二面体群

数学において、二面体群は正多角形の対称性の群であり、^{[1] [2]}回転と反射を含みます。二面体群は有限群の最も単純な例の1つであり、群論と幾何学において重要な役割を果たします。

二面体群の表記法は幾何学と抽象代数学では異なります。幾何学では、D _nまたはDih _{n は}、位数2 nの群であるn角形の対称性を指します。抽象代数学では、D _{2 n は}同じ二面体群を指します。^[3]この記事では、幾何学の慣例であるD _{n を}使用します。

「二面体」という言葉は、「di-」と「-hedron」から来ています。後者はギリシャ語の hédra に由来し、「幾何学的立体の面」を意味します。したがって、全体としては多角形の 2 つの面を指します。

辺を持つ正多角形には、回転対称性と反射対称性の異なる対称性があります。通常、ここでは をとります。関連する回転と反射は二面体群を構成します。が奇数の場合、各対称軸は、一方の辺の中点を反対側の頂点に接続します。 が偶数の場合、反対側の辺の中点を接続する対称軸と、反対側の頂点を接続する対称軸があります。どちらの場合でも、対称群には対称軸と要素があります。 ^[4] 1つの対称軸で反射してから別の対称軸で反射すると、軸間の角度の2倍の回転が生成されます。^[5]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n/2}$${\displaystyle n/2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$

他の幾何学的オブジェクトと同様に、正多角形の2つの対称性の合成は、このオブジェクトの対称性です。対称性の合成から別の対称性を生成するという2項演算により、多角形の対称性は有限群の代数構造を持ちます。^[6]

次のケイリー表は、グループD ₃ (正三角形の対称性)における合成の効果を示しています。r _{0 は}恒等式、r ₁および r _{2 は}それぞれ反時計回りに 120° および 240° 回転することを示し、s ₀、s ₁および s _{2 は}、隣の図に示されている 3 本の線をまたぐ反射を示します。

例えば、s ₂ s ₁ = r _{1 で}ある。これは、s ₁の反射の後にs 2 の反射が続くと、₁₂₀ ° 回転するからである。合成を表す要素の順序は右から左であり、要素がその右側の式に作用するという慣例を反映している。合成演算は可換ではない。^[6]

一般に、群 D _{n は}要素 r ₀、...、r _{n −1}および s ₀、...、s _{n −1}を持ち、その構成は次の式で表されます。

${\displaystyle \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{i+j},\quad \mathrm {r} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {s} _{i+j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {r} _{j}=\mathrm {s} _{i-j},\quad \mathrm {s} _{i}\,\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{i-j}.}$

いずれの場合も、添え字の加算と減算は、 nを法とするモジュラー演算を使用して実行されます。

正多角形を原点に中心を置くと、二面体群の要素は平面の線形変換として機能します。これにより、D _nの要素を行列として表すことができ、その合成は行列の乗算になります。これは、(2 次元)群表現の例です。

たとえば、グループD ₄の要素は次の 8 つの行列で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}}$

_{一般に、D n}の要素の行列は次の形式を持ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{and}}\\[5pt]\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

r _{k は}回転行列であり、角度 2 πk / nで反時計回りに回転することを表します。 s _kは、 x軸と角度πk / n をなす線を反射します。

D _nは、プレゼンテーションを持つグループとして定義することもできます

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\left\langle r,s\mid \operatorname {ord} (r)=n,\operatorname {ord} (s)=2,srs^{-1}=r^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=(sr)^{2}=1\right\rangle .\end{aligned}}}$

関係 を使うと、関係 が得られます。したがって、 はとによって生成されます。この置き換えにより、 が次の表現を持つ こともわかります。${\displaystyle s^{2}=1}$${\displaystyle r=s\cdot sr}$${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t:=sr}$${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$

${\displaystyle \mathrm {D} _{n}=\left\langle s,t\mid s^{2}=1,t^{2}=1,(st)^{n}=1\right\rangle .}$

