グループ拡張

数学において、群の拡大とは、特定の正規部分群と商群を用いて群を記述する一般的な手段である。と が2つの群である場合、短完全列が存在する場合、はによるの拡大である。${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}$

が によるの拡大である場合、 は群であり、は の正規部分群であり、商群は群 と同型である。群の拡大は、群と が既知であり、 の特性が決定される拡大問題のコンテキストで発生する。「は によるの拡大である」という表現も一部で使用されていることに注意。^[1]${\displaystyle G}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \iota (N)}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\iota (N)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Q}$

任意の有限群は 単純因子群を持つ最大正規部分群を持つので、すべての有限群は有限単純群を持つ拡大の系列として構成できます。この事実は、有限単純群の分類を完了する動機となりました。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/\iota (N)}$

部分群が の中心にある場合、その拡大は中心拡大と呼ばれます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

一つの拡張である直積は、すぐに明らかになる。 と がアーベル群であることを条件とすれば、与えられた（アーベル）群によるの拡張の同型類の集合は、実際にはと 同型である群である。${\displaystyle G}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);}$

Ext 関数を参照してください。他の一般的な拡張のクラスはいくつか知られていますが、すべての可能な拡張を一度に扱う理論は存在しません。グループ拡張は通常、難しい問題として説明され、拡張問題と呼ばれます。

いくつか例を挙げると、 の場合、 はと の両方の拡張です。より一般的には、が との半直積でと書かれる場合、 はによるの拡張です。そのため、花輪積などの積は拡張のさらなる例を提供します。 ${\displaystyle G=K\times H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G=K\rtimes H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$

どの群が によるの拡張であるかという問題は拡張問題と呼ばれ、19 世紀後半から盛んに研究されてきました。その動機については、有限群の合成系列が部分群の有限列であり、各部分群が何らかの単純群によるの拡張であることを考えてみましょう。有限単純群の分類により、有限単純群の完全なリストが得られます。したがって、拡張問題の解決により、一般にすべての有限群を構築および分類するのに十分な情報が得られます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \{A_{i}\}}$${\displaystyle \{A_{i+1}\}}$${\displaystyle \{A_{i}\}}$

拡張問題を解決することは、KによるHのすべての拡張を分類すること、またはより実際的には、そのようなすべての拡張を、理解および計算が容易な数学的オブジェクトの観点から表現することと同義です。一般に、この問題は非常に難しく、最も有用な結果はすべて、何らかの追加条件を満たす拡張を分類します。

2つの拡大が同値または合同であるかどうかを知ることは重要です。拡大は

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}$

そして

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}$

下の図が可換となるような群同型が存在する場合、それらは同値（または合同）である。実際には、群準同型があれば十分である。図の仮定された可換性により、写像は短五補題によって同型であることが強制される。 ${\displaystyle T:G\to G'}$${\displaystyle T}$

拡大とが同値でないが、GとG' が群として同型であるということが起きるかもしれない。例えば、によるクラインの 4 次元群の同値でない拡大が存在するが、^{[2] 、}群同型を除いて、クラインの 4 次元群 と同型の商群を持つ の位数の正規部分群を含むの位数の群は 4 つしかない。 ${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$${\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle 8}$${\displaystyle 2}$

些細な拡張は拡張である

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

これは、拡張子

${\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}$

ここで、左矢印と右矢印はそれぞれ の各因子の包含と射影を表します。 ${\displaystyle K\times H}$

分割拡張機能は拡張機能です

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

準同型写像 があり、 sによってHからGに行き、次に短完全列の商写像によってHに戻ると、 H上の恒等写像、つまり が誘導されます。この状況では、通常、 s は上記の完全列を分割すると言われます。 ${\displaystyle s\colon H\to G}$${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}$

分割拡大は分類が非常に簡単です。拡大が分割されるための必要条件は、群GがKとHの半直積である場合のみです。半直積自体は、 の準同型と 1 対 1 に対応しているため分類が簡単です。ここで、Aut( K ) はKの自己同型群です。これが正しい理由の詳しい説明については、半直積を参照してください。 ${\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}$

