分野（数学）

形式的には、体とは、集合Fと、加算と乗算と呼ばれるF上の2 つの二項演算から成り、以下の公理を満たすものです。^{[ 1 ]} F上の二項演算は写像F × F → Fであり、 Fの要素の各順序対をFの一意に決定された要素に写します。^{[ 2 ] [ 3 ]} aとbの加算の結果はaとbの和と呼ばれ、a + bと表記されます。aとbの乗算の結果は a と b の積と呼ばれ、 a ⋅ b と表記されます。これらの演算は、体の公理と呼ばれる以下の性質を満たす必要があります。

これらの公理は、体Fのすべての要素a、b、cに対して成り立つ必要がある。

• 加算と乗算の結合法則: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c、およびa ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c。
• 加法と乗法の交換法則: a + b = b + a、およびa ⋅ b = b ⋅ a。
• 加法および乗法の単位元： Fには、 a + 0 = aおよびa ⋅ 1 = aとなるような異なる要素0と1が存在する。
• 加法逆元：Fのすべてのaに対して、 a + (− a ) = 0となるような、Fの要素− aが存在し、これをaの加法逆元と呼ぶ。
• 乗法逆元：Fのすべてのa ≠ 0に対して、 a ⁻¹または1/ aで表されるFの要素が存在し、これはaの乗法逆元と呼ばれ、a ⋅ a ⁻¹ = 1となります。
• 乗法の加算に対する分配法則: a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c )。

同等だがより簡潔な定義は、体とは、加算と乗算と呼ばれる2つの可換演算を持つ集合であり、

• これは加法に関する群であり、加法単位元は0と呼ばれる。
• 非ゼロ要素は乗法に関して群を形成する。
• 乗法は加算に対して分配法則が成り立つ。

さらに簡潔に言うと、体とは、0 ≠ 1であり、すべての非ゼロ要素が乗法に関して可逆である可換環のことである。

体は、異なるが同等な方法で定義することもできます。 体は、4 つの二項演算 (加算、減算、乗算、除算) とそれらの必要な性質によって定義することもできます。ゼロによる除算は、定義により除外されます。^{[ 4 ]}存在量化子を避けるために、体は 2 つの二項演算 (加算と乗算)、2 つの単項演算 (それぞれ加法逆元と乗法逆元を生成する)、および 2 つの零項演算 (定数0と1 ) によって定義できます。これらの演算は、上記の条件に従います。存在量化子を避けることは、構成的数学と計算において重要です。^{[ 5 ]} 0 = 1 + (−1) および − a = (−1) aであるため、同じ 2 つの二項演算、1 つの単項演算 (乗法逆元)、および 2 つの (必ずしも異なるとは限らない) 定数1と−1によって、同等に体を定義することもできます。^{[ a ]}

有理数は、分野が発展する以前から長い間広く用いられてきました。有理数は、 a / bという分数 で表すことができる数であり、aとbは整数で、b ≠ 0です。このような分数の加法逆元は− a / bであり、乗法逆元 ( a ≠ 0の場合) はb / aです。これは次のように表すことができます。

$\displaystyle {\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.}$

抽象的に要求される体の公理は、有理数の標準的な性質に帰着します。たとえば、分配法則は次のように証明できます。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}\\[6pt]={}&{\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\[6pt]={}&{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}.\end{aligned}}}$

実数R は、 通常の加算と乗算の演算とともに、体を形成します。複素数Cは式から構成されます。

a + bi、 a、b は実数、

ここでiは虚数単位、すなわちi ² = −1を満たす（非実数）数である。実数の加算と乗算は、このタイプの式がすべての体公理を満たし、したがってCに対して成り立つように定義されている。例えば、分配法則は

( a + bi )( c + di ) = ac + bci + adi + bdi ² = ( ac − bd ) + ( bc + ad ) i。

これは明らかに上記と同じタイプの表現であり、したがって複素数は体を形成します。複素数は、平面上の点として幾何学的に表現できます。その点の直交座標は、複素数を記述する式の実数で与えられます。また、原点からこれらの点への矢印として表現することもできます。矢印の長さと、ある特定の方向で囲まれた角度によって指定されます。加算は、矢印を直感的に理解できる平行四辺形（直交座標の加算）に組み合わせることに対応し、乗算は、直感的ではないものの、矢印の回転と拡大縮小（角度の加算と長さの乗算）を組み合わせることに対応します。実数と複素数の体は、数学、物理学、工学、統計学、その他多くの科学分野で広く用いられています。

