有限単純群のリスト

単純性: n ≥ 1の場合単純です。群 ² B ₂ (2) は解くことができます。

順序: q ² ( q ² + 1) ( q  −  1)、ただし q  =  2 ^{2 n +1}。

シュール乗数: n ≠ 1の場合は自明、 ² B ₂ (8)の場合は位数 4 の基本アーベル群。

外部自己同型群:

1⋅ f ⋅1、

ここでf  =  2 n + 1 である。

別名： Suz(2 ^{2 n +1} )、Sz(2 ^{2 n +1} )。

同型写像: ² B ₂ (2) は位数 20 のフロベニウス群です。

注記：鈴木群は、サイズが (2 ^{2 n +1} ) ² + 1の集合に作用するザッセンハウス群であり、2 ^{2 n +1}個の要素を持つ体上の 4 次元表現を持ちます。これらは、位数が 3 で割り切れない唯一の非巡回単純群です。散在型鈴木群とは関連がありません。  

単純性: n  ≥ 1の場合、単純です。 導来群² F _{4 (2)′ は}² F ₄ (2)の指数 2 の単純群であり、ベルギーの数学者ジャック・ティッツにちなんでティッツ群と呼ばれています。

順序: q ¹² ( q ⁶  +  1) ( q ⁴  −  1) ( q ³  +  1) ( q  −  1)、ただし q  =  2 ^{2 n +1}。

Tits 群の位数は 17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13 です。

Schur乗数：n  ≥  1 および Tits グループの場合は自明です。

外部自己同型群:

1⋅ f ⋅1、

ここでf  =  2 n  +  1 です。Tits 群の次数は 2 です。

注記:他の単純なリー群とは異なり、ティッツ群にはBNペアがありませんが、自己同型群にはBNペアがあるため、ほとんどの著者はティッツ群を「名誉」リー群として分類しています。

単純性: n  ≥ 1の場合、単純です。 群² G ₂ (3) は単純ではありませんが、その派生群² G ₂ (3)′ は指数 3 の単純部分群です。

次数: q ³ ( q ³  +  1) ( q  −  1)、ただし q  =  3 ^{2 n +1}

シュール乗数: n  ≥  1 および² G ₂ (3)′の場合、自明です。

外部自己同型群:

1⋅ f ⋅1、

ここでf  =  2 n  +  1 である。

その他の名称: Ree(3 ^{2 n +1} ), R(3 ^{2 n +1} ), E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} ) 。

同型性:導来群² G _{2 (3)′ は}A ₁ (8)と同型である。

備考: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) は3 ^{3(2 n +1)} + 1 点に対して二重推移的な置換表現を持ち、3 ^{2 n +1}個の要素を持つ体上の 7 次元ベクトル空間に作用します。  

次数： 29 ⋅ 32 ^⋅ 53 ^{⋅ 7} ⋅ 11 = 44352000

シュール乗数： 次数2。

外部自己同型群：位数2。

備考:これは、100 点の Higman Sims グラフ上のランク 3 の置換群として機能し、Co ₂および Co ₃に含まれています。

次数： 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

シュール乗数： 3次。

外部自己同型群：位数2。

備考:マクラフリングラフ上でランク 3 の置換群として機能し、275 個の点を持ち、Co ₂および Co ₃に含まれています。

次数: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

シュール乗数：自明。

外部自己同型群：位数2。

その他の名称： Held–Higman–McKay_グループ、HHM、F7、HTH

備考：モンスター群の中で、7次の要素を中央に配置する。

次数: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

シュール乗数：次数2。

外部自己同型群：自明。

備考：二重カバーはガウス整数上の28次元格子に作用します。

順序: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

シュール乗数： 次数6。

外部自己同型群：位数2。

その他の名前: Sz

注記： 6重被覆は、アイゼンシュタイン整数上の12次元格子に作用する。これは、リー型の鈴木群とは関係がない。

順序: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

シュール乗数： 3次。

外部自己同型群：位数2。

その他の名称：オナン・シムズ・グループ、O'NS、O–S

備考： この三重被覆は、7つの要素を持つ体上の2つの45次元表現を持ち、それらは外部自己同型写像​​によって交換される。

順序: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

シュール乗数：自明。

外部自己同型群：位数2。

その他の名称：F ₅、D

備考：モンスター群の中で、位数5の要素を中央に配置。

順序: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

シュール乗数：自明。

外部自己同型群：自明。

その他の名称：ライオンズ・シムズ・グループ、LyS

備考： 5つの要素を持つ体上に111次元の表現を持つ。

順序: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

シュール乗数：自明。

外部自己同型群：自明。

その他の名称: F ₃、E

備考：モンスターの中に3次の要素を集中させる。248次元表現を持ち、これを3で割った余りを縮約すると、E ₈ (3) に含まれる。

注文：

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

シュール乗数：次数2。

外部自己同型群：自明。

_その他の名称：F2

備考：この二重被覆はモンスター群に含まれています。複素数体上では次元4371の表現を持ち（非自明な不変積は存在しない）、体上では次元4370の表現を持ち、可換ではあるが結合法則を満たさない積を2つの要素で保持します。

注文：

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

シュール乗数：自明。

外部自己同型群：自明。

その他の名称: F ₁、M ₁、モンスターグループ、フレンドリージャイアント、フィッシャーのモンスター。

備考:他の散在群のうち 6 つを除くすべてを部分商として含んでいます。monstrous moonshineに関連しています。モンスターは 196,883 次元のGriess 代数と無限次元のモンスター頂点作用素代数の自己同型群であり、モンスター Lie 代数に自然に作用します。