双曲群

群論、より正確には幾何群論において、双曲群は語双曲群あるいはグロモフ双曲群とも呼ばれ、古典的な双曲幾何学から抽象化された特定の性質を満たす語計量を備えた有限生成群である。双曲群の概念は、ミハイル・グロモフ（1987）によって導入され、発展させた 。その着想は、双曲幾何学だけでなく、低次元位相幾何学（特にマックス・デーンの双曲リーマン面の基本群に関する結果や、3次元位相幾何学におけるより複雑な現象）、および組合せ群論など、既存の様々な数学理論から得られたものである。1987年の非常に影響力のある（1000回を超える引用^{[1] ）章で、グロモフは広範囲にわたる研究プログラムを提案した。双曲群の理論におけるアイデアや基礎資料は、}ジョージ・モストウ、ウィリアム・サーストン、ジェームズ・W・キャノン、エリヤフ・リップス、その他多数 の研究からも派生している。

を有限生成群とし、を有限の生成元集合に関するそのケイリーグラフとします。集合にはグラフ計量（辺の長さが 1 で、2 つの頂点間の距離がそれらの頂点を結ぶ経路の辺の最小数である）が備わっており、これにより集合は長さ空間になります。がグロモフの意味で双曲空間である場合、その群は双曲的であると言われます。簡単に言うと、これは、右の図に示すように、内の任意の測地三角形が- 薄くなる ような が存在することを意味します（その場合、空間は- 双曲的であると言われます）。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$

この定義は、先験的に有限生成集合の選択に依存します。これが当てはまらないことは、次の 2 つの事実からわかります。 ${\displaystyle S}$

• 2つの有限生成集合に対応するケイリーグラフは常に互いに準等長である。
• 測地グロモフ双曲空間に準等長な測地空間は、それ自体がグロモフ双曲空間である。

したがって、生成集合を参照せずに、有限生成群が双曲的であると正当に語ることができます。一方、-双曲的空間に準等長な空間は、それ自体がいくつかの点で-双曲的ですが、後者は元の空間と準等長の両方に依存するため、-双曲的であると言うことは意味がありません。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta '}$${\displaystyle \delta '>0}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \delta }$

Švarc -Milnor の補題^[2]によれば、群が適切な長さの空間 に対して適切に不連続かつコンパクトな商で作用する場合(このような作用はしばしば幾何学的と呼ばれる) 、その群は有限生成であり、 の任意のケイリーグラフはに対して準等長である。したがって、群が (有限生成かつ) 双曲的であるためには、適切な双曲空間に対して幾何学的作用を持つ必要がある。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$

が有限指数を持つ部分群（つまり、集合が有限）である場合、包含により、 の任意の局所有限ケイリーグラフの頂点に、 の任意の局所有限ケイリーグラフへの準等長変換が誘導されます。したがって、が双曲的である場合、かつその場合に限り、 自体も双曲的です。より一般的には、2 つの群が通約可能である場合、一方が双曲的である場合、かつその場合に限り、他方も双曲的です。 ${\displaystyle G'\subset G}$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$

双曲群の最も単純な例は有限群です(そのケーリー グラフは有限の直径を持ち、したがってこの直径に等しい -双曲的になります)。${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$

もう 1 つの簡単な例は、無限巡回群 です。生成集合に関するのケーリー グラフは直線なので、すべての三角形は線分であり、グラフは-双曲的です。したがって、実質的に巡回的なグループ(有限のインデックスの のコピーを含む) は、たとえば無限二面体グループのように、双曲的でもあります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

このクラスの群のメンバーは、しばしば基本双曲群と呼ばれます(この用語は双曲平面上の作用の用語から採用されています)。

を有限集合、を生成集合 を持つ自由群とします。すると、に対するのケーリーグラフは局所有限木であり、したがって 0 双曲空間です。したがって は双曲群です。 ${\displaystyle S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F}$

より一般的には、局所有限木に適切に不連続に作用する任意の群（この文脈では、頂点の安定子が有限であることを意味します）は双曲的であることがわかります。実際、これは、コンパクトな商で作用する不変部分木があることと、Svarc-Milnor の補題から導かれます。このような群は実際には事実上自由であり（つまり、有限のインデックスの有限生成自由部分群を含みます）、これがそれらの双曲性の別の証明となります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

興味深い例として、モジュラー群が挙げられます。これは、 双曲平面の関連するタイル分割の 1 スケルトンによって与えられる木に作用し、指数 6 の有限指数自由部分群 (2 つの生成元上) を持ちます (たとえば、2 を法として単位元に帰着する行列の集合は、そのような群です)。この例の興味深い特徴に注意してください。これは、双曲空間 (双曲平面)に適切に不連続に作用しますが、その作用はココンパクトではありません (実際、双曲平面に対して準等長では ありません)。${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

モジュラー群の例を一般化すると、フックス群は双曲平面（と同値で、 の離散部分群）上で適切に不連続な作用を許容する群である。双曲平面は-双曲空間であるため、スヴァルク-ミルノアの補題は、ココンパクト フックス群が双曲的であることを示しています。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \delta }$

このような例としては、負のオイラー標数の閉曲面の基本群が挙げられます。実際、これらの曲面は、ポアンカレ-ケーベの均一化定理によって示唆されるように、双曲平面の商として得ることができます。