古代において、いくつかの幾何学的問題は、コンパスと定規を用いて特定の数を作図できるかどうか（あるいはできないかどうか）に関するものでした。例えば、ギリシャ人は、一般に、与えられた角をこの方法で三等分することは不可能であることを知りませんでした。これらの問題は、作図可能数の体を用いることで解決できます。^{[ 7 ]}実数作図可能数は、定義により、コンパスと定規のみを用いて点0と点1から有限回のステップで作図できる線分の長さです。これらの数は、作図可能数に限定された実数の体演算を備え、有理数の体Qを適切に含む体を形成します。図は、必ずしもQに含まれるとは限らない作図可能数の平方根の作図を示しています。図のラベルを用いて、線分AD、DB、およびAB上の半円（中心は中点O）を作図し、Dを通る垂線と点Cで交わるようにします。${\displaystyle h={\sqrt {p}}}$BDの長さが1の場合、Bから。

すべての実数が構成可能であるとは限らない。${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$は作図可能な数ではないため、コンパスと定規を使って体積が2 の立方体の辺の長さを作図することは不可能であり、これは古代ギリシャ人が提起したもう一つの問題である。

有理数などの馴染みのある数体系に加えて、体には他にもあまり直接的ではない例があります。次の例は、 O、I、A、Bと呼ばれる 4 つの要素からなる体です。表記法は、O が加法単位元 (上記の公理では 0 と表記) の役割を担い、I が乗法単位元 (上記の公理では1 と表記) となるように選択されています。体の公理は、さらに体論を用いるか、直接計算することで検証できます。たとえば、

A ⋅ ( B + A ) = A ⋅ I = Aとなり、これは分配法則によりA ⋅ B + A ⋅ A = I + B = Aと等しくなります。

この体は有限体または4つの要素を持つガロア体と呼ばれ、F ₄またはGF(4)と表記されます。^{[ 8 ]} OとIからなる部分集合(右側の表で赤で強調表示) も体であり、二元体F ₂またはGF(2)として知られています。

a ⋅ 0 = 0および− a = (−1) ⋅ aとなる。^{[ 9 ]}

ab = 0の場合、 aまたはb は0でなければなりません。なぜなら、a ≠ 0の場合、 b = ( a ⁻¹ a ) b = a ⁻¹ ( ab ) = a ⁻¹ ⋅ 0 = 0となるからです。これは、すべての体が整域であることを意味します。

さらに、任意の要素aおよびbに対して、以下の性質が成り立ちます。

−0 = 0

1 ⁻¹ = 1

−(− a ) = a

( a ⁻¹ ) ⁻¹ = a (a ≠ 0 の場合)

(− a ) ⋅ b = a ⋅ (− b ) = −( a ⋅ b )

体Fの公理から、F は加法に関してアーベル群であることが導かれる。この群は体の加法群と呼ばれ、単にFと表記すると混乱を招く可能性があるため、 ( F , +)と表記されることもある。

同様に、Fの非零要素は乗法に関してアーベル群を形成し、これを乗法群と呼び、で表す。${\displaystyle (F\smallsetminus \{0\},\cdot )}$または単に${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$、またはF ^×。

したがって、体は、加算と乗算という2つの演算を備えた集合Fとして定義でき、Fは加算に関してアーベル群である。${\displaystyle F\smallsetminus \{0\}}$は乗法に関してアーベル群であり（0 は加法の単位元）、乗法は加法に対して分配法則が成り立つ。^{[ b ]}したがって、群の一般的な事実を適用することで、体に関するいくつかの基本的な命題を得ることができる。例えば、加法逆元− aと乗法逆元a ⁻¹はaによって一意に決定される。

1 ≠ 0という条件は、慣例により、単一の要素からなる自明な環を除外するために課せられている。実際、自明な環の非ゼロ要素（存在しない）は群を形成しない。なぜなら、群は少なくとも1つの要素を持たなければならないからである。^{[ c ]}

