分割フィールド

抽象代数学では、ある体に係数を持つ多項式の分解体とは、その体の上で多項式が分解する、つまり線形因子 に分解される最小の体拡大です。

体K上の多項式p ( X )の分解体は、pが線型因子に因数分解される Kの体拡大Lである。

${\displaystyle p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg p}(X-a_{i})}$

ここで、それぞれに対して、a i_は必ずしも異なる必要はなく、根a _{i が}K上にL を生成するような関係になります。拡大L は、 pが分解するK上の最小次数の拡大です。このような分解体が存在し、同型を除いて一意であることが示されます。その同型における自由度は、pのガロア群として知られています(分離可能と仮定した場合)。 ${\displaystyle c\in K}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X-a_{i}\in L[X]}$

多項式の集合Pの分割体とは、 P内の各多項式が分割される最小の体です。

K上の多項式p ( X )の集合に対する分解体である拡大L は、 Kの正規拡大と呼ばれます。

Kを含む代数的に閉じた体 A が与えられたとき、 KとAの間にはpの根によって生成される唯一のpの分割体Lが存在する。K が複素数の部分体であれば、その存在は即時である。 一方、代数的閉包の存在は一般に、分割体の結果から「極限まで通過する」ことによって証明されることが多く、そのため循環論法を避けるために独立した証明が必要となる。

Kの可分拡大 K ′が与えられた場合、K ′のガロア閉包L は分割体の一種であり、また、明らかな意味で最小であるK ′ を含むKのガロア拡大でもあります。このようなガロア閉包には、K ′ の元のK上の最小多項式であるK上のすべての多項式pの分割体が含まれている必要があります。

多項式の根を見つけることは、古代ギリシャの時代から重要な問題でした。しかし、実数R上のx ² + 1など、一部の多項式には根がありません。このような多項式の分解体を構築することで、新しい体で多項式の根を見つけることができます。

F を体とし、p ( X )をn次多項式環 F [ X ]の多項式とします。p ( X ) のF上の分解体K を構成する一般的なプロセスは、 K _{i が}p ( X )の新しい根を含むK _{i  −1}の拡大となるような体の連鎖を構成することです。 p ( X ) には最大でn個の根があるため、この構成には最大でn 回の拡大が必要です。 K _{i を}構成する手順は次のとおりです。 ${\displaystyle F=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{r-1}\subseteq K_{r}=K}$

• p ( X ) をKi上で_既約因数に因数分解します。${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)}$
• 任意の非線形既約因子f ( X )を選択します。
• K _iの体拡大 K _{i  +1 を}商環K _{i  +1} = K _i [ X ] / ( f ( X ))として構築します。ここで、 ( f ( X )) はf ( X )によって生成されるK _i [ X ]内のイデアルを表します。 
• p ( X )が完全に因数分解されるまで、K _{i  +1}に対してこのプロセスを繰り返します。

商の構成に使われる既約因子f ( X ) は任意に選択できる。因子の選択が異なれば部分体列も異なる可能性があるが、結果として得られる分割体は同型となる。

f ( X ) は既約なので、 ( f ( X )) はK _i [ X ]の極大イデアルであり、 K _i [ X ] / ( f ( X )) は実際には体、つまりその極大イデアルの剰余体です。さらに、を環の商へ の自然な射影とすると、${\displaystyle \pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))}$

${\displaystyle f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0}$

したがってπ ( X )はf ( X )とp ( X )の根である。

単一の拡張の次数は、既約因子f ( X ) の次数に等しい。拡張 [ K  : F ] の次数は で与えられ、最大でn ! である。 ${\displaystyle [K_{i+1}:K_{i}]}$${\displaystyle [K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]}$

上で述べたように、商環K _{i  +1} = K _i [ X ]/( f ( X )) は、 f ( X ) が既約な場合の体である。その元は次のような形をしている。

${\displaystyle c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}}$

ここで、c _{j は}K _iにあり、α = π ( X ) です。( K _{i  +1を}K _i上のベクトル空間と考えると、 0 ≤ j ≤ n −1のべき乗α ^{j は}基底を形成します。) 

K _{i  +1}の要素は、 n未満の次数のαの多項式と見なすことができます。K _{i  +1}の加算は多項式加算の規則によって与えられ、乗算はf ( X ) を法とする多項式乗算によって与えられます。つまり、K _{i  +1の}g ( α ) とh ( α )の場合、それらの積はg ( α ) h ( α ) = r ( α ) です。ここで、r ( X ) は、 K _i [ X ]でg ( X ) h ( X ) をf ( X )で割った余りです。 

剰余r ( X )は多項式の長除算で計算できますが、 r ( α ) = g ( α ) h ( α )を直接計算できる簡単な簡約規則もあります。まず、

${\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.}$

多項式は体上にあるので、一般性を失うことなくf ( X ) をモニック と見なすことができます。ここでα はf ( X )の根なので、

${\displaystyle \alpha^{n}=-(b_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).}$

積g ( α ) h ( α )にm≥nの項αmがある場合^、次のように簡約できます。

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{mn}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})\alpha ^{mn}=-(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{mn})}$。

