群同型性

抽象代数学において、群同型とは、与えられた群演算を尊重しながら、2つの群の要素間に全単射を設定する2つの群間の関数である。2つの群間に同型が存在する場合、それらの群は同型であると呼ばれる。群論の観点からは、同型群は同じ性質を持ち、区別する必要はない。^{[ 1 ]}

2つのグループが与えられた場合${\displaystyle (G,*)}$そして${\displaystyle (H,\odot ),}$群同型から${\displaystyle (G,*)}$に${\displaystyle (H,\odot )}$は全単射群準同型である${\displaystyle G}$に${\displaystyle H.}$つまり、群同型写像は全単射関数であるということである。${\displaystyle f:G\to H}$すべての${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$で${\displaystyle G}$それは、 $${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v).}$$

2つのグループ${\displaystyle (G,*)}$そして${\displaystyle (H,\odot )}$一方から他方への同型写像が存在する場合、それらは同型である。^{[ 1 ] [ 2 ]}これは次のように書かれている。 $${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot ).}$$

多くの場合、より短く簡単な表記法が使用できます。関連する群演算が理解されている場合は、それらは省略され、次のように記述されます。 $${\displaystyle G\cong H.}$$

時には単に書くだけでも${\displaystyle G=H.}$このような表記が混乱や曖昧さを生じさせないかどうかは、文脈によって異なります。例えば、両方のグループが同じグループのサブグループである場合、等号はあまり適切ではありません。例も参照してください。

逆に、グループが与えられた場合${\displaystyle (G,*),}$セット${\displaystyle H,}$そして全単射${\displaystyle f:G\to H,}$私たちは作ることができます${\displaystyle H}$グループ${\displaystyle (H,\odot )}$定義することによって $${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v).}$$

もし${\displaystyle H=G}$そして${\displaystyle \odot =*}$すると、全単射は自己同型写像​​となる（参照）。

直感的に、群論者は同型群を次のように捉えます。すべての要素について${\displaystyle g}$グループの${\displaystyle G,}$要素が存在する${\displaystyle h}$の${\displaystyle H}$そのため${\displaystyle h}$「同じように振る舞う」${\displaystyle g}$（グループの他の要素と同様に動作する）${\displaystyle g}$例えば、${\displaystyle g}$生成する${\displaystyle G,}$そうすれば${\displaystyle h.}$これは特に、${\displaystyle G}$そして${\displaystyle H}$これらは全単射対応の関係にある。したがって、同型性の定義はごく自然なものである。

群の同型写像は、可逆群準同型写像として定義することもできる（全単射群準同型写像の逆関数もまた群準同型写像である）。

このセクションでは、同型群の注目すべき例をいくつか挙げます。

• 加算の対象となるすべての実数のグループ、${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$は、乗法に関して正の実数の群と同型である。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$:

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$同型性を介して${\displaystyle f(x)=e^{x}}$。

• グループ${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の（加算を含む）は、${\displaystyle \mathbb {R} ,}$そして因子グループ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$群と同型である${\displaystyle S^{1}}$絶対値が1の複素数(乗法に関して):

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• クラインの4群は、 2つのコピーの直積と同型である。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$したがって、次のように書くことができる。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$別の表記法は${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2},}$なぜならそれは二面体群だからです。
• これを一般化すると、奇数${\displaystyle n,}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$は、の直積と同型である。${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$そして${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• もし${\displaystyle (G,*)}$は無限巡回群である、ならば${\displaystyle (G,*)}$は（加算演算を含む）整数と同型である。代数的な観点から言えば、これは（加算演算を含む）すべての整数の集合が「唯一の」無限巡回群であることを意味する。

選択公理に依拠すれば、いくつかの群が同型であることを証明できるが、その証明は具体的な同型写像の構成方法を示していない。例：

• グループ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$群と同型である${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$加算に関するすべての複素数。^{[ 3 ]}
• グループ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$乗算を演算とする非ゼロ複素数の群は、${\displaystyle S^{1}}$上記で述べたとおり。

同型写像の核は${\displaystyle (G,*)}$に${\displaystyle (H,\odot )}$は常に {e _G } であり、e _Gは群の単位元である。${\displaystyle (G,*)}$

もし${\displaystyle (G,*)}$そして${\displaystyle (H,\odot )}$同型である場合、${\displaystyle G}$アーベル群であるのは、${\displaystyle H}$アーベル群である。

もし${\displaystyle f}$は同型写像である${\displaystyle (G,*)}$に${\displaystyle (H,\odot ),}$すると、どんな${\displaystyle a\in G,}$の順序​${\displaystyle a}$のオーダーに等しい${\displaystyle f(a).}$

もし${\displaystyle (G,*)}$そして${\displaystyle (H,\odot )}$同型である場合、${\displaystyle (G,*)}$が局所的に有限な群であるのは、${\displaystyle (H,\odot )}$局所的に有限である。