体の乗法群の有限部分群はすべて巡回群である（1の根§ 巡回群を参照）。

Fの 2 つの要素の乗算に加えて、 Fの任意の要素aと正の整数nの積n ⋅ aをn重和として定義することも可能です。

a + a + ... + a (これはFの要素です。)

正の整数が存在しない場合、

n ⋅ 1 = 0、

すると、F の特性は0であると言われます。^{[ 11 ]}例えば、有理数体Qは、正の整数n がゼロではないので、特性 0 を持ちます。そうでなければ、この等式を満たす正の整数nが存在する場合、そのような最小の正の整数は素数であることが示されます。これは通常pで表され、その体の特性はpであると言われます。例えば、体F _{4 は}(上記の加算表の表記では) I + I = Oなので、特性2を持ちます。

F の特性がpである場合、すべてのa ∈ Fに対してp ⋅ a = 0 となります。これは、

( a + b ) ^p = a ^p + b ^p、

二項式に現れる他のすべての二項係数はpで割り切れるため、ここでa ^p := a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( p個の因子) はp乗、つまり要素aのp重積です。したがって、フロベニウス写像は 

F → F  : x ↦ x ^p

これはFの加算(および乗算)と互換性があり、したがって体準同型である。 ^{[ 12 ]}この準同型の存在により、標数pの体は標数0の体とはかなり異なるものとなる。

体Fの部分体Eは、 Fの体演算に関して体となるFの部分集合です。言い換えれば、Eは1 を含み、非零要素の加算、乗算、加法逆元、乗法逆元に関して閉じているFの部分集合です。これは、 1 ∊ Eであり、すべてのa , b ∊ Eに対してa + bとa ⋅ bの両方がEに含まれ、すべてのa ≠ 0に対して− aと1/ aの両方がEに含まれることを意味します。

体準同型写像は、φ ( e 1 + e ₂ ) = φ ( e ₁ ) + φ ( e ₂ ) 、 φ ( e 1 e 2 ) = φ ( e ₁ ) φ ( e ₂ ) _、およびφ ( _{1 E} ) = 1 Fを満たす2 つの体間の_写像φ : E → _Fです。ここで、 e ₁とe ₂はEの任意の要素です。すべての体準同型写像は単射です。^{[ 13 ]} φが全射でもある場合、それは同型写像と呼ばれます(または、体EとFは同型であると呼ばれます)。

体は、真の（つまり、厳密に小さい）部分体を持たない場合、素体と呼ばれます。任意の体Fは素体を含みます。Fの標数がp（素数）である場合、素体は以下で紹介する有限体F _pと同型です。そうでない場合、素体はQと同型です。^{[ 14 ]}

可換環とは、加算と乗算演算を備え、乗法逆元a ⁻¹の存在を除いて、体のすべての公理を満たす集合である。^{[ 26 ]}例えば、整数Z は可換環を形成するが、体ではない。整数nの逆数は、 n = ±1でない限り、それ自体は整数ではない。

代数構造の階層において、体は、すべての非零元が単元である（つまり、すべての元が可逆である）可換環Rとして特徴づけられる。同様に、体は、正確に 2 つの異なるイデアル(0)とRを持つ可換環である。体は、(0)が唯一の素イデアルである可換環でもある。

可換環Rが与えられたとき、 Rに関連する体を構成する方法は 2 つあります。つまり、すべての非零元が可逆になるようにR を変更する方法は 2 つあります。分数体を作る方法と、剰余体を作る方法です。Z の分数体は有理数体Qであり、 Zの剰余体は有限体F _pです。

与えられたより大きなコンテナフィールド内にフィールドを構築できます。フィールドEと、 Eを部分フィールドとして含むフィールドFが与えられたとします。Fの任意の要素xに対して、 Eとxを含むFの最小の部分フィールドが存在し、これをxによって生成されるFの部分フィールドと呼び、E ( x )と表記します。^{[ 29 ]} EからE ( x )への移行は、要素をEに隣接させることで表されます。より一般的には、部分集合S ⊂ Fに対して、 EとSを含むFの最小部分フィールドが存在し、E ( S )と表記します。

