半直積

数学、特に群論において、半直積の概念は直積の一般化です。通常は記号⋉で表されます。半直積には密接に関連した 2 つの概念があります。

• 内部半直積は、 1 つのグループが2 つの部分グループで構成され、そのうちの 1 つが正規部分グループである特別な方法です。
• 外半直積は、直積を集合として使用し、特定の乗算演算を使用して、2 つの指定されたグループから新しいグループを構築する方法です。

直積と同様に、内部半直積と外部半直積の間には自然な等価性があり、どちらも通常は単に半直積と呼ばれます。

有限群の場合、シューア・ザッセンハウスの定理は、半直積としての分解（分割拡張とも呼ばれる）の存在に対する十分条件を提供します。

単位元eを持つ群G、部分群H、および正規部分群N ◁ Gが与えられた場合、次のステートメントは同値です。

• Gは部分群の積、 G = NHであり、これらの部分群は自明な共通部分を持ちます: N ∩ H = { e }。
• あらゆるg ∈ Gに対して、 g = nhとなる唯一のn ∈ Nとh ∈ Hが存在します。
• 自然な埋め込みi : H → Gと自然な射影π : G → G / Nの合成π ∘ iは 、Hと商群G / Nの間の同型です。
• H上の恒等写像 G → Hが存在し、その核はNである。言い換えれば、分割完全列が存在する。

${\displaystyle 1\to N\to G\to H\to 1}$

群の（によるの群拡張としても知られています）。${\displaystyle H}$${\displaystyle N}$

これらの命題のいずれかが成り立つ場合（したがって、それらの同値性によりすべてが成り立つ）、GはNとHの半直積であり、次のように書かれると 言う。

${\displaystyle G=N\rtimes H}$または${\displaystyle G=H\ltimes N,}$

あるいは、G は N上で分裂する、とも言える。また、G はNに作用するHの半直積、あるいはHとNの半直積であるとも言える。曖昧さを避けるために、どれが正規部分群であるかを指定することが望ましい。

の場合、によって与えられる群準同型が存在し、 に対してが成り立ちます。 ${\displaystyle G=N\rtimes H}$${\displaystyle \varphi \colon H\rightarrow \mathrm {Aut} (N)}$${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$${\displaystyle g=nh,g'=n'h'}$${\displaystyle gg'=nhn'h'=nhn'h^{-1}hh'=n\varphi _{h}(n')hh'=n^{*}h^{*}}$

まず、内部半直積を考えてみましょう。この場合、群 に対して、正規部分群 Nと別の部分群H (正規である必要はありません) を考えます。上記のリストの条件が満たされていると仮定します。をNのすべての自己同型群(合成群) と表します。 共役によって定義される群準同型を構築します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (N)}$${\displaystyle \varphi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)}$

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$ただし、すべてのh はHに含まれ、すべてのn はNに含まれます。

このようにして、次のように定義されるグループ演算を持つ グループを構築することができます。${\displaystyle G'=(N,H)}$

${\displaystyle (n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})}$ただし、Nではn ₁、n ₂、Hではh ₁、h ₂です。

後で示すように、部分群NとH は同型性を除いてG を 決定します。このようにして、部分群から群Gを構成することができます。このような構成は内部半直積(内部半直積^[1]とも呼ばれます) と呼ばれます。

ここで外半直積を考えてみましょう。任意の2つの群NとHと群準同型φ : H →Aut( N )が与えられたとき、 NとHの_φに関する外半直積と呼ばれる新しい群N⋊φHを 構築することができます。これは次のように定義されます: ^[2]

これは、単位元が( e _N、e _H )で、元( n、h )の逆元が( φ _{h ⁻¹} ( n ⁻¹ )、h ⁻¹ )であるグループを定義します。ペア( n、e _H )はNに同型の正規部分群を形成し、ペア( e _N、h ) はHに同型の部分群を形成します。完全なグループは、前述の意味でこれら 2 つの部分群の半直積です。

逆に、正規部分群Nと部分群Hを持つ群Gが与えられ、 Gのすべての元gがg = nhの形で一意に表され、ここでn はNに含まれ、h はHに含まれると仮定する。φ : H → Aut( N )を準同型写像（φ ( h ) = φ _hと表記）と し、

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$

すべてのn ∈ N、h ∈ Hに対して。

すると、G は半直積N ⋊ _φ Hと同型になります。同型λ : G → N ⋊ _φ H は、分解a = nhの一意性により、λ ( a ) = λ ( nh ) = ( n, h )によって明確に定義されます。

