マチューグループ

群論（_抽象代数学の一分野）において、マチュー群はエミール・マチュー（ 1861年、1873_年）によって導入された5つの散在単純群M11、M12、M22、M23、M24である。これらは11、12、22、23、24個の対象上_の多重推移的置換群である。これらは最初に発見された散在単純群_である。 

関連する群 (それぞれ 8、9、10、20、21 点の集合に作用する)、すなわちより大きな群の点の安定化群には、 M ₈、M ₉、M ₁₀、M ₂₀、M ₂₁という表記が使われることがあります。これらは散在単純群ではありませんが、より大きな群の部分群であり、より大きな群を構成するために使用できます。ジョン・コンウェイは、この数列を上に拡張して、13 点に作用するマチュー群M ₁₃を得ることもできることを示しました。M _{21 は}単純ですが、散在単純群ではなく、射影特殊線形群PSL(3,4)と同型です。

マチュー（1861 、p.271）は多重推移的置換群の研究の一環として群M ₁₂を導入し、群M ₂₄について簡単に言及し（274 ページ） 、その位数を示した。マチュー（1873）では、彼の群の明示的な生成集合を含む詳細を示したが、彼の議論から生成される群が単なる交代群ではないことは容易にはわからず、数年間、彼の群の存在は論争の的となった。 ミラー（1898）は、 M _{24 が}存在しないことを証明したと誤って主張する論文を発表したが、その後すぐに（ミラー 1900 ）で、彼の証明が間違っていることを指摘し、マチュー群が単純であることを証明した。カーマイケル（1931年）と後に ウィット（1938a 、1938b ）は、置換群の連続的推移的拡張として、またシュタイナー系の自己同型群としてこれらの群を構成することにより、これらの群の存在に関する疑念を最終的に払拭した。  

マチュー群以降、1965年にJ1群_が発見されるまで、新たな散在銀河群は発見されなかった。

マチューは多重推移的な置換群を見つけることに興味を持っており、これからそれを定義する。自然数kに対して、 n個の点に作用する置換群Gは、すべてのa _iが異なり、すべてのb _iが異なるという性質を持つ 2 つの点の集合a ₁ , ... a _kとb ₁ , ... b _kが与えられたとき、 1 からkまでの各iに対してa _iをb _iに写像する群要素gがGに存在する場合に k-推移的である。このような群は、要素gが一意である場合 (つまり、 k組に対する作用が推移的であるだけでなく、正則である場合) に厳密にk-推移的であると呼ばれる。

M ₂₄は 5-推移的であり、M ₁₂は厳密に 5-推移的である。他のマチュー群 (単純群または非単純群) はm点の安定化群に対応する部分群であり、したがって推移性は低い ( M _{23は 4-推移的など)。これらは、}対称群でも交代群 でもない唯一の 2 つの 5-推移的群である( Cameron 1992 、p. 139)。

4-推移的な群は、 kが4 以上の対称群S _k 、 kが6 以上の交代群A _{k 、およびマチュー群}M ₂₄、M ₂₃、M ₁₂、M ₁₁のみです。( Cameron 1999 、p. 110)完全な証明には有限単純群の分類が必要ですが、いくつかの特殊なケースはそれよりもずっと前から知られています。

ジョルダンの古典的な結果によれば、対称群と交代群（それぞれ次数がkとk  +  2）、およびM ₁₂とM _11は、 k が4以上の場合に唯一厳密にk推移的な置換群である。 

多重推移群の重要な例としては、2-推移群とザッセンハウス群が挙げられる。ザッセンハウス群には、有限体上の射影直線の射影一般線形群PGL(2, F _q ) が含まれる。これは、厳密に 3-推移的である（交差比を参照）。${\displaystyle q+1}$要素。

マチュー群は様々な方法で構成することができる。

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• _{アトラス：}マチュー群M10
• _{アトラス：}マチュー群M11
• _{アトラス：}マチュー群M12
• _{アトラス：}マチュー群M20
• _{アトラス：}マチュー群M21
• _{アトラス：}マチュー群M22
• _{アトラス：}マチュー群M23
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• _グループ名におけるマチュー群M9
• サイエンティフィック・アメリカン誌掲載記事：マチュー群の数学に基づいたパズル集
• Sporadic M12 M12をベースにしたパズルを実装した iPhone アプリ。1 つの「スピン」順列と選択可能な「スワップ」順列として表示されます_。