ある体Fの2 つの部分体EとE ′の合成体とは、 EとE ′の両方を含むFの最小の部分体のことである。この合成体を用いて、特定の性質を満たすFの最大の部分体、例えば、後述するようにE上の代数体であるFの最大の部分体を構成することができる。^{[ d ]}

部分体E ⊂ Fの概念は、FがEの体拡大(または単に拡大)であると考えることによって、反対の観点からも考えることができ、それは次のように表される。

F / E、

そして「F over E」と読みます。

体拡張の基本的なデータとして、その次数[ F  : E ] 、つまりEベクトル空間としてのFの次元があります。これは式^{[ 30 ]を満たします。}

[ G  : E ] = [ G  : F ] [ F  : E ]。

次数が有限である拡張は、有限拡張と呼ばれる。拡張C / RとF ₄ / F ₂は次数が2であるのに対し、R / Qは無限拡張である。

体は、厳密にそれより大きい代数的拡大を持たない場合、または同等に、任意の多項式方程式が

f _n x ⁿ + f _{n −1} x ^{n −1} + ⋯ + f ₁ x + f ₀ = 0、係数f _n、 ...、f ₀ ∈ F、n > 0、

解x ∊ Fを持つ。^{[ 33 ]}代数学の基本定理により、Cは代数的に閉じている、つまり、複素係数を持つ任意の多項式方程式は複素解を持つ。有理数と実数は、方程式が代数的に閉じていないため、代数的に閉じていない。

x ² + 1 = 0

有理数解や実数解は存在しない。Fを含む体は、F上で代数的であり（大まかに言えば、 Fに比べて大きすぎない）、かつ代数的に閉じている（すべての多項式方程式の解を含むのに十分な大きさである）場合、 Fの代数的閉包と呼ばれる。

上記より、CはRの代数閉包である。ある体Fの代数閉包がFの有限拡大であることは非常に特殊である。なぜなら、アルティン・シュライアーの定理により、この拡大の次数は必然的に2であり、FはRと初等的に同値だからである。このような体は実閉体とも呼ばれる。

任意の体Fは代数閉包を持ち、さらに (一意でない) 同型を除いて一意である。これは一般に代数閉包と呼ばれ、 F と表記される。例えば、Qの代数閉包Qは代数的数の体と呼ばれる。体Fは、その構成に超フィルター補題(選択公理よりも弱い集合論的公理)を必要とするため、通常は暗黙的である。^{[ 34 ]}この点において、F _qの代数閉包は例外的に単純である。それは、 F _qを含む有限体(位数q ⁿのもの) の和集合である。標数0の任意の代数閉体Fに対して、ローラン級数の体F (( t ))の代数閉包は、 tの根を隣接させることによって得られるピュイズー級数の体である。^{[ 35 ]}

体Fは、任意の 2 つの要素を比較でき、 x ≥ 0 かつy ≥ 0 のとき x + y ≥ 0かつxy ≥ 0が成り立つ場合、順序体と呼ばれます。例えば、実数は通常の順序≥ を持つ順序体を形成します。アルティン・シュライアーの定理は、体が順序体であるのは、それが形式的に実体である場合のみであると述べており、これは任意の二次方程式が 

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0}$

唯一の解としてx ₁ = x ₂ = ⋯ = x _n = 0を持つ。^{[ 36 ]}固定体F上のすべての可能な順序の集合は、 F上の二次形式のWitt 環W( F )からZへの環準同型の集合と同型である。^{[ 37 ]}

アルキメデス体とは、各要素に対して有限の式が存在するような順序体である。

1 + 1 + ⋯ + 1

その値がその要素よりも大きい、つまり無限要素が存在しない。言い換えれば、この体には無限小（すべての有理数よりも小さい要素）が存在しない。あるいは、これと同等に、この体はRの部分体と同型である。

順序付き体は、存在するはずのすべての上限、下限（デデキントカットを参照）、および極限が存在する場合にデデキント完全である。より厳密には、 Fの各有界部分集合は最小上限を持つ必要がある。任意の完全体は必然的にアルキメデス的である^{[ 38 ]。}なぜなら、アルキメデス的でない体には最大の無限小も最小の正の有理数も存在しないため、すべての要素がすべての無限小よりも大きい数列1/2、1/3、1/4、...には極限がないからである。