Gでは、

${\displaystyle (n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}^{-1}h_{1})h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})}$

したがって、a = n ₁ h ₁およびb = n ₂ h ₂の場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}}$

これはλが準同型であることを証明します。 λ は明らかにエピモーフィズムかつモノモーフィズムなので、それは確かに同型です。 これはN ⋊ _φ Hにおける乗法規則の定義も説明します。

直積は半直積の特殊なケースです。これを理解するために、φ を自明な準同型（つまり、Hのすべての要素をNの恒等自己同型に送る）とすると、N ⋊ _φ Hは直積N × Hになります。

群の分割補題のバージョンは、群Gが2つの群NとH の半直積に同型であるための必要十分条件は、短い完全列が存在することである。

${\displaystyle 1\longrightarrow N\,{\overset {\beta }{\longrightarrow }}\,G\,{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}\,H\longrightarrow 1}$

群準同型γ : H → Gであって、α  ∘  γ = id _H（ H上の恒等写像）である。この場合、φ : H → Aut( N )はφ ( h ) = φ _hで与えられる。ここで

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=\beta ^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).}$

2 n個の元を持つ二面体群 D 2 _nは巡回群C _nとC ₂の半直積に同型である。^{[3]ここで、} C ₂の非単位元はC _nに作用して元を反転する。これはC _{n が}アーベルなので自己同型である。この群の表現は次のようになる。

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

より一般的には、生成元aを持つ任意の2つの巡回群C _mと生成元bを持つC _nの半直積は、1つの追加の関係、aba ⁻¹ = b ^k（kとnは互いに素） 、およびで与えられる。^[3]つまり、次のように表される。^[3] ${\displaystyle k^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k}\rangle .}$

rとm が互いに素である場合、a ^{r は}C _mの生成元であり、a ^r ba ^−r = b ^{k r と}なるため、次のように表されます。

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k^{r}}\rangle }$

前のグループと同型のグループを与えます。

半直積として表現される群の典型的な例としては、群の正則写像がある。これは次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$

ここで は群の自己同型群であり、構造写像はの への右作用から得られる。乗算要素の観点から、これは群構造を与える。${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g(\varphi (\alpha )\cdot h),\alpha \beta ).}$

クラインの壷の基本群は、次の形式で表すことができる。

${\displaystyle \langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

したがって、は整数群と の半直積である。対応する準同型φ : → Aut( )はφ ( h )( n ) = (−1) ^h nで与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

任意の体における非零の行列式を持つ上三角行列群、すなわち対角要素が非零の上三角行列群は、半直積 ^[4]に分解される。ここで、は対角要素に のみを持つ行列の部分群であり、上単三角行列群と呼ばれ、 は対角行列の部分群である。の 群作用は行列の乗算によって誘導される。 ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$
${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$ そして${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

すると、それらの行列積は

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$

これにより、誘導されたグループアクションが${\displaystyle m:\mathbb {D} _{n}\times \mathbb {U} _{n}\to \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

の行列は、およびの行列で表すことができます。したがって、 です。 ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$

平面のすべての剛体運動（等長変換^）のユークリッド群（内のすべてのxとyについて、 xとy間のユークリッド距離がf ( x )とf ( y )間の距離に等しくなる^ようにf : 2 → 2に写像する）は、アーベル群（並進運動を記述する）と直交2 × 2行列の群O(2)（原点を固定した回転と反射を記述する）の半直積に同型です。並進運動を適用してから回転または反射を適用すると、最初に回転または反射を適用してから回転または反射された並進運動ベクトルによる並進運動（つまり、元の並進運動の共役を適用する）を適用するのと同じ効果があります。これは、並進群がユークリッド群の正規部分群であること、ユークリッド群が並進群とO(2)の半直積であること、対応する準同型φ :O(2)→Aut( ² )が行列乗算φ ( h )( n )= hnによって与えられることを示しています。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

