5次関数

数学において、5次関数は次の形式の関数である。

g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,

ここで、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $e$ 、 $fは$ 体（通常は有理数、実数、または複素数）の要素であり、 $a$ はゼロではない。言い換えれば、5次関数は5次の多項式によって定義される。

通常の5次関数は次数が奇数であるため、グラフにすると通常の3次関数と似たような形になりますが、極大値と極小値がそれぞれ1つずつ追加される場合があります。5次関数の導関数は 4次関数です。

$g (x) = 0$ と設定し、 $a \neq 0$ と仮定すると、次の形式の5 次方程式が得られます。

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,

5次方程式を根号（n乗根）で解くことは、16世紀に3次方程式と4次方程式が解かれた時から、19世紀前半にアーベル・ルフィニの定理によってそのような一般的な解法の不可能性が証明されるまで、代数学における主要な問題でした。

5次多項式の根を求める

与えられた多項式の根（零点）を求めることは、数学における重要な問題の一つである。

根号と係数に対する基本的な算術演算を用いて、線形、二次、三次、四次の方程式を解くことは、根号が有理数か無理数か、実数か複素数かに関わらず常に可能です。必要な解を与える公式が存在します。しかし、有理数上の一般的な五次方程式の解には、代数式（つまり根号を用いた式）は存在しません。このことは、 1799 年に初めて主張され、1824 年に完全に証明されたアーベル・ルフィニの定理として知られています。この結果は、より高次の方程式にも当てはまります。根号を用いて表現できない五次方程式の例は、 $x$ $5$ $-$ $x$ $+ 1 = 0$ です。

5次方程式の根の数値近似値は、多項式の根を求めるアルゴリズムを用いて計算できる。5次方程式の中には根号を用いて解けるものもあるが、その解は一般的に複雑すぎて実用には適さない。

解ける五次方程式

$いくつかの5次方程式は根号を用いて解くことができる。これには、 x⁵$ $-$ $x⁴$ $-$ $x +$ $1$ $= ($ $x²$ $+ 1)($ $x$ $+ 1)($ $x$ $- 1)$ $²$ のような既約多項式で定義される5 $次$ $方程式$ が含まれる。例えば、^[¹^]では、

x^{5}-x-r=0

多項式が根号で解を持つのは、整数解を持つ場合、またはrが ±15、±22440、または ±2759640 のいずれかである場合のみであり、これらの場合、多項式は既約である。

可約な5次方程式を解くことは、より低次の多項式を解くことに帰着するため、本節の残りの部分では既約な5次方程式のみを扱い、「5次」という用語は既約な5次方程式のみを指すものとする。したがって、解ける5次方程式とは、根号を用いて根号を表すことができる既約な5次多項式のことである。

可解な5次式、より一般的にはより高次の可解な多項式を特徴づけるために、エヴァリスト・ガロアは群論とガロア理論を生み出す手法を開発した。これらの手法を適用して、アーサー・ケイリーは任意の5次式が可解であるかどうかを判断するための一般的な基準を発見した。^{[ 2 ]}この基準は次のとおりである。^{[ 3 ]}

方程式が与えられた場合

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,

チルンハウス変換 $x = y - ⁠ b / 5 a ⁠$ は、5次項を降格（つまり、4次の項を除去）し、次の式を与える。

y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0,

どこ

{\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\[4pt]q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\[4pt]r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\[4pt]s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}

$どちらの 5 次式も、有理係数を持つより低い次数の方程式に因数分解できる場合、または多項式P 2 - 1024 z Δ$ が成り立つ場合に限り、根号で解くことができます。ケイリーのレゾルベントは $、 z$ に有理根を持ち、

{\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\[4pt]&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\[4pt]&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}

そして

{\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\[4pt]&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\[4pt]&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}

ケイリーの結果を用いることで、五次方程式が解けるかどうかを判定できる。解ける場合、その根を求めるのはより難しい問題となる。それは、五次方程式の係数とケイリーのレゾルベントの有理根を含む根号を用いて根を表すというものである。

