小グループのリスト

数学における次のリストには、群同型までの小さい位数の有限群が含まれています。

カウント

n = 1, 2, …の場合、位数nの非同型群の数は

1、1、1、2、1、2、1、5、2、2、1、5、1、2、1、14、1、5、1、5、...（OEISのシーケンスA000001）

ラベル付きグループについては、OEIS :A034383を参照してください。

用語集

各グループは Small Groups ライブラリによって G _oⁱと命名されます。ここで、oはグループの順序、i はその順序内でグループにラベルを付けるために使用されるインデックスです。

一般的なグループ名:

Z _n :位数nの巡回群（表記法 C _nも使用される。これはZ / n Zの加法群と同型である）
Dih _n : 2 n次の二面体群(D _nまたは D ₂_nという表記がよく使われる)
- K ₄ :位数4のクラインの4元群。Z 2 × Z ₂およびDih ₂と同じ_。
D _{2 n} : 位数 2 nの二面体群。Dih _nと同じ（「小さな非可換群の一覧」の節で使用されている表記）
S _n : n個の要素のn !個の順列を含むn次対称群
A _n : n次交代群。n個の要素の偶順列を含み、 n = 0, 1のときは位数 1 、それ以外のときは位数n !/2である。
Dic _nまたは Q _{4 n} :位数 4 nの二環式群
- Q ₈ :位数 8 の四元数群、Dic _{2とも呼ばれる}

_{Z n}と Dih _{n の}表記には、3 次元の点群C _nと D _{n が}同じ表記を持たないという利点があります。同じ抽象群タイプの等長変換群は、これら 2 つ以外にもたくさんあります。

G × Hという表記は、2 つの群の直積を表します。G ^{n は}、群とそれ自身のn回の直積を表します。G ⋊ H は、H がGに作用する半直積を表します。これは、 HのGへの作用の選択にも依存します。

アーベル群と単純群が記されている。(位数n < 60の群の場合、単純群はまさに巡回群 Z _n （ nが素数）である。)等号 ("=") は同型性を表す。

サイクルグラフの単位元は、黒い円で表されます。サイクルグラフがグループを一意に表さない最低の次数は 16 です。

部分群のリストには、自明な群と群自体はリストされていません。同型部分群が複数ある場合は、そのような部分群の数が括弧内に表示されます。

山括弧<関係> はグループの表現を示します。

小さなアーベル群の一覧

有限アーベル群は巡回群かその直積である。アーベル群を参照。位数n = 1, 2, ... の非同型アーベル群の数は

1、1、1、2、1、1、1、3、2、1、1、2、1、1、1、5、1、2、1、2、...（OEISの配列A000688）

ラベル付きアーベル群については、OEIS :A034382を参照してください。

小さな非可換群の一覧

非アーベル群の数は、順序によって（OEISのシーケンスA060689）で数えられる。しかし、多くの順序には非アーベル群がない。非アーベル群が存在する順序は以下のとおりである。

6、8、10、12、14、16、18、20、21、22、24、26、27、28、30、32、34、36、38、39、40、42、44、46、48、50、...（OEISの配列A060652）

小さな順序のグループの分類

素数冪順序p ⁿの小群は次のように与えられます。

順序p : 唯一のグループは巡回的です。
順序p ² : グループは 2 つだけあり、どちらもアーベルです。
位数p ³ : アーベル群は 3 つ、非アーベル群は 2 つあります。非アーベル群の 1 つは、位数p ^{2の正規巡回部分群と位数}pの巡回群との半直積です。もう 1 つは、 p = 2 のときの四元数群とp > 2のときの指数pの群です。
p の順序⁴ : 分類は複雑で、pの指数が大きくなるにつれて難しくなります。

小さい位数の群のほとんどは、位数を割り切る素数pに対して正規 p 補集合Nを持つシローp部分群Pを持つので、可能な素数p、p群P、群N、およびPのNへの作用によって分類できます。ある意味では、これによりこれらの群の分類がp群の分類に還元されます。正規p補集合を持たない小さな群には、次のものがあります。

順序24: 対称群 S ₄
順序48: 二元八面体群と積S ₄ × Z ₂
順序60: 交代群A ₅。

非同型群がいくつあるか分からない最小の順序は2048 = 2 ¹¹である。^[7]

小グループライブラリ

GAPコンピュータ代数システムには、「小群ライブラリ」と呼ばれるパッケージが含まれており、小群の記述にアクセスできます。群は同型までリストされています。現在、ライブラリには次の群が含まれています。^[8]

1024次を除く最大2000次群^{[9] （ライブラリには}423,164,062個のグループがあるが、 1024次群にはさらに49,487,367,289個の非同型2群があるため、1024次群はスキップする必要があった^[10]）。
キューブフリー次数が最大50000のもの（395 703グループ）
スクエアフリーオーダーのもの。
nが最大 6 でp が素数であるp ^{n の}位数のもの。
p = 3、5、7、11の場合のp ^7の順序のもの（907 489グループ）
pq ^{n の}順序の数。ただしq ^{n は}2、8、3、6、5、5、7、4^を^割り切り、pは^qとは異なる任意^の素数である。
順序が最大 3 つの素数 (必ずしも異なるとは限らない) に因数分解されるもの。