すべての直交実n × n行列の直交群 O ( n ) (直感的には、原点を固定したn次元空間のすべての回転と反射の集合) は、群SO( n ) (行列式1を持つすべての直交行列、直感的にはn次元空間の回転からなる) とC ₂の半直積に同型です。 C _{2 を}行列の乗法群{ I , R }として表すと( R は原点を固定したn次元空間の反射(つまり、反転を表す行列式–1を持つ直交行列))、φ : C ₂ → Aut(SO( n ))は、すべてのH がC ₂に、N がSO( n )にそれぞれ含まれる場合、 φ ( H )( N ) = HNH ⁻¹で与えられます。非自明なケース（H が恒等関数ではない）では、これはφ ( H ) が反射による演算の共役であることを意味します（3 次元空間では、回転軸と回転方向は「鏡像」に置き換えられます）。

体上のベクトル空間V上の半線型変換群は、しばしばΓL( V )と表記され、線型群GL( V ) ( ΓL( V )の正規部分群) との自己同型群の半直積に同型です。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

結晶学では、結晶の空間群は、空間群が共形である場合にのみ、点群と並進群の半直積として分割されます。非共形空間群には、空間群のサブセットとしても含まれない点群があり、これが解析の複雑さの大きな原因となっています。^[5]

もちろん、単純な群は半直積として表現することはできません (非自明な正規部分群を持たないため)。しかし、非自明な正規部分群を含む群の反例がいくつかありますが、それでも半直積として表現することはできません。すべての群が によるの分割拡大として表現できるわけではありませんが、そのような群は普遍埋め込み定理によって花輪積に埋め込むことができることに注意してください。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\wr H}$

巡回群は単純群ではない。なぜなら、2次の部分群、すなわち が部分群であり、その商が であるため、拡張が存在するからである。${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$${\displaystyle \{0,2\}\cong \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$

拡張機能が分割された場合、${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}\to G\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$

は と同型になります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$

および の8 つの四元数の群は 、非自明な正規部分群を持ちながらも分割されない群^[6]の別の例です。たとえば、 によって生成される部分群は と同型であり、正規です。また、によって生成される位数の部分群もあります。これは、 が次の仮想的な群の完全列の分割拡大になる必要があることを意味します。${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}$${\displaystyle ijk=-1}$${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle Q_{8}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$、

しかし、そのような厳密なシーケンスは存在しません。これは、の係数を持つの最初の群コホモロジー群を計算することで示せます。したがって、これらの拡大の 2 つの群はと二面体群であることに留意してください。しかし、これらの群のどちらも と同型ではないため、四元数群は分割されません。同型が存在しないことは、自明な拡大はアーベルであるのに対し は非アーベルであること、および唯一の正規部分群はと であるが、 には と同型の 3 つの部分群があることに留意することで確認できます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$${\displaystyle D_{8}}$${\displaystyle Q_{8}}$${\displaystyle Q_{8}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$${\displaystyle Q_{8}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$

G が正規部分群Nと部分群Hの半直積であり、 NとH が両方とも有限である場合、 Gの位数はNとHの位数の積に等しくなります。これは、GがNとHの外半直積と同じ位数であり、その基礎集合が直積N × Hであるという事実から導かれます。

G が正規部分群Nと部分群Hの半直積であるとします。HもGにおいて正規である場合、または同等に、核Hを持つN上の恒等写像である準同型G → Nが存在する場合、G はNとHの直積です。

2つの群NとHの直積は、H内のすべてのhに対してφ ( h )=idN_に関するNとHの半直積として考えることができます。

直積では、N × H はH × Nと同型なので、因子の順序は重要ではないことに注意してください。半直積の場合は、2 つの因子が異なる役割を果たすため、これは当てはまりません。

さらに、非自明な準同型による（適切な）半直積の結果は、因数群がアーベル 群であっても、アーベル群にはなりません。

直積の場合とは対照的に、2 つの群の半直積は一般に一意ではありません。つまり、GとG′が、どちらも正規部分群としてNの同型コピーと部分群としてH を含む 2 つの群であり、どちらもNとHの半直積である場合、半直積はNに対するHの作用の選択にも依存するため、 GとG′が同型であるとは言えません。

たとえば、C ₈とC ₂の半直積である位数 16 の非同型群が 4 つあります。この場合、C _{8 は}指数が 2 であるため、必然的に正規部分群になります。これらの 4 つの半直積のうち 1 つは直積ですが、他の 3 つは非可換群です。

• 16次の二面体群
• 16次の準二面体群
• 16次の岩沢群

与えられた群が半直積である場合、この分解が一意であるという保証はありません。たとえば、位数24の群（位数4の要素6個と位数6の要素6個を含む唯一の群）は、次のように半直積として表すことができます：（D ₈ ⋉ C ₃）≅（C ₂ ⋉ Q ₁₂）≅（C ₂ ⋉ D ₁₂）≅（D ₆ ⋉ V）^[7 ]