特に、D _{n は}コクセター群のクラスに属します。

D _{1 は}位数 2 の 巡回群Z 2_と同型です。

D _{2 は}クラインの4元群であるK ₄と同型です。

D ₁とD ₂は次の点で例外的です。

• D ₁とD _{2 は}、唯一のアーベル二面体群です。それ以外の場合、D _{n は}非アーベル群です。
• D _{n は}、 n ≥ 3の場合、対称群S _nの部分群です。n = 1またはn = 2の場合 、 2 n > n !であるため、これらの値では、D _{n は}部分群としては大きすぎます。
• D ₂の内部自己同型群は自明であるが、nが他の偶数値の場合はD _n / Z ₂となる。

二面体群のサイクルグラフは、 n元サイクルとn 2 元サイクルで構成されます。以下のさまざまな二面体群のサイクル グラフの暗い頂点は単位元を表し、他の頂点はグループの他の元です。サイクルは、単位元に接続されたいずれかの元の連続する累乗で構成されます。

抽象群D _nの一例であり、これを視覚化する一般的な方法は、原点を固定したユークリッド平面等長投影群です。これらの群は、2 次元における 2 系列の離散点群の 1 つを形成します。D _{n は}、原点を中心とした360°/ nの倍数のn回転と、原点を通るn本の線をまたいで互いに180°/ nの倍数の角度をなす反射で構成されます。これは、 n辺を持つ正多角形の対称群です( n ≥ 3の場合。これは、 n = 1およびn = 2の場合に拡張され、それぞれ「1 角形」と「2 角形」または線分の「中心」からオフセットされた点を持つ平面になります)。

D _{n は}、n次の回転rと2次の 反射sによって生成され、

${\displaystyle \mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\,}$

幾何学的に言えば、鏡の中では回転は逆回転のように見えます。

複素数に関しては、 による乗算と複素共役です。 ${\displaystyle e^{2\pi i \over n}}$

行列形式では、

${\displaystyle \mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[4pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

とを定義すれば、 D _nの積の規則は次のように 書ける。${\displaystyle \mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{1}^{j}}$${\displaystyle \mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{0}}$${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n-1\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {r} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {s} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {s} _{(j-k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {r} _{(j-k){\text{ mod }}n}\end{aligned}}}$

(座標回転と反射を比較してください。)

二面体群 D ₂は、 r を 180 度回転し、x軸を s で反射することによって生成されます。 D ₂の要素は、{e, r, s, rs} として表すことができます。ここで、e は恒等変換またはヌル変換であり、rs はy軸を反射します。

D _{2 は}クラインの4元群と同型である。

n > 2の場合、一般に回転と反射の操作は交換されず、 D _{n は}アーベルではありません。たとえば、D ₄では、90 度回転の後に反射を行うと、反射の後に 90 度回転を行った場合とは異なる結果になります。

したがって、平面上の対称性の問題への明らかな応用を超えて、これらの群は非アーベル群の最も単純な例の 1 つであり、アーベル群に限定された定理に対する簡単な反例として頻繁に現れます。

D _nの2 n個の要素は、 e、r、r ²、...、r ^{n −1}、s、rs、r ² s、...、 r ^{n −1} sと記述できます。リストされている最初のn個の要素は回転であり、残りのn個の要素は軸反射です (すべて次数が 2)。2 つの回転または 2 つの反射の積は回転であり、回転と反射の積は反射です。

これまで、D _{n は}O(2)の部分群、つまり平面の回転 (原点の周り) と鏡映 (原点を通る軸を横切る) の群であると考えてきました。しかし、表記D _nはSO(3)の部分群にも使用され、これも抽象群型D _n : 3 次元空間に埋め込まれた正多角形の適切な対称群( n ≥ 3 の場合) です。このような図形は、面が 2 個数えられた退化した正立体と見なすことができます。そのため、二面体(ギリシャ語で 2 つの面を持つ立体) とも呼ばれ、これが二面体群(それぞれ正四面体、八面体、二十面体の適切な対称群を指す四面体、八面体、二十面体群と類似) という名前を説明しています。

