyle f'\circ g=f}$双対概念は下位圏または余スライス圏であり、どちらもコンマ圏と呼ばれる構成の特殊なケースである。

クラスが与えられた場合${\displaystyle W}$射の${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ローカライゼーション​${\displaystyle {\mathcal {C}}[W^{-1}]}$射を${\displaystyle W}$同型写像に分割する（下記参照）。

射​${\displaystyle f:a\to b}$と呼ばれる

• 左キャンセル可能な場合、単射（またはモニック）である。${\displaystyle fg_{1}=fg_{2}}$暗示する${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$すべての射に対して${\displaystyle g_{1},g_{2}:x\to a}$。
• 右消去可能な全射（またはエピック）である場合、すなわち${\displaystyle g_{1}f=g_{2}f}$暗示する${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$すべての射に対して${\displaystyle g_{1},g_{2}:b\to x}$。
• 単射かつ全射である場合、それは双射である。
• 右逆写像が存在する場合、すなわち射が存在する場合は、撤回となる。${\displaystyle g:b\to a}$と${\displaystyle fg=1_{b}}$。
• 左逆が存在する場合、つまり射が存在する場合、セクションである。${\displaystyle g:b\to a}$と${\displaystyle gf=1_{a}}$。
• 逆写像が存在する場合、すなわち射が存在する場合、同型写像である。${\displaystyle g:b\to a}$と${\displaystyle fg=1_{b}}$そして${\displaystyle gf=1_{a}}$。
• 自己準同型写像${\displaystyle a=b}$自己準同型のクラス${\displaystyle a}$と表記される${\displaystyle \mathrm {end} (a)}$ローカルで小規模なカテゴリーの場合、${\displaystyle \mathrm {end} (a)}$これは集合であり、射の合成によってモノイドを形成する。
• 自己同型写像${\displaystyle f}$は自己準同型かつ同型である。 の自己同型クラスは${\displaystyle a}$と表記される${\displaystyle \mathrm {aut} (a)}$局所的に小さい圏の場合、射合成の下で群を形成し、その群は自己同型群と呼ばれる。${\displaystyle a}$。

すべての撤回は全射である。すべての切断は単射である。以下の3つの命題は同値である。

• ${\displaystyle f}$これは単射かつ撤回である。
• ${\displaystyle f}$は全射であり、かつ切断である。
• ${\displaystyle f}$これは同型写像である。

射間の関係（例：${\displaystyle fg=h}$は、対象を点として、射を矢印として表す可換図式を用いて最も便利に表現できます。

• 多くのカテゴリー、例えばAbやVect _Kでは、ホモセット${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$は単なる集合ではなく、実際にはアーベル群であり、射の合成はこれらの群構造と互換性があります。つまり、双線形です。このような圏は前加法的と呼ばれます。さらに、圏がすべての有限積と余積を持つ場合、それは加法的圏と呼ばれます。すべての射が核と余核を持ち、すべての全射が余核であり、すべての単射が核である場合、アーベル圏と呼ばれます。アーベル圏の典型的な例は、アーベル群の圏です。
• 集合であることに加えて何らかの追加的な構造を持つホム集合の考え方は、豊饒圏の概念で形式化することができる。
• 圏は、その圏にすべての微小極限が存在する場合に完全であると呼ばれる。集合、アーベル群、位相空間の圏は完全である。
• 有限個の直積を持ち、有限個の直積上で定義された射が、常にその因子の 1 つ上で定義された射によって表現できる場合、その圏はデカルト閉圏と呼ばれます。例としては、集合と${\displaystyle \mathbf {CPO} }$スコット連続関数を持つ完全半順序のカテゴリー。
• 初等トポスとは、数学のすべてを定式化できるある種のデカルト閉圏のことである（古典数学が集合の圏で定式化されるのと同様）。トポスは論理理論を表すためにも使用できる。

• 高次カテゴリー理論
• クォンタロイド
• 数学記号一覧表
• 空間（数学）
• 構造（数学）