一般に、群における半直積の存在に関する特徴付け（必要かつ十分な条件）は知られていない。しかし、特定のケースで存在を保証する十分な条件がいくつか知られている。有限群の場合、正規部分群の位数が商群の位数と互いに素である場合、シューア・ザッセンハウスの定理により半直積の存在が保証される。

たとえば、シューア・ザッセンハウスの定理は、位数 6 の群の間に半直積が存在することを意味します。そのような積は 2 つあり、1 つは直積で、もう 1 つは二面体群です。対照的に、シューア・ザッセンハウスの定理は、位数 4 の群や位数 8 の群などについては何も述べていません。

群論では、半直積の構築をさらに推し進めることができます。群のザッパ-シェップ積は、その内部バージョンではどちらの部分群も正規であるとは想定しない一般化です。

環論には、環の交差積という構成もあります。これは、群の半直積に対する群環から自然な方法で構成されます。環理論のアプローチは、リー代数の半直和にさらに一般化できます。

幾何学では、位相空間上の群作用の交差積も存在しますが、残念ながら、群が可換群であっても一般には非可換です。この文脈では、半直積は群作用の軌道の空間です。後者のアプローチは、従来の位相的手法によるアプローチの代替として、アラン・コヌによって支持されてきました。 非可換幾何学を参照してください。

半直積は圏論におけるグロタンディーク構成の特殊なケースである。特に、 （群、あるいはモノイド構造だけを尊重する）の作用は、関手と同じものである。${\displaystyle H}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle F:BH\to Cat}$

Hに関連付けられた群体 （単一のオブジェクト * を持ち、その自己準同型はH ）から、 の唯一のオブジェクトが にマップされるようなカテゴリのカテゴリへの変換。この関数のグロタンディーク構成は、（ に関連付けられた群体）半直積と同等である。 ^[8]${\displaystyle BH}$${\displaystyle BH}$${\displaystyle BN}$${\displaystyle B(H\rtimes N)}$

もう一つの一般化は群体に対するものです。これは位相幾何学で起こります。群G が空間Xに作用する場合、それは空間の基本群体 π ₁ ( X )にも作用するからです。半直積π ₁ ( X ) ⋊ Gは、軌道空間 X/Gの基本群体を見つけることに関係します。詳細については、下記の書籍の第 11 章を参照してください。また、 ncatlabの半直積^[9]にも詳細があります。

非自明な半直積は、加群の圏のようなアーベル圏では生じません。この場合、分割補題は、すべての半直積が直積であることを示しています。したがって、半直積の存在は、圏がアーベルではないことを反映しています。

通常、群Nに作用する群Hの半直積（ほとんどの場合、共通群の部分群としての共役による）は、N ⋊ HまたはH ⋉ Nと表記されます。ただし、いくつかの情報源^[10]では、この記号を反対の意味で使用している場合があります。作用φ : H → Aut( N ) を明示的に示す必要がある場合は、N ⋊ _φ Hとも書きます。 N ⋊ H記号についての1つの考え方は、正規部分群の記号（◁）と積の記号（×）の組み合わせとして考えることです。Barry Simon は、群の表現論に関する著書で、^[11]半直積に 珍しい表記法を使用しています。 ${\displaystyle N\mathbin {\circledS _{\varphi }} H}$

Unicodeでは4つの変種がリストされている: ^[12]

ここで、rtimes シンボルの Unicode の説明では、数学の実際の意味とは対照的に、「右正規係数」と書かれています。

LaTeXでは、コマンド \rtimes と \ltimes は対応する文字を生成します。AMS シンボル パッケージがロードされている場合、\leftthreetimes は ⋋ を生成し、\rightthreetimes は ⋌ を生成します。

• アフィンリー代数
• グロタンディーク構成は、半直積を一般化するカテゴリカル構成である。
• ホロモーフ
• リー代数の半直和
• 副次的製品
• リース製品
• ザッパ・シェップ製品
• 交差積

• バー、マイケル、ウェルズ、チャールズ (2012)、「コンピューティング サイエンスのためのカテゴリ理論」、カテゴリの理論と応用の再版、2012 年版、p. 558、Zbl  1253.18001
• ブラウン、R. (2006)、トポロジーと群体、Booksurge、ISBN 1-4196-2722-8