シンプルなモジュール

数学、特に環論において、環R上の単純加群とは、非零元を持ち、かつ非零の真部分加群を持たないR上の（左または右）加群のことである。言い換えれば、加群Mが単純であるのは、Mの非零元によって生成されるすべての巡回部分加群がMと等しい場合のみである。単純加群は有限長加群の構成要素であり、群論における単純群に相当する。

この記事では、すべてのモジュールは環R上の右単位的モジュールであると仮定します。

Z加群はアーベル群と同じなので、単純Z加群は非零の真部分群を持たないアーベル群です。これらは素数位数の巡回群です。

I がRの右イデアルである場合、I が右加群として単純であるのは、I が最小の非零右イデアルである場合に限る。MがIの非零の真部分加群である場合、M も右イデアルであるため、Iは最小ではない。 逆に、I が最小でない場合、 Iに真に含まれる非零右イデアルJが存在する。J はIの右部分加群であるため、I は単純ではない。

I がRの右イデアルである場合、商加群R / Iが単純であるのは、I が極大右イデアルである場合に限る。MがR / Iの零でない真部分加群である場合、商写像R → R / IによるMの逆像は、 Rと等しくなく、かつI を真に含む右イデアルである。したがって、Iは極大ではない。逆に、Iが極大でない場合、I を真に含む右イデアルJが存在する。商写像R / I → R / JはR / Iと等しくない零でない核を持ち、したがってR / Iは単純ではない。

すべての単純R加群は、Rの極大右イデアルm による商R / m と同型である。 [ ^{1 ]上記} の段落により、任意の商R / mは単純加群である。逆に、 Mが単純R加群であると仮定する。すると、 Mの任意の非零元xに対して、巡回部分加群xR はMと等しくなければならない。そのようなxを固定する。xR = Mという記述は、rをxrに写す準同型R → Mの全射性と同値である。この準同型の核はRの右イデアルIであり、標準的な定理により、MはR / Iと同型である。上記の段落により、 Iは極大右イデアルであることがわかる。したがって、 Mは極大右イデアルによるRの商と同型である。

kが体でGが群である場合、Gの群表現は群環k [ G ]上の左加群です(詳細は、この関係のメインページを参照してください)。^{[ 2 ]}単純なk [ G ] 加群は既約表現としても知られています。表現論の主要な目的は、群の既約表現を理解することです。

単純加群とは、まさに長さ1の加群のことである。これは定義の言い換えである。

すべての単純モジュールは分解不可能であるが、その逆は一般には真ではない。

すべての単純モジュールは循環的である。つまり、それは1つの要素によって生成される。

すべてのモジュールが単純なサブモジュールを持つとは限りません。例えば、上記の最初の例を踏まえて、ZモジュールZを考えてみましょう。

MとN を同じ環上の（左または右）加群とし、 f  : M → Nを加群準同型とする。M が単純加群の場合、 fの核はMの部分加群であるため、fは零準同型であるか、または単射である。Nが単純加群の場合、 fの像はNの部分加群であるため、 fは零準同型であるか、または全射である。M = Nの場合、fはMの自己準同型であり、Mが単純加群の場合、上記の 2 つの記述から、fは零準同型であるか、または同型であることがわかる。したがって、任意の単純加群の自己準同型環は除法環である。この結果はシューアの補題として知られている。

シューアの補題の逆は一般には成り立たない。例えば、Z加群Qは単純ではないが、その自己準同型環は体Qと同型である。

Mが非零の真部分加群Nを持つ加群である場合、短完全列が存在する。

${\displaystyle 0\to N\to M\to M/N\to 0.}$

Mに関する事実を証明する一般的な方法は、左項と右項でその事実が真である場合に、短完全数列の中央項でもその事実が真であることを示し、次にNとM / Nについてその事実を証明することです。Nがゼロでない真部分加群を持つ場合、このプロセスを繰り返すことができます。これにより、部分加群の連鎖が生成されます。

${\displaystyle \cdots \subset M_{2}\subset M_{1}\subset M.}$

この方法で事実を証明するには、この数列とモジュールM _i / M _{i +1}に関する条件が必要です。特に有用な条件の 1 つは、数列の長さが有限であり、各商モジュールM _i / M _{i +1}が単純であることです。この場合、数列はMの合成数列と呼ばれます。合成数列を使用して帰納的に命題を証明するには、まず帰納の基本ケースを形成する単純モジュールに対して命題を証明し、次に単純モジュールによるモジュールの拡張の下で命題が真であり続けることを証明します。たとえば、フィッティング補題は、有限長の分解不可能なモジュールの自己準同型環が局所環であることを示しており、これにより強いクルル・シュミットの定理が成り立ち、有限長のモジュールの圏はクルル・シュミット圏となります。

ジョルダン・ヘルダーの定理とシュライアーの細分化定理は、単一の加群のすべての合成系列間の関係を記述します。グロタンディーク群は合成系列の順序を無視し、すべての有限長加群を単純加群の形式的和とみなします。半単純環上では、すべての加群が半単純加群であり、したがって単純加群の 直接和であるため、これは損失ではありません。通常の指標理論はより優れた算術的制御を提供し、単純なC G加群を使用して有限群Gの構造を理解します。 モジュラー表現理論は、ブラウアー指標を使用して加群を単純加群の形式的和とみなしますが、それらの単純加群が合成系列内でどのように結合されるかにも関心があります。これは、Ext 関手を研究し、クィバー(そのノードは単純加群であり、そのエッジは長さ 2 の非半単純加群の合成系列) や、関連するグラフがすべての分解不可能な加群の頂点を持つアウスランダー・ライテン理論など、さまざまな方法で加群圏を記述することによって形式化されます。

単純加群の理論における重要な進歩の一つは、ヤコブソン密度定理である。ヤコブソン密度定理は次のように述べている。

U を単純な右R加群とし、D = End _R ( U ) とする。AをU上の任意のD線形作用素とし、X をUの有限D線形独立部分集合とする。このとき、 Xのすべてのxに対してx ⋅ A = x ⋅ rとなるRの要素rが存在する。^{[ 3 ]}

特に、任意の原始環は、あるD空間上のD線形作用素の環とみなすことができる（つまり、同型である）。

ヤコブソン密度定理の帰結としてウェダーバーンの定理がある。すなわち、任意の右アルティン単純環は、あるnに対して、除法環上のn × n行列の完全行列環と同型である。これはアルティン・ウェダーバーンの定理の系としても証明できる。

• 半単純モジュールとは、単純部分モジュールの和として表すことができるモジュールのことである。
• 還元不可能なイデアル
• 既約表現