1888年、ジョージ・パクストン・ヤングは、明示的な公式は示さずに、解ける5次方程式の解き方を説明しました。^{[ 4 ]} 2004年、ダニエル・ラザードは3ページにわたる公式を書き出しました。^{[ 5 ]}

ブリング・ジェラード形式の五次曲線

$x 5 + ax + b = 0$ の形の解ける 5 次方程式にはいくつかのパラメトリック表現があり、ブリング–ジェラード形式と呼ばれています。

19世紀後半、ジョン・スチュアート・グラシャン、ジョージ・パクストン・ヤング、カール・ルンゲは、次のようなパラメータ化を与えた。ブリング・ジェラード形式の有理係数を持つ既約五次方程式は、 $a = 0$ または次の式が成り立つ場合に限り解ける。

x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0

ここで $μ$ と $ν$ は有理数である。

1994年、ブレア・スピアマンとケネス・S・ウィリアムズは別の見解を示し、

x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.

1885年と1994年のパラメータ化の関係は、式を定義することで確認できる。

b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)

どこで $a=5{\tfrac {4\nu +3}{\nu ^{2}+1}}$ 。負の平方根の場合を使用すると、変数をスケーリングした後、最初のパラメータ化が得られ、正の場合は2番目のパラメータ化が得られます。

置換 $c=-{\tfrac {m}{\ell ^{5}}},$ ⁠ ⁠ $e={\tfrac {1}{\ell }}$ スピアマン・ウィリアムズのパラメータ化では、 a $= 0 という$ 特殊なケースを除外しないことが可能であり、次の結果が得られます。

$a$ と $b$ が有理数である場合、方程式 $x 5 + ax + b = 0$ は、左辺が有理係数を持つ 5 未満の次数を持つ多項式の積であるか、または 2 つの有理数ℓと $m$ が存在して、

a={\frac {5\ell (3\ell ^{5}-4m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}\qquad b={\frac {4(11\ell ^{5}+2m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}.

解ける5次方程式の根

多項式方程式は、そのガロア群が可解群である場合に限り、根号によって解くことができます。既約五次方程式の場合、ガロア群は、5要素集合のすべての順列の対称群 $S 5$ の部分群であり、これは、巡回順列 $(1 2 3 4 5)$ と $(1 2 4 3)$ によって生成される位数 $20$ の群 $F 5$ の部分群である場合に限り可解です。

5次方程式が解ける場合、解の1つは、5乗根と最大2つの平方根（一般に入れ子になっている）を含む代数式で表すことができます。他の解は、5乗根を変更するか、5乗根のすべての出現箇所に、例えば1の原始5乗根の同じべき乗を掛けることによって得られます。

e^{i{\frac {2\pi }{5}}}={\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.

実際、1の4つの原始的な5乗根はすべて、平方根の符号を適切に変更することによって得られます。すなわち、次の式

{\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},

どこ $\alpha ,\beta \in \{-1,1\}$ は、1の4つの異なる原始的な5乗根を生成します。

したがって、解ける5次方程式のすべての根を記述するには、4つの異なる平方根が必要になる場合があります。最大で2つの平方根を含む最初の根であっても、根号を用いた解の表現は通常非常に複雑です。しかし、平方根が必要ない場合、最初の解の形式はかなり単純になる可能性があります。例えば、方程式 $x 5 - 5 x 4 + 30 x 3 - 50 x 2 + 55 x - 21 = 0$ の場合、唯一の実数解は次のようになります。

x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.

より複雑な（ただし、ここに記述できるほど小さい）解の例として、 $x 5 - 5 x + 12 = 0$ の唯一の実根が挙げられます。a = √ 2 φ −1 、b = √ 2 φ 、c = 4 √ 5 とします $。ここで、 φ$ = $⁠ 1+ \sqrt 5 /$ 2 $⁠ は黄金比です$ 。 $すると$ $、唯一の実解 x = -1.84208 ...$ は次の $ように$ 与えられます。

-cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,

または同等に、

x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,

ここで、 $y i$ は4次方程式の4つの根である。

y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.

