残り

数学において、剰余とは、何らかの計算を行った後に「残る」量のことです。算術においては、剰余とは、ある整数を別の整数で割って整数商を得た後に「残る」整数のことです（整数除算）。多項式の代数においては、剰余とは、ある多項式を別の多項式で割った後に「残る」多項式のことです。剰余演算とは、被除数と除数が与えられたときに、このような剰余を生成する演算です。

あるいは、余りとは、ある数から別の数を引いた後に残る数でもありますが、これはより正確には差と呼ばれます。この用法は、いくつかの初等教科書に見られます。口語的には、「2ドル返して、残りを取っておいて」のように、「残り」という表現に置き換えられます。 ^{[ 1 ]}ただし、関数が級数展開によって近似される場合、誤差式（「残り」）が余り項と呼ばれる場合、「余り」という用語はこの意味で依然として使用されます。

整数aとゼロでない整数dが与えられたとき、 a = qd + rかつ0 ≤ r < | d |を満たす一意の整数qとrが存在することが示される。数qは商と呼ばれ、rは余りと呼ばれる。

（この結果の証明については、ユークリッド除法を参照してください。剰余を計算するアルゴリズムについては、除法アルゴリズムを参照してください。）

上記のように定義された剰余は、最小正剰余または単に剰余と呼ばれます。^{[ 2 ]}

場合によっては、 a がdの整数倍にできるだけ近くなるように除算を実行すると便利です。つまり、次のように書くことができます。

a = kd + s、ただし| s | ≤ | d /2 |はある整数kに対してである。

この場合、sは最小絶対剰余と呼ばれます。^{[ 3 ]}商と剰余と同様に、kとs は一意に決定されますが、 d = 2nかつs = ± nの場合は例外です。この例外については、次のようになります。

a = kd + n = ( k + 1) d − n。

この場合、sの値を常に正の値にするなど、何らかの慣習によって一意の剰余を得ることができます。

aとdが浮動小数点数で、d がゼロでない場合、 a はdで割り切れ、商は別の浮動小数点数になります。ただし、商が整数に制約されている場合は、剰余の概念が依然として必要です。一意の整数商qと一意の浮動小数点剰余rが存在し、 a = qd + r ( 0 ≤ r < | d | )となることが証明できます。

上記のように浮動小数点数の剰余の定義を拡張することは、数学において理論的に重要な意味を持ちませんが、多くのプログラミング言語はこの定義を実装しています（剰余演算を参照）。

• 長除法：数字を手作業で割る伝統的な方法で、繰り返し引き算と桁の配置を行う。
  1. 割り算の問題を、除数を割り算記号の外側に、被除数を内側に記述する長除法の形式で書きなさい。
  2. 除数が被除数の最初の桁または桁の組に何回入り込むことができるかを判断します。
  3. 選択した数字を除数で割り、その商を除数記号の上に書きます。
  4. 商に除数を掛け、その結果を選択した数字の下に書き込んでください。
  5. ステップ4で得られた結果を選択した数字から引いて、余りを求めます。
  6. 被除数の桁数が複数ある場合は、次の桁を下ろします。
  7. 被除数に引き下ろす桁がなくなるまで、手順2から5を繰り返します。
  8. 余りが除数より小さく、かつ下ろすべき桁がもうない場合は、計算を終了します。
  9. まだ引き下ろすべき桁が残っているが、余りが除数より小さくならない場合は、計算を続ける。
  10. 最終的な剰余は、すべての桁の処理が完了し、これ以上桁を降ろすことができなくなったときの結果です。
• モジュラー算術：モジュラー算術の概念を利用して効率的に剰余を計算するもので、特にコンピュータサイエンスや暗号学において有用である。
  1. 被除数と除数から始めます。
  2. 被除数を除数で割ります。
  3. 割り算で得られた余りを取る。
  4. 余りは剰余演算の結果である。
• 剰余定理：多項式の除算における剰余を求めるための体系的な方法を提供する数学的定理。
  1. 多項式 P(x) と線形除数 xa を特定します。
  2. P(a)を評価します。ここで、aは線形除数の根（xaをゼロにする値）です。
  3. ステップ2で得られる値は、P(x)をxaで割ったときの余りです。^{[ 4 ]}

定義自体に難しさはないものの、余りの計算に負の数が含まれる場合、実装上の問題が生じる。プログラミング言語によって異なる慣習が採用されている。例えば、次のようになる。

• パスカルは剰余演算の結果を正としますが、 d が負またはゼロになることは許しません(したがって、 a = ( a div d ) × d + a mod dは常に有効とは限りません)。^{[ 5 ]}
• C言語（ C99以降）では、剰余は被除数aと同じ符号を持つものを選択する。^{[ 6 ]}（C言語の以前のバージョンでは、他の選択肢も認められていた。）
• Perl、Python（最新バージョンのみ）は除数dと同じ符号の余りを選択します。^{[ 7 ]}
• Schemeには剰余と剰余の2つの関数があります。Ada 、PL /I、CSSにはmodとremがあり、Fortranにはmodとmoduloがあります。いずれの場合も、前者は被除数aと符号が一致し、後者は除数dと符号が一致します。Common LispとHaskellにもmodとremがありますが、modは除数の符号を使用し、remは被除数の符号を使用します。

多項式のユークリッド除法は、整数のユークリッド除法と非常によく似ており、多項式の剰余が得られます。その存在は次の定理に基づいています。体 (特に、実数または複素数) 上で定義された 2 つの単変数多項式a ( x ) とb ( x ) (ただし、 b ( x ) はゼロでない多項式) が与えられたとき、次の式を満たす 2 つの多項式q ( x ) (商) とr ( x ) (剰余) が存在します。^{[ 8 ]}

a ( x ) = b ( x ) q ( x ) + r ( x )

どこ

deg( r ( x )) < deg( b ( x ))、

ここで「deg(...)」は多項式の次数を表します（常に値が0である定数多項式の次数は負と定義できるため、これが剰余である場合はこの次数条件は常に有効になります）。さらに、q ( x )とr ( x )はこれらの関係によって一意に決定されます。

これは、整数のユークリッド除法とは異なり、整数の場合、次数条件が剰余rの境界(非負で除数より小さい、これによりrが一意であることが保証される) に置き換えられます。整数のユークリッド除法と多項式のユークリッド除法の類似性は、ユークリッド除法が有効となる最も一般的な代数的設定を探求する動機となります。このような定理が存在する環はユークリッド整域と呼ばれますが、この一般性では、商と剰余の一意性は保証されません。^{[ 9 ]}

多項式の除算は、多項式の剰余定理として知られる結果をもたらします。多項式f ( x ) をx − kで割ると、剰余は定数r = f ( k )になります。^{[ 10 ] [ 11 ]}

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