位数が の異なる群の数 (同型を除いて)${\displaystyle n}$OEISのシーケンスA000001で与えられます。最初の数桁は 0、1、1、1、2 であり、これは 4 が複数のグループを持つ最小の次数であることを意味します。

与えられた位数のすべての巡回群は、${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$どこ${\displaystyle +_{n}}$加算モジュロを表す${\displaystyle n.}$

させて${\displaystyle G}$循環群であり、${\displaystyle n}$の順序である${\displaystyle G.}$賃貸${\displaystyle x}$ジェネレーターになる${\displaystyle G}$、${\displaystyle G}$は${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.}$ 私たちはそれを証明します $${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$$

定義する $${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},}$$となることによって${\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}$ 明らかに、${\displaystyle \varphi }$は全単射である。 $${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}$$ これは、${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

定義から、任意の同型写像は${\displaystyle f:G\to H}$アイデンティティ要素をマッピングします${\displaystyle G}$アイデンティティ要素へ${\displaystyle H,}$$${\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$$ それは逆数を逆数にマッピングし、 $${\displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ さらに一般的に言えば、${\displaystyle n}$権限を${\displaystyle n}$権力、 $${\displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ そして逆写像${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$これも群同型写像である。

「同型である」という関係は同値関係である。${\displaystyle f}$2つのグループ間の同型写像${\displaystyle G}$そして${\displaystyle H,}$そして、真実であるすべてのこと${\displaystyle G}$グループ構造のみに関連するものは、${\displaystyle f}$真の同上声明に${\displaystyle H,}$そしてその逆もまた然り。

群からの同型写像${\displaystyle (G,*)}$自身への写像は群の自己同型写像​​と呼ばれる。したがって、それは全単射である。${\displaystyle f:G\to G}$そのため $${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

共役類の自己同型写像​​による像は、常に共役類（同じか別の共役類）となる。

2 つの自己同型写像​​の合成は再び自己同型写像​​となり、この演算により群のすべての自己同型写像​​の集合が${\displaystyle G,}$で示される${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$それ自体が群を形成し、その自己同型群は${\displaystyle G.}$

すべてのアーベル群には、群の要素をその逆元に置き換える自己同型が少なくとも1つ存在します。しかし、すべての要素がその逆元と等しい群では、これは自明な自己同型です。例えば、クラインの4元群ではそうです。この群では、3つの非単位元すべての置換が自己同型であるため、自己同型群はと同型です。${\displaystyle S_{3}}$（それ自体は${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}}$)

で${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$素数の場合${\displaystyle p,}$1つの非単位元は他の任意の非単位元に置き換えることができ、他の要素もそれに応じて変化する。自己同型群は以下と同型である。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p-1}}$例えば、${\displaystyle n=7,}$すべての要素を掛け合わせる${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$3を法7で割ったものは、自己同型群において位数6の自己同型である。${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$一方、より低いべき乗では 1 は得られない。したがって、この自己同型は${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}.}$この性質を持つ自己同型写像​​がもう1つあります。${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$5で割った余り7。したがって、これら2つは、${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$その順序で、あるいはその逆で。

自己同型群${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$は同型である${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$なぜなら、2つの要素1と5のそれぞれだけが生成するからである。${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$つまり、アイデンティティを除けば、これらを交換することしかできない。

自己同型群${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$次式からわかるように、次数は 168 です。 7 つの非単位元はすべて同じ役割を果たしているので、次式が果たす役割を選択できます。${\displaystyle (1,0,0).}$残りの6つのうちどれでも(0,1,0)の役割を果たすように選択できます。これにより、どの要素が${\displaystyle (1,1,0).}$のために${\displaystyle (0,0,1)}$4つの中から選ぶことができ、それが残りの部分を決定します。したがって、${\displaystyle 7\times 6\times 4=168}$自己同型写像​​。これらはファノ平面の自己同型写像​​に対応し、7つの点は7つの非単位元に対応します。3つの点を結ぶ線は群演算に対応します。${\displaystyle a,b,}$そして${\displaystyle c}$1行で${\displaystyle a+b=c,}$${\displaystyle a+c=b,}$そして${\displaystyle b+c=a.}$有限体上の一般線形群も参照のこと。

アーベル群の場合、すべての非自明な自己同型は外部自己同型である。

非可換群は非自明な内部自己同型群を持ち、場合によっては外部自己同型群も持つ。

各要素を自身の共役類内に写像する自己同型写像​​は、類保存​​的と呼ばれる。このような自己同型写像​​の集合は、自己同型群の正規部分群を形成する。すべての内部自己同型写像​​は類保存的である。^{[ 4 ]}

• 群同型性の問題
• 全単射– 1対1対応 

• Herstein , IN (1975).代数学のトピックス（第2 版）。ニューヨーク：John Wiley & Sons。ISBN 0471010901。