$より一般的に、有理係数を持つ素数p$ の方程式 $P (x) = 0 が$ 根号で解ける場合、有理係数を持つ次数 $p$ $- 1$ の補助方程式 $Q$ $($ $y$ $) = 0を定義することができ、$ $P$ の各根は $Q$ の根の $p$ 乗根の和になります。これらの $p$ 乗根はJoseph-Louis Lagrangeによって導入され、それらの $p$ による積は一般にラグランジュレゾルベントと呼ばれます。Q とその根の計算は $P$ $($ $x$ $) = 0$ を解くために使用できます。ただし、これらの $p$ 乗根は独立して計算することはできません (独立して計算すると $p$ の代わりに p −1 個の根 $が$ $得$ $られ$ ます)。したがって、正しい解は、これらの p 乗根すべてをそのうちの 1 つで表す必要があります $。$ $ガロア$ 理論は、結果として得られる式が大きすぎて役に立たない場合でも、理論的には常にこれが可能であることを示しています。

$Q$ の根の中には、有理数（このセクションの最初の例のように）やゼロ根が存在する可能性があります。これらの場合、解けるド・モアブル5次方程式と同様に、根の公式ははるかに単純になります。

x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,

ここで、補助方程式は2つの零根を持ち、それらを因数分解すると二次方程式に簡約される。

y^{2}+by-a^{5}=0\,,

ド・モアブル五次方程式の5つの根は次のように与えられる。

x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},

ここで、y _iは補助二次方程式の任意の根であり、ωは 1 の 4 つの原始 5 乗根のいずれかである。これは、必ずしも素数ではない、解ける 7 次およびその他の奇数次方程式を構成するために容易に一般化できる。

その他の解ける五次方程式

前の節でパラメータ化されたブリング・ジェラード形式の解ける5次方程式は無限に存在する。

変数のスケーリングを除いて、形状の解ける五次方程式はちょうど 5 つ存在する。 $x^{5}+ax^{2}+b$ ^{（ 6 ）}（ここでsはスケーリング係数）

x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}

x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}

x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}

パクストン・ヤング（1888）は、解ける5次方程式の例をいくつか挙げた。

解ける5次方程式の無限列を構成することができ、その根は1の $n$ 乗根の和であり、 $n = 10k + 1$ は素数である。

また、解ける5次方程式には2つのパラメータ化されたファミリーがあります。近藤-ブルーマー5次方程式、

x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0

そして、パラメータに応じて家族 $a,\ell ,m$

x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0

どこ

p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,

b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,

c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.

還元不可能なケース

3次方程式と同様に、5つの実根を持ち、その根号による解がすべて複素数の根を含む可解な5次方程式が存在する。これは5次方程式の既約ケースであり、Dummit ^{[ 7 ]}^{の17ページ}で議論されている。実際、既約な5次方程式のすべての根が実数である場合、どの根も純粋に実根号で表すことはできない（2のべき乗ではないすべての多項式の次数についても同様である）。

過激派を超えて

1835 年頃、ジェラードは、実数 $aに対する$ $t$ $5$ $+$ $t$ $-$ $a$ $= 0$ の唯一の実根である超根（ブリング根とも呼ばれる）を使用して 5 次方程式を解くことができることを示した。1858 年、シャルル・エルミートは、三角関数を使用して 3 次方程式を解くというより一般的な方法と同様のアプローチを使用して、ブリング根がヤコビのシータ関数とそれに関連する楕円モジュラー関数によって特徴付けられることを示した。ほぼ同時期に、レオポルド・クロネッカーは群論を使用して、フランチェスコ・ブリオスキと同様に、エルミートの結果を導出するより簡単な方法を開発した。その後、フェリックス・クラインは、正二十面体の対称性、ガロア理論、およびエルミートの解に特徴的な楕円モジュラー関数を関連付ける方法を考案し、それらがそもそも現れる理由を説明し、一般化された超幾何関数の観点から独自の解を開発しました。^[⁸^]同様の現象は、クラインが研究し、正二十面体の対称性§関連する幾何学で議論されているように、次数 $7$ （七重方程式）と $11$ でも発生します。