実数のすべての真部分体にもこのようなギャップが含まれているため、Rは同型を除いて唯一の完全順序体である。^{[ 39 ]}微積分学におけるいくつかの基礎的な結果は、この実数の特徴付けから直接導かれる。

超実数R ^*は、アルキメデス的ではない順序体を形成します。これは、無限数と無限小数を含めることによって得られる実数の拡張です。これらは、それぞれ任意の実数よりも大きく、小さい数です。超実数は、非標準解析の基礎を形成します。

体の概念のもう一つの洗練形は位相体であり、集合Fは位相空間であり、体のすべての演算 (加算、乗算、写像a ↦ − aおよびa ↦ a ⁻¹ ) は、その空間の位相に関して連続写像である。 ^{[ 40 ]}以下で議論するすべての体の位相は、計量、すなわち関数 から誘導される。

d  : F × F → R、

これは、Fの任意の 2 つの要素間の距離を測定するものです。

Fの完備化は、非公式に言えば、元の体Fに「隙間」があれば、それを埋める別の体です。例えば、x = √2のような任意の無理数xは、有理数の体Qにおける「隙間」です。つまり、x はQには含まれませんが、絶対値で与えられる距離で、x に任意に近い有理数が存在するということです。絶対値で定義される距離に対するQの完備化は、実数の体Rであり、コーシー列による実数の構成は、本質的に、そのような隙間をすべて埋めるための新しい数を導入することから成り立っています。

体Q _pは数論やp進解析で用いられる。代数閉包Q _pはQ _p上のノルムを拡張した一意のノルムを持つが、完全ではない。しかし、この代数閉包の完備化は代数的に閉じている。複素数と大まかに類似しているため、複素p進数と呼ばれることもあり、 C _pと表記される。^{[ 41 ]}

微分場とは、微分作用素Dを備えた場であり、すなわち、 $${\displaystyle \mathbf {D} (ab)=\mathbf {D} (a)b+a\mathbf {D} (b)}$$体の すべての要素aとbに対して。 ^{[ 44 ]} 例えば、体R ( X )は、多項式上の標準的な微分演算子Dとともに微分体を形成します。これらの体は、線形微分方程式を扱うガロア理論の変種である微分ガロア理論の中心です。

モデル理論（数理論理学の一分野）において、 2つの体EとFは、 Eに対して真であるすべての数学的命題がFに対しても真であり、かつその逆も成り立つ場合、基本的に同値であると呼ばれる。問題となる数学的命題は、一階述語論理式（ 0、1、加算、乗算を含む）でなければならない。n > 0 （ nは整数）の場合の典型的な例は次のようになる。

φ ( E ) = " Eにおけるn次多項式は、 Eに零点を持つ"

すべてのnに対するそのような式の集合は、Eが代数的に閉じていることを示している 。レフシェッツ原理によれば、Cは標数 0 の任意の代数的に閉じた体Fと初等的に同値である。さらに、任意の固定命題φ がCで成り立つのは、十分高い標数の任意の代数的に閉じた体で成り立つ場合かつその場合に限る。^{[ 50 ]}

U が集合I上の超フィルターであり、F _{i が}Iのすべてのiに対して体である場合、Uに関するF _iの超積は体である。^{[ 51 ]}これは次のように表される。

ulim _{i →∞} F _i、

なぜなら、それはいくつかの点で体F _iの極限として振る舞うからである。Łośの定理によれば、有限個のF _iを除くすべてのF iに対して成り立つ任意の一階述語は、超積に対しても成り立つ。上記の文φに適用すると、同型写像^{[ f ]が存在することがわかる。}

${\displaystyle \operatorname {ulim} _{p\to \infty }{\overline {\mathbf {F} }}_{p}\cong \mathbf {C} .}$

上記のAx–Kochenの定理も、これと超積の同型性（どちらの場合もすべての素数pについて）から導かれる。

ulim _p Q _p ≅ ulim _p F _p (( t ))。

さらに、モデル理論では、実閉体や指数体（指数関数exp  : F → F ^×を備えた体）など、他のさまざまなタイプの体の論理的性質も研究しています。^{[ 52 ]}

