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数学の一分野である圏論において、群対象とは、集合よりも複雑な構造に基づいて構築される群の特定の一般化である。群対象の典型的な例は位相群であり、これは基になる集合が位相空間であり、群演算が連続的である群である。
意味
形式的には、有限積を持つカテゴリ Cから始める（つまり、 Cは終端オブジェクト1を持ち、 Cの任意の2つのオブジェクトは積を持つ）。Cのグループオブジェクトは、 CのオブジェクトGと射
- m : G × G → G（「群乗法」と考えられる）
- e : 1 → G (「単位元の包含」と考えられる)
- inv : G → G（「反転演算」と考えられる）
以下の性質（群の公理、より正確には普遍代数学で使用される群の定義に基づいてモデル化）が満たされる。
- mは結合的、すなわち、射G × G × G → Gとしてm ( m × id G ) = m (id G × m ) であり、たとえばm × id G : G × G × G → G × Gである。ここで、 G × ( G × G ) を標準的な方法で ( G × G ) × Gと同一視する。
- eはmの2辺単位、すなわちm (id G × e ) = p 1 であり、ここでp 1 : G × 1 → G は標準射影であり、 m ( e × id G ) = p 2であり、ここでp 2 : 1 × G → Gは標準射影である。
- inv はmの両側逆です。つまり、d : G → G × Gが対角写像で、e G : G → Gが一意の射G → 1 (コユニットとも呼ばれる) とeの合成である場合、m (id G × inv ) d = e Gかつm ( inv × id G ) d = e Gです。
これはマップの観点から述べられていることに注意してください。つまり、積と逆はカテゴリ内のマップである必要があります。また、グループ オブジェクトの基礎となる「要素」を参照せずに、一般にカテゴリにはオブジェクトの要素がないことに注意してください。
上記を別の方法で述べると、C内のすべてのオブジェクトXに対して、 XからGへの射 Hom( X , G )上にグループ構造があり、 XからHom( X , G ) への関連付けがCからグループのカテゴリへの(反変) 関手である場合、 G はカテゴリCのグループ オブジェクトであると言えます。
例
- 群構造 ( G , m , u , −1 ) を定義できる各集合G は、集合のカテゴリにおける群オブジェクトと見なすことができます。写像mは群演算であり、写像e (その定義域は単元)はGの単位元uを取り出し、写像inv はすべての群元にその逆を割り当てます。e G : G → G は、Gのすべての元を単位元に送る写像です。
- 位相群は、連続関数を持つ位相空間のカテゴリ内のグループ オブジェクトです。
- リー群は、滑らかな写像を持つ滑らかな多様体のカテゴリ内の群オブジェクトです。
- リー超群は、超多様体のカテゴリ内のグループ オブジェクトです。
- 代数群は代数多様体のカテゴリにおける群オブジェクトです。現代の代数幾何学では、より一般的な群スキーム、つまりスキームのカテゴリにおける群オブジェクトを考慮します。
- ローカリック グループは、ロケールのカテゴリ内のグループ オブジェクトです。
- 群 (またはモノイド)のカテゴリにおける群対象はアーベル群です。これは、inv が準同型であると仮定すると、G はアーベルでなければならないためです。より正確には、Aがアーベル群であり、mでAの群乗法、eで単位元の包含、invでA の反転演算を表すとすると、 ( A , m , e , inv ) は群 (またはモノイド) のカテゴリにおける群対象です。逆に、 ( A , m , e , inv ) がそれらのカテゴリのいずれかにおける群対象である場合、m は必然的にAに対する指定された演算と一致し、eはAに対する指定された単位元の包含、inv は反転演算であり、指定された演算を伴うAはアーベル群です。エックマン–ヒルトンの議論も参照してください。
- 厳密な2 群は、小さなカテゴリのカテゴリ内のグループ オブジェクトです。
- 有限余積を持つカテゴリCが与えられた場合、余群オブジェクトは、グループオブジェクトの公理の双対バージョンを満たす「余乗法」 m : G → G G、「余同一性」e : G → 0、および「余反転」inv : G → Gを伴うC のオブジェクト G です。ここで、0 はCの初期オブジェクトです。余群オブジェクトは、代数位相幾何学で自然に発生します。
参照
- ホップ代数は、群オブジェクトのモノイドカテゴリへの一般化として見ることができます。
- 群体オブジェクト