根号を使って解く

4次方程式を解くことで計算できるチルンハウス変換は、次の形式の一般的な5次方程式を簡約化する。

x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,

Bring–Jerrard 標準形 $x 5 - x + t = 0$ へ。

この方程式の根は根号で表すことはできません。しかし、1858年にシャルル・エルミートは楕円関数を用いてこの方程式の最初の既知の解を発表しました。^{[ 9 ]} ほぼ同時期にフランチェスコ・ブリオスキ^{[ 10 ]} とレオポルド・クロネッカー^{[ 11 ]} は同等の解を発見しました。

これらの解決策および関連する解決策の詳細については、「Bring radical」を参照してください。

天体力学への応用

両方の天体の質量が無視できない天体軌道のラグランジュ点の位置を求めるには、 5次方程式を解く必要がある。

より正確には、 L ₂とL ₁の位置は、次の方程式の解であり、2 つの質量が 3 番目の質量に及ぼす重力 (例えば、L ₂にあるGaiaやJames Webb 宇宙望遠鏡、L ₁にあるSOHOなどの衛星上の太陽と地球) が、衛星が太陽の周りを地球と同期軌道で周回するために必要な向心力を提供します。

{\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)

± 記号はそれぞれL ₂とL ₁に対応します。Gは重力定数、ωは角速度、r は衛星から地球までの距離、R は太陽から地球までの距離（つまり、地球の軌道の長半径）、 m、M _E、M _Sはそれぞれ衛星、地球、太陽の質量です。

ケプラーの第三法則を用いる $\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}$ そして全ての項を並べ替えると五次式が得られる。

ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0

と：

{\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ ({\text{thus }}d=0{\text{ for }}L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}.\end{aligned}}

これら2つの5次方程式を解くと、L ₂については $r = 1.501 \times 10 9 m$ 、L ₁については $r$ $= 1.491 \times 10$ $9$ $m$ となる。太陽-地球ラグランジュ点L ₂とL ₁は通常、地球から 150 万 km の距離にあるとされている。

小さい方の物体の質量 ( ME ₎が大きい方の物体の質量 ( MS ) よりはるかに小さい場合、 ₅次方程式は大幅に簡略化され、L1_とL2_{は、次式で与えられる}ヒル球の半径にほぼ等しくなります。

r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}

また、太陽・地球系における_L1とL2_の位置にある衛星の場合、 $r = 1.5 \times 10⁹ mとなる。$

注記

↑ Elia, M.; Filipponi, P. (1998). "Bring–Jerrard 形式の方程式、黄金比、および平方フィボナッチ数" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 36 (3): 282– 286.
↑ A. ケイリー、「5 階方程式の理論における新しい補助方程式について」、 Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi : 10.1098/rstl.1861.0014
↑このケイリーの結果の定式化は、ラザード（2004）の論文から抜粋したものです。
↑ジョージ・パクストン・ヤング、「係数が可換な5次方程式」、アメリカ数学ジャーナル10 :99–130 (1888)、 JSTOR 2369502
↑ラザール（2004年、207ページ）
↑エルキーズ、ノーム。「興味深いガロア群を持つ三項式ax ⁿ + bx + c 」。ハーバード大学。
↑ David S. Dummit可解な五次方程式の解法2012年3月7日にWayback Machineにアーカイブされました
↑（クライン 1888 ）；現代版の解説は（トース 2002 、第 1.6 節、追加トピック：クラインの正二十面体理論、p. 66 ）に記載されている。
↑チャールズ・エルミート（1858年）。「最高の解決策」。科学アカデミーのコンテス。XLVI (I): 508–515 .
↑フランチェスコのブリオスキ（1858年）。「Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado」。アッティ・デッリ。 R. Istituto Lombardo di Scienze、Lettere ed Arti。私：275～ 282。
↑クロネッカー、レオポルド (1858)。「M. Hermite への手紙の宛先を追加する、cinquième degré の方程式の解決策」。科学アカデミーのコンテス。XLVI (I): 1150 – 1152。