代数的に閉じていない（または分離的に閉じていない）体の場合、絶対ガロア群Gal( F )は根本的に重要です。上記で概説した有限ガロア拡大の場合を拡張すると、この群はFのすべての有限分離拡大を支配します。初等的な方法で、群Gal( F _q )は、Zのプロ有限完備化であるプリューファー群であることが示されます。この記述は、 Gal( F _q )の唯一の代数的拡大はn > 0の体Gal( F _{q ⁿ} )であり、これらの有限拡大のガロア群は次のように与えられるという事実を包含しています。

Gal( F _{q ⁿ} / F _q ) = Z / n Z。

p進数体のガロア群 ( Q _pの有限拡大)についても、生成元と関係式による記述が知られています。^{[ 53 ]}

ガロア群やワイル群などの関連群の表現は、ラングランズ・プログラムなど、算術の多くの分野で基本的である。このような表現のコホモロジー的研究は、ガロア・コホモロジーを用いて行われる。^{[ 54 ]}例えば、古典的には中心単純F代数の群として定義されるブラウアー群は、ガロア・コホモロジー群、すなわち として再解釈することができる。

Br( F ) = H ² ( F , G _m )。

ミルナーK理論は次のように定義される。

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=F^{\times }\otimes \cdots \otimes F^{\times }/\left\langle x\otimes (1-x)\mid x\in F\smallsetminus \{0,1\}\right\rangle .}$

ウラジーミル・ヴォエヴォツキーが2000年頃に証明したノルム剰余同型定理は、同型写像によってこれをガロアコホモロジーと関連付けている。

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/p=H^{n}(F,\mu _{l}^{\otimes n}).}$

代数的K理論は、係数が与えられた体である可逆行列の群と関連しています。例えば、可逆行列の行列式を取ると、同型写像K ₁ ( F ) = F ^×が得られます。松本定理によれば、K ₂ ( F )はK ₂ ^M ( F )と一致します。次数が高くなると、K理論はミルナーK理論から乖離し、一般に計算が困難になります。

a ≠ 0の場合、方程式は

ax = b

体Fにおいて一意の解xを持ち、すなわち${\displaystyle x=a^{-1}b.}$体の定義のこの直接的な帰結は、線形代数において基本的である。例えば、ガウス消去法や任意のベクトル空間が基底を持つことの証明に不可欠な要素である。^{[ 55 ]}

加群理論（体ではなく環上のベクトル空間の類似概念）は、上記の方程式が複数の解を持つ場合もあれば、解を持たない場合もあるため、はるかに複雑です。特に、環上の線形方程式系は、体の場合よりも解くのがはるかに難しく、整数環Zのような非常に単純な場合でさえ同様です。

広く用いられている暗号化ルーチンは、離散べき乗、すなわち計算

a ⁿ = a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ( n個の因数、 n ≥ 1 の整数)

（大きな）有限体F _qでは、逆演算である離散対数よりもはるかに効率的に実行できます。つまり、方程式の解nを決定することです。

a ⁿ = b。

楕円曲線暗号では、有限体における乗算は、楕円曲線上の点の加算、すなわち、次の形式の方程式の解の加算に置き換えられます。

y² = x³ + ax + b.

Finite fields are also used in coding theory and combinatorics.

Functions on a suitable topological spaceX into a field F can be added and multiplied pointwise, e.g., the product of two functions is defined by the product of their values within the domain:

(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x).

This makes these functions a F-commutative algebra.

For having a field of functions, one must consider algebras of functions that are integral domains. In this case the ratios of two functions, i.e., expressions of the form

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$

form a field, called field of functions.

This occurs in two main cases. When X is a complex manifoldX. In this case, one considers the algebra of holomorphic functions, i.e., complex-valued differentiable functions. Their ratios form the field of meromorphic functions on X.

The function field of an algebraic varietyX (a geometric object defined as the common zeros of polynomial equations) consists of ratios of regular functions, i.e., ratios of polynomial functions on the variety. For example, the function field of the n-dimensional vector space Fⁿ over a field F is F(x₁, ..., x_n): the field consisting of ratios of polynomials in n indeterminates over F. The function field of X is the same as the one of any open dense subvariety. In other words, the function field is insensitive to replacing X by a (slightly) smaller subvariety.

