n項グループ

数学、特に普遍代数において、 n項群（n群または多項群とも呼ばれる）の概念は、二項演算の代わりにn項演算を用いた集合Gへの群の概念の一般化である。 ^[1] n項演算 とは、 Gのn乗直交座標からGへの任意の写像f: G ⁿ → Gを意味する。n項群の公理は、 n = 2の場合の群の公理に還元されるように定義される。これらの構造に関する最も初期の研究は、1904 年に Kasner によって、1928 年に Dörnte によって行われた。^[2]多項群（当時は多項群と呼ばれていた）の最初の体系的な説明は、1940 年にEmil Leon Postによって、アメリカ数学会誌の143 ページの有名な論文で行われた。^[3]

一般化するのがもっとも簡単な公理は結合法則である。三項結合法則は多項式の恒等式( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) 、すなわち、連続する任意の 3 つの記号を括弧で囲んだ文字列abcdeの 3 つの可能な括弧の等式である。(ここで、等式はGの要素a、b、c、d、eのすべての選択に対して成り立つと理解される。) 一般に、n項結合法則は、n + ( n − 1) = 2 n − 1 個の異なる記号からなる文字列のn個の可能な括弧の等式である。結合的なn項演算で閉じている集合Gはn項半群と呼ばれる。任意の (結合的である必要はない) n項演算で閉じている集合Gはn項類群と呼ばれる。

逆公理は次のように一般化されます。2 項演算の場合、逆が存在するということは、ax = b がxに対して一意の解を持ち、同様にxa = b が一意の解を持つことを意味します。3 項の場合、これを一般化して、abx = c、axb = c、xab = cがそれぞれ一意の解を持ち、n項の場合も一意の解が存在するという同様のパターンに従い、n項準群が得られます。

n元群はn元半群であり、またn元準群でもあります。

ポストは、 n元群の構造定理を、関連群の観点から示した。^{[3] : 245-246}

2 元の場合、単位元は 0 個または 1 個存在します。空集合は半群と準群の両方であり、存在するすべての 2 元群は群であるため、空集合は 2 元群です。n ≥ 3 の n 元群では、単位元は0個、1 個、または複数個存在します。

n元群( G ,  f ) でf = ( x ₁ ◦ x ₂ ◦ ⋯ ◦ x _n )であり、 ( G , ◦)が群であるものは、可約または群 ( G , ◦) から派生した群と呼ばれます。 1928 年に Dörnte ^[2]は最初の主要な結果を発表しました。可約なn元群はn元群ですが、すべてのn  > 2に対して、可約ではないn元群が存在します。 一部のn元群には、元e ( n元単位元または中立元と呼ばれる) が存在し、1 つの場所を除いてすべてeで構成されるn元の文字列は、その場所の元にマッピングされます。 たとえば、単位元eを持つ 4 元群では、すべてのaに対してeeae  =  aです。

中性元を含むn元群は可約である。したがって、可約でないn元群にはそのような元は含まれない。中性元が複数あるn元群も存在する。n元群の中性元全体の集合が空でない場合、 n元群はn元部分群を形成する。^[4]

一部の著者はn項群の定義に単位元を含めていますが、前述のように、そのようなn項演算は単に二項演算の繰り返しです。本質的にn項演算を持つ群には単位元はありません。^[5]

n項群の定義における結合性公理と一意解は、必要以上に強力である。n 項結合性の仮定の下では、文字列の先頭または末尾、あるいは末尾以外の 1 箇所に未知数を持つ方程式の解が存在することを仮定するだけで十分である。たとえば、6 項の場合、xabcde =  f およびabcdex =  f  、またはabxcde  =  fのような式である。すると、その方程式は文字列の任意の箇所でxの一意解を持つことを証明できる。 ^[3] 結合性公理は、より弱い形式でも与えられる。^{[1] : 17}

以下は3つの要素を持つ三元群の例であり、4つのそのような群のうちの1つである^[6]

${\displaystyle {\begin{matrix}aaa=a&aab=b&aac=c&aba=c&abb=a&abc=b&aca=b&acb=c&acc=a\\baa=b&bab=c&bac=a&bba=a&bbb=b&bbc=c&bca=c&bcb=a&bcc=b\\caa=c&cab=a&cac=b&cba=b&cbb=c&cbc=a&cca=a&ccb=b&ccc=c\end{matrix}}}$

n元群の概念は、さらに( n , m ) 群(ベクトル値群とも呼ばれる) の概念に一般化できます。これは、 n > mである写像f : G ⁿ → G ^mを持つ集合 Gであり、写像の結果が 1 文字ではなく m 文字からなる単語になることを除いて、n元群と同様の公理に従います。したがって、 ( n ,1) 群はn元群です。( n , m ) 群は1983 年に G. Ĉupona によって導入されました。^[7]

• 普遍代数

• SA Rusakov: n 元群論のいくつかの応用、(ロシア語)、Belaruskaya navuka、ミンスク 1998 年。