利用可能なグループの明示的な説明がコンピュータで読み取り可能な形式で含まれています。

Small Groups ライブラリに情報がない最小の順序は 1024 です。

参照

注記

^ abグループが小グループライブラリから 1 から始まる順序o、次にインデックスiで番号付けされる場合の識別子。

^ ab Dockchitser, Tim. 「グループ名」。 2023年5月23日閲覧。
^ 同型 Z ₆ = Z ₃ × Z ₂を示す実例を参照してください。
^ Chen, Jing; Tang, Lang (2020). 「二環式群上の可換グラフ」.代数コロキウム. 27 (4): 799–806. doi :10.1142/S1005386720000668. ISSN 1005-3867. S2CID 228827501.
^ abcdefg Coxeter, HSM (1957).離散群の生成元と関係. ベルリン: Springer. doi :10.1007/978-3-662-25739-5. ISBN 978-3-662-23654-3. <l,m,n>: R ^l =S ^m =T ⁿ =RST:
^ Wild, Marcel (2005). 「The Groups of Order Sixteen Made Easy」(PDF) . Am. Math. Mon. 112 ( 1): 20–31. doi :10.1080/00029890.2005.11920164. JSTOR 30037381. S2CID 15362871. 2006-09-23 のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
^ 「対称群の部分群構造:S4 - Groupprops」。
^ Eick, Bettina; Horn, Max; Hulpke, Alexander (2018). Small Order のグループの構築: 最近の結果と未解決の問題(PDF) . Springer. pp. 199–211. doi :10.1007/978-3-319-70566-8_8. ISBN 978-3-319-70566-8。
^ ハンス・ウルリッヒ・ベッシェ「小グループ図書館」2012年3月5日アーカイブ、Wayback Machineより
^ 「与えられた順序の有限群の同型型の数」www.icm.tu-bs.de。 2019年7月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年4月5日閲覧。
^ Burrell, David (2021-12-08). 「1024次の群の数について」. Communications in Algebra . 50 (6): 2408–2410. doi :10.1080/00927872.2021.2006680.

参考文献

Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980)。離散群の生成元と関係。ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 0-387-09212-9。表1、非アーベル群の位数<32。
Hall, Jr., Marshall ; Senior, James K. (1964). 「The Groups of Order 2 ⁿ ( n ≤ 6)」. MathSciNet . Macmillan. MR 0168631.64 を分割する順序の 340 のグループのカタログ。各グループのサブグループの定義関係、定数、および格子の表が含まれています。

外部リンク

グループプロパティ Wiki の特定のグループ
Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, E. 「Small Group Library」。2012-03-05 にオリジナルからアーカイブ。
GroupNames データベース
ホール、ジュニア、マーシャル; シニア、ジェームズ・クーン (1964) 。2n次群 (n ≤ 6)。ニューヨーク: マクミラン / ロンドン: コリア・マクミラン社。LCCN 64016861

[id-1] グループが小グループライブラリから 1 から始まる順序o、次にインデックスiで番号付けされる場合の識別子。

[Dockchitser-2] Dockchitser, Tim. 「グループ名」。 2023年5月23日閲覧。

[3] 同型 Z ₆ = Z ₃ × Z ₂を示す実例を参照してください。

[ChenTang2020-4] Chen, Jing; Tang, Lang (2020). 「二環式群上の可換グラフ」.代数コロキウム. 27 (4): 799–806. doi :10.1142/S1005386720000668. ISSN 1005-3867. S2CID 228827501.

[anglebracket-5] Coxeter, HSM (1957).離散群の生成元と関係. ベルリン: Springer. doi :10.1007/978-3-662-25739-5. ISBN 978-3-662-23654-3. <l,m,n>: R ^l =S ^m =T ⁿ =RST:

[6] Wild, Marcel (2005). 「The Groups of Order Sixteen Made Easy」(PDF) . Am. Math. Mon. 112 ( 1): 20–31. doi :10.1080/00029890.2005.11920164. JSTOR 30037381. S2CID 15362871. 2006-09-23 のオリジナル(PDF)からアーカイブ。

[7] 「対称群の部分群構造:S4 - Groupprops」。

[8] Eick, Bettina; Horn, Max; Hulpke, Alexander (2018). Small Order のグループの構築: 最近の結果と未解決の問題(PDF) . Springer. pp. 199–211. doi :10.1007/978-3-319-70566-8_8. ISBN 978-3-319-70566-8。

[gap-9] ハンス・ウルリッヒ・ベッシェ「小グループ図書館」2012年3月5日アーカイブ、Wayback Machineより

[10] 「与えられた順序の有限群の同型型の数」www.icm.tu-bs.de。 2019年7月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年4月5日閲覧。

[Burrell-11] Burrell, David (2021-12-08). 「1024次の群の数について」. Communications in Algebra . 50 (6): 2408–2410. doi :10.1080/00927872.2021.2006680.