関数体は、多様体の同型と双有理同値の下で不変です。したがって、抽象代数多様体の研究や代数多様体の分類にとって重要なツールです。たとえば、F ( X )の超越度に等しい次元は、双有理同値の下で不変です。^{[ 56 ]}曲線(つまり、次元が 1 の場合)では、関数体F ( X )はXに非常に近いです。X が滑らかで適切 (コンパクトであることの類似) であれば、 Xは、同型を除いて、その関数体から再構成できます。^{[ g ]}高次元では、関数体はXについてより少ない、しかし決定的な情報を記憶しています。高次元における関数体とその幾何学的意味の研究は、双有理幾何学と呼ばれます。最小モデルプログラムは、所定の関数体を持つ最も単純な (ある厳密な意味で) 代数多様体を特定しようとします。

代数的整数論と算術幾何学では、大域的体が注目されています。定義上、これらは数体（Qの有限拡大）またはF _q上の関数体（F _q ( t )の有限拡大）です。局所的体と同様に、これら 2 種類の体は、それぞれ標数が0と正の標数であるにもかかわらず、いくつかの類似した特徴を共有しています。この関数体との類推は、多くの場合、まず関数体に関する問題を理解し、その後数体の場合を扱うことで、数学的な期待を形成するのに役立ちます。後者の方が難しい場合が多いです。たとえば、リーマン ゼータ関数の零点に関するリーマン予想（2017 年現在未解決）は、ワイル予想（1974 年にピエール ドリーニュによって証明）と並行していると考えることができます。

円分体は、最も集中的に研究されている数体の一つです。円分体は Q ( ζ n ) の形をしており、ζ n は原始的な n 乗根、すなわちζ _n = 1かつ₀ < m < n^に対してζ m ≠ 1を満たす複素数ζ^です。 [ 57 ] n^{が正則素数}である場合、クンマーは円分体を用いてフェルマーの最終定理を証明しました。この定理は、方程式に有理数の非ゼロ解が存在しないことを主張しています。

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ。

局所体は大域体の完備化である。オストロフスキーの定理は、大域体Qの完備化は局所体Q _pとRのみであることを主張している。大域体における算術の問題の研究は、対応する問題を局所的に調べることで行われる場合がある。この手法は局所-大域原理と呼ばれる。例えば、ハッセ-ミンコフスキーの定理は、二次方程式の有理解を求める問題を、RとQ _pにおけるこれらの方程式を解くことに帰着させ、その解は容易に記述できる。^{[ 58 ]}

局所体とは異なり、大域体のガロア群は知られていない。逆ガロア理論は、任意の有限群が、ある数体Fのガロア群Gal( F / Q )であるかどうかという（未解決の）問題を研究している。^{[ 59 ]}クラス体理論は、アーベル拡大、すなわちアーベルガロア群を持つ拡大、あるいは同等に大域体のアーベル化されたガロア群を記述する。古典的な定理であるクロネッカー・ウェーバーの定理は、 Qの最大アーベルQ ^ab拡大を記述する。それは体である。

Q ( ζ _n , n ≥ 2)

1 の原始n乗根をすべて隣接させることによって得られる。クロネッカーの青春の夢は、一般の数体FのF ^abの同様に明示的な記述を求めている。虚数二次体の場合、${\displaystyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})}$d > 0 の場合、複素乗法理論では楕円曲線を用​​いてF ^abを記述します。一般的な数体については、そのような明示的な記述は知られていません。

体の定義において 1 つまたは複数の公理を削除すると、他の代数構造が得られます。前述のように、可換環は乗法逆元の存在を除いて、すべての体の公理を満たします。代わりに乗法の可換性を削除すると、除算環または斜体の概念が得られます。結合法も弱められる場合があります。歴史的には、除算環は「体」と呼ばれることがあり、体は「可換体」と呼ばれていました。有限次元Rベクトル空間である除算環は、 R自体、C (これは体です)、および四元数H (乗法が非可換) のみです。この結果はフロベニウスの定理として知られています。乗法が可換でも結合法でもない八元数Oは、ノルム付き代替除算代数ですが、除算環ではありません。この事実は、 1958年にミシェル・ケルヴェール、ラウル・ボット、ジョン・ミルナーによって代数トポロジーの方法を用いて証明された。^{[ 62 ]}

ウェダーバーンの小定理は、すべての有限除法環は体であると述べている。