簡約規則の例として、有理係数の多項式環K _i = Q [ X ]とf ( X ) = X ⁷ − 2をとります。とh ( α ) = α ^{3 +1 を}Q [ X ]/( X ⁷ − 2 )の2つの元とします。 f ( X )によって与えられる簡約規則はα ⁷ = 2 なので、 ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=(\alpha ^{5}+\alpha ^{2})(\alpha ^{3}+1)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=(\alpha ^{7})\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

多項式環 R [ x ] と既約多項式 x ² + 1について考えます。商環R [ x ] / ( x ² + 1)は、 合同式x ² ≡ −1で与えられます。結果として、R [ x ] / ( x ² + 1)の元 (または同値類)は、 aとb がRに属する場合、a + bxという形式になります。これを理解するために、x ² ≡ −1なので、 x ³ ≡ − x、x ⁴ ≡ 1、x ⁵ ≡ xなどとなることに注意してください。したがって、たとえば、p + qx + rx ² + sx ³ ≡ p + qx + r (−1) + s (− x ) = ( p − r ) + ( q − s ) xとなります。

加算と乗算の演算は、まず通常の多項式の加算と乗算を使用し、次にx ² + 1を法として簡約します。つまり、x ² ≡ −1、x ³ ≡ − x、x ⁴ ≡ 1、x ⁵ ≡ xなどという事実を使用します。したがって、

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

a + bxを( a , b )と同一視すると、加算と乗算は次のように表されることがわかる。

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

体として、商環R [ x ] / ( x ² + 1)は複素数Cと同型であると主張する。一般的な複素数はa + bi の形をとり、ここでaとb は実数でi ² = −1 である。加算と乗算は次のように表される。

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

a + biを( a , b )と同一視すると、加算と乗算は次のように表されることがわかる。

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

これまでの計算から、加算と乗算はR [ x ] / ( x ² + 1)とCで同じように動作することがわかります。実際、a + bx → a + biによって与えられるR [ x ] / ( x ² + 1)とC間の写像は、加算と乗算に関して準同型であることが分かります。また、写像a + bx → a + biが単射かつ全射であることも明らかです。つまり、a + bx → a + biは全単射準同型、つまり同型です。したがって、主張されているように、R [ x ] / ( x ² + 1) ≅ Cとなります。

1847年、コーシーはこのアプローチを使って複素数を定義しました。 ^[1]

Kを有理数体 Qとし、p ( x )= ^x3−2とする。pの各根は3√2の1の³乗根に等しい。したがって、1の3乗根 を

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,}$

${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

pの 2 つの異なる根を含む任意の体には、2 つの異なる 1 の立方根の間の商が含まれます。このような商は、またはの原始1 の立方根です。したがって、 pの分解体L には、 2 の実数3 乗根だけでなく、ω _{2 も}含まれます。逆に、これらの要素を含むQの任意の拡大には、pのすべての根が含まれます。したがって、 ${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{3}=1/\omega _{2}}$

${\displaystyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\mid a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \}}$

前のセクションで概説した構築プロセスをこの例に適用すると、 から始めて体 を構築することに注意してください。この体は分解体ではありませんが、1 つの (任意の) 根を含みます。ただし、多項式はおよび上で既約ではありません 。 ${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$${\displaystyle Y^{3}-2}$${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

は不定値ではなく、実際は の要素であることに注意してください。ここで、処理を続けると が得られます。これは確かに分割体であり、-基底によって張られます。これを上記の と比較すると、 および を識別できることに注目してください。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle Y=\omega _{2}}$

• F _p上のx ^q − xの分解体はq = p ⁿに対して唯一の有限体F _qである。^[2]この体はGF( q )と表記されることもある。

• x ² + 1のF ₇上の分解体はF ₄₉である。この多項式はF ₇に根を持たない。つまり、 7 は4 を法として 1 と合同ではないため、 −1 は平方数ではない。 ^[3]

• x ² − 1 = ( x + 1)( x − 1) はすでに線形因子に分割されるため、F _7上のx ² − 1の分割体はF ₇です。

• F _2上のf ( x ) = x ³ + x + 1の分解体を計算します。 f ( x ) がF ₂に根を持たないことは簡単に確認できます。したがって、f ( x ) はF ₂ [ x ]で既約です。r = x + ( f ( x )) をF ₂ [ x ]/( f ( x )) に入れると、F ₂ ( r  ) は体になり、x ³ + x + 1 = ( x + r )( x ² + ax + b ) がF ₂ ( r  )[ x ] になります。特性が 2なので、 − を + と表記できることに注意してください。係数を比較すると、a = rおよびb = 1 + r ^{2であることがわかります。} F ₂ ( r )の元はc + dr + er ² としてリストできます。ここで、c、d、eはF ₂にあります。要素は 0、1、r、1 + r、r ^2、1 + r ²、r + r ^2、1 + r + r ²の 8 つあります。これらをx ² + rx + 1 + r ²に代入すると、( r ² ) ² + r ( r ² ) + 1 + r ² = r ⁴ + r ³ + 1 + r ² = 0 となり、したがってx ³ + x + 1 = ( x + r )( x + r ² )( x + ( r + r ^{2 )})) r がF 2 _[ x ] /( f ( x ) )に属する場合。E = F ₂ ( r ) はF _2上のx ³ + x + 1 の分解体です。

• Dummit, David S., Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (第2版). ニューヨーク: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1 . 
• 「多項式の分割体」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「分割フィールド」。MathWorld。