一般に数学では、構造Kの拡張は通常、 Kが部分構造である構造Lと見なされます。たとえば、体の拡張を参照してください。ただし、群論では、 という表記法 (これはQのNによる拡張として簡単に読み取れます)と、群Qに焦点が当てられていることなどから、反対の用語が使われています。 ${\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}$

ロナルド・ブラウンとティモシー・ポーターによるオットー・シュライアーの非可換拡大の理論に関する論文では、Kの拡大はより大きな構造を与えるという用語が使われている。 ^[3]

群Gの中心拡大は、群の 短い完全列である。

${\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}$

Aが に含まれるような群Eの中心。AによるGの中心拡大の同型類の集合は、コホモロジー群と一対一に対応します。 ${\displaystyle Z(E)}$${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

中心拡大の例は、任意の群Gと任意のアーベル群 Aを取り、E をと設定することによって構成できます。この種の分割例は、上記の対応の下での の元 0 に対応します。より深刻な例は、射影表現の理論で、射影表現を通常の線型表現に持ち上げることができない場合に見られます。 ${\displaystyle A\times G}$${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

有限完全群の場合、普遍完全中心拡大が存在します。

同様に、リー代数 の中心拡大は正確な列である ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

はの中心に位置する。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

マルツェフ多様体の中心拡大の一般理論がある。^[4]

GのAによるすべての拡大を からの準同型によって同様に分類する方法があり、これはとコホモロジー群 を含む面倒だが明示的に確認可能な存在条件である。^[5]${\displaystyle G\to \operatorname {アウト} (A)}$${\displaystyle H^{3}(G,Z(A))}$${\displaystyle H^{2}(G,Z(A))}$

リー群論では、中心拡大は代数位相との関連で生じる。大まかに言えば、離散群によるリー群の中心拡大は被覆群と同じである。より正確には、連結リー群Gの連結 被覆空間 G ^{∗ は、当然}Gの中心拡大であり、射影が

${\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}$

は群準同型であり、かつ全射である。( G ^{∗上の群構造は、} G内の単位元に写像する単位元の選択に依存する。) たとえば、G ^{∗ が}Gの普遍被覆である場合、 πの核はGの基本群であり、アーベル群であることが知られている( H空間を参照)。 逆に、リー群Gと離散中心部分群Zが与えられた場合、商G / Z はリー群であり、G はその被覆空間である。

より一般的には、中心拡大に現れる群A、E、Gがリー群であり、それらの間の写像がリー群の準同型である場合、Gのリー代数がg、Aのリー代数がa、Eのリー代数がeであれば、eはaによるgの中心リー代数拡大である。理論物理学の用語では、aの生成元は中心電荷と呼ばれる。これらの生成元はeの中心にある。ノイマンの定理により、対称群の生成元は電荷と呼ばれる保存量に対応する。

被覆群としての中心拡大の基本的な例は次のとおりです。

• スピン群は特殊直交群を二重に覆い、特殊直交群は（偶数次元で）射影直交群を二重に覆います。
• メタプレクティック群はシンプレクティック群を二重に覆います。

SL ₂ ( R )の場合には、無限巡回の基本群が関係します。ここで関係する中心拡張は、重み½の形式の場合のモジュラー形式理論でよく知られています。対応する射影表現は、この場合は実数直線上のフーリエ変換から構築されるWeil 表現です。メタプレクティック群は量子力学でも発生します。

• リー代数の拡張
• ヴィラソロ代数
• HNN 拡張
• グループ縮小
• 位相群の拡張

• マック・レーン、サンダース（1975）、ホモロジー、数学の古典、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-58662-8
• テイラー、RL (1954)、「非連結位相群の被覆群」、アメリカ数学会紀要、5 (5): 753–768、doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0
• Brown, R.; Mucuk, O. (1994)、「非連結位相群の被覆群の再考」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、115 (1): 97–110、doi :10.1017/S0305004100071942