コンパクト フックス群の別の例として、三角群が挙げられます。有限個を除いてすべて双曲型です。

閉じた表面の例を一般化すると、厳密に負の断面曲率を持つコンパクトリーマン多様体の基本群は双曲型です。たとえば、署名の形式を保存する直交群またはユニタリ群のココンパクト格子は双曲型です。 ${\displaystyle (n,1)}$

さらに一般化されるのは、が任意の負の数であるとき、CAT(k) 空間への幾何学的作用を許容する群である。 ^[3]これまでの構成のいずれとも通約できない例も存在する（例えば、双曲型建物に幾何学的に作用する群）。 ${\displaystyle k}$

小さな相殺条件を満たす表現を持つ群は双曲群です。これは、上記のような幾何学的起源を持たない例の源となります。実際、双曲群の初期開発の動機の 1 つは、小さな相殺のより幾何学的な解釈を与えることでした。

ある意味では、大きな定義関係を持つ「ほとんどの」有限に提示された群は双曲的です。これが何を意味するかについての定量的な説明については、ランダム群を参照してください。

• 双曲的ではない群の最も単純な例は、自由階数 2 のアーベル群 です。実際、これはユークリッド平面に対して準等長であり、ユークリッド平面が双曲的ではないことは容易にわかります (たとえば、相似性の存在により)。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• より一般的には、部分群としてを含む群は双曲的ではない。^{[4] [5]}特に、高階半単純リー群の格子と非自明結び目補集合の基本群はこのカテゴリに分類され、したがって双曲的ではない。これは、閉じた双曲面の写像類群の場合にも当てはまる。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$
• バウムスラッグ-ソリター群 B ( m , n )と、あるB ( m , n )に同型な部分群を含む群は双曲的ではない（B (1,1)=なので、これは前の例を一般化したものである）。${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• 階数 1 の単純リー群の非一様格子が双曲的であるためには、群がに同型である必要があります(関連付けられている対称空間は双曲平面であることと同値です)。この例としては、双曲結び目群が挙げられます。別の例としては、ビアンキ群があります(例 ) 。${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})}$

• 双曲群は、 Tits の代替条件を満たします。つまり、双曲群は事実上解けるか (この可能性は基本双曲群によってのみ満たされます)、非可換自由群と同型な部分群を持ちます。
• 非初等双曲群は、非常に強い意味では単純ではありません。 が非初等双曲群である場合、と が両方とも無限であるような無限部分群が存在します。${\displaystyle G}$${\displaystyle H\triangleleft G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/H}$
• 残差有限でない双曲群が存在するかどうかは不明です。

• 非基本的な（無限で実質的に巡回的ではない）双曲群は常に指数関数的な成長率を持ちます（これは、Tits の代替案の結果です）。
• 双曲群は線型等周不等式を満たす。^[6]

• 双曲群は常に有限に提示される。実際、縮約可能で群が幾何学的に作用する複体（リップス複体）を明示的に構成することができる^[7]ので_、それはF∞型である。群がねじれフリーの場合、作用は自由であり、群が有限のコホモロジー次元を持つことを示す。
• 2002年にI.ミネエフは、双曲群とは、有界コホモロジーと通常のコホモロジー間の比較写像がすべての次数、または同値として2次で射影的である有限生成群とまったく同じであることを示した。 ^[8]

• 双曲群には解ける単語問題があり、双自動的かつ自動的である。^[9]実際、双曲群は強く測地的に自動的であり、つまり、単語受容者が受容する言語が測地的単語の集合であるような自動構造が群に存在する。
• 2010年に、双曲群には決定可能なマーク同型性問題があることが示されました。^[10]これは、同型性問題、軌道問題（特に共役性問題）、ホワイトヘッドの問題がすべて決定可能であることを意味することは注目に値します。
• キャノンとスウェンソンは、2次元無限遠球面を持つ双曲群には自然な分割規則があることを示した。^{[11]これは}キャノンの予想と関連している。

相対双曲群は、双曲群を一般化するクラスです。ごく大まかに言えば、^[12] が部分群の集合に対して相対双曲的であるとは、の境界上で「適切」であり、の境界上の点の における安定子がにおける部分群であるような真双曲空間への(必ずしもココンパクトではない) 真不連続作用を許容する場合です。これは、と の への作用の両方が基本的でない場合 (特に が無限である場合: たとえば、すべての群は、単一の点への作用を介して、それ自身に対して相対双曲的です!) に興味深いものです。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

このクラスの興味深い例としては、特に階数 1 の半単純リー群の非一様格子、たとえば有限体積の非コンパクト双曲多様体の基本群が挙げられます。非例としては、より高階数のリー群の格子や写像類群などがあります。

さらに一般的な概念は、非円筒的双曲群である。^[13]距離空間上の群の作用の非円筒性は、作用の適切な不連続性の弱化である。^[14]${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

群が非円筒的双曲的であるとは、それが（必ずしも適切ではない）グロモフ双曲空間上で非基本的な円筒的作用を許容する場合である。この概念には、曲線複体への作用を介して類群をマッピングすることが含まれる。高階リー群の格子は（それでも！）円筒的双曲的ではない。

別の方向では、上記の例の曲率に関する仮定を弱めることができます。CAT (0) 群は、CAT(0) 空間への幾何学的作用を許容する群です。これには、ユークリッド結晶群と高階リー群の一様格子が含まれます。

CAT(0)ではない双曲群が存在するかどうかは不明である。^[15]

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