参考文献

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Leopold Kronecker、「Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、46 :1:1150–1152 1858。
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イアン・スチュワート著『ガロア理論第2版』チャップマン・アンド・ホール社、1989年。ISBN 0-412-34550-1一般ガロア理論について論じ、一般五次方程式の解けないことの証明も含む。
ヨルグ・ベワースドルフ著、『ガロア理論入門：歴史的展望』、アメリカ数学会、2006年。ISBN 0-8218-3817-2第 8 章 ( Wayback Machineの 5 次方程式の解法(2010 年 3 月 31 日にアーカイブ) ) では、解ける 5 次方程式 $x$ $5$ $+$ $cx$ $+$ $d$ の解法について説明します。
Victor S. Adamchik および David J. Jeffrey、「Tschirnhaus、Bring、および Jerrard の多項式変換」、ACM SIGSAM Bulletin、第 37 巻、第 3 号、2003 年 9 月、90～94 ページ。
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ラザード、ダニエル (2004)。「根号で五次関数を解く」。オラフ・アルンフィン・ラウダルで;ラグニ・ピエネ（編）。ニールス・ヘンリック・アベルの遺産。ベルリン。ページ207–225。ISBN 3-540-43826-22005年1月6日にオリジナルからアーカイブされました。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
トート、ガボール（2002）、有限メビウス群、球の最小埋め込み、およびモジュラス

外部リンク

Mathworld - 5次方程式- 5次方程式を解くための方法の詳細。
可解な五次方程式の解法 ( 2012年3月7日にWayback Machineにアーカイブ) – David S. Dummitによる可解な五次方程式の解法。
与えられた方程式からすべての中間項を取り除く方法― チルンハウスの1683年の論文の最近の英語訳。
ブルース・バートレット：「五次曲線、正二十面体、および楕円曲線」、AMS Notices（2024年4月）

[1] Elia, M.; Filipponi, P. (1998). "Bring–Jerrard 形式の方程式、黄金比、および平方フィボナッチ数" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 36 (3): 282– 286.

[2] A. ケイリー、「5 階方程式の理論における新しい補助方程式について」、 Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi : 10.1098/rstl.1861.0014

[3] このケイリーの結果の定式化は、ラザード（2004）の論文から抜粋したものです。

[4] ジョージ・パクストン・ヤング、「係数が可換な5次方程式」、アメリカ数学ジャーナル10 :99–130 (1888)、 JSTOR 2369502

[5] ラザール（2004年、207ページ）

[6] エルキーズ、ノーム。「興味深いガロア群を持つ三項式ax ⁿ + bx + c 」。ハーバード大学。

[7] David S. Dummit可解な五次方程式の解法2012年3月7日にWayback Machineにアーカイブされました

[8] （クライン 1888 ）；現代版の解説は（トース 2002 、第 1.6 節、追加トピック：クラインの正二十面体理論、p. 66 ）に記載されている。

[hermite-9] チャールズ・エルミート（1858年）。「最高の解決策」。科学アカデミーのコンテス。XLVI (I): 508–515 .

[10] フランチェスコのブリオスキ（1858年）。「Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado」。アッティ・デッリ。 R. Istituto Lombardo di Scienze、Lettere ed Arti。私：275～ 282。

[11] クロネッカー、レオポルド (1858)。「M. Hermite への手紙の宛先を追加する、cinquième degré の方程式の解決策」。科学アカデミーのコンテス。XLVI (I): 1150 – 1152。

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