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  2D D ₁₆対称性 - 日本の皇室の璽。16枚の花びらを持つ八重の菊を表現。
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  2D D ₆対称性 –ダビデの赤い星
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  2D D ₁₂対称性 — 中華民国海軍の旗 (白太陽)
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  2D D ₂₄対称性 -インド共和国の国旗に描かれているアショーカ チャクラ。

n ≥ 3の二面体群D _nの特性は、 nが偶数か奇数かによって異なります。たとえば、nが奇数の場合、 D _nの中心は単位元のみで構成されますが、 nが偶数の場合、中心には単位元と r ^{n /2}の2 つの要素があります(D _nがO(2) のサブグループである場合、これは反転です。これは-1 によるスカラー倍であるため、任意の線形変換と交換できることは明らかです)。

2D 等長変換の場合、これは反転を追加し、既存のものの間に回転とミラーを施すことに相当します。

n が奇数の 2 倍の場合、抽象群D _{n は}D _{n / 2}とZ ₂の直積と同型です。一般に、m がn を割り切る場合、D _{n に}はタイプD _mのn / m 個のサブグループと 1 つのサブグループ_mがあります。したがって、 D _n ( n ≥ 1)のサブグループの総数はd ( n ) + σ( n ) に等しくなります。ここで、d ( n ) はnの正の約数の個数、σ ( n ) はnの正の約数の合計です 。n  ≤ 8 の 場合については、 小群の一覧を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

位数 8 の二面体群 (D _{4 ) は、} T 群ではない群の最小の例です。その 2 つのクラインの 4 群部分群 ( D ₄では正規) はいずれも、 D ₄での反射 (反転) によって生成された位数 2 の部分群を正規の部分群として持ちますが、これらの部分群は D ₄では正規ではありません。

nが奇数の場合は常にすべての反射が互いに共役ですが、nが偶数の場合は 2 つの共役類に分類されます。正n角形の等長変換を考えると、 nが奇数の場合はグループ内ですべての鏡のペアの間に回転がありますが、nが偶数の場合は、これらの回転によって 1 つの鏡から到達できるのは鏡の半分だけです。幾何学的には、奇数多角形ではすべての対称軸が頂点と辺を通りますが、偶数多角形には 2 セットの軸があり、それぞれが共役類に対応しています。つまり、2 つの頂点を通る軸と 2 つの辺を通る軸です。

代数的には、これは共役シロー定理（n が奇数の場合）の一例です。nが奇数の場合、各反射は恒等写像とともに位数 2 のサブグループを形成し、これはシロー 2 サブグループ（2 = 2 ¹は 2 が2 n = 2[2 k + 1]を割り切る最大の 2 の累乗）ですが、 n が偶数の場合、これらの位数 2 のサブグループはシロー サブグループではありません。なぜなら、グループの位数は 4（2 のより大きな累乗）で割り切れるからです。

nが偶数の場合、代わりに 2 種類の反射を交換する外部自己同型が存在します(正確には、外部自己同型のクラスであり、これらはすべて内部自己同型によって共役です)。

D _nの自己同型群は/ nの正則写像、すなわちHol( / n ) = { ax + b | ( a , n ) = 1}に同型であり、位数はnϕ ( n )である。ここでϕはオイラーのトーティエント関数、つまりnと互いに素な1, ..., n − 1内のkの数である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

これは、反射と基本回転（k がnと互いに素である場合のk (2 π / n ) による回転）の生成元の観点から理解できます。どの自己同型が内部で外部であるかは、 nの偶奇性に依存します。

• n が奇数の場合、二面体群は中心を持たないため、任意の要素は非自明な内部自己同型を定義します。n が偶数の場合、 180° 回転 (原点を通した反射) は中心の非自明な要素です。
• したがって、 n が奇数の場合、内部自己同型群の位数は 2 nとなり、n が偶数の場合（ n = 2以外）、内部自己同型群の位数はnとなります。
• n が奇数の場合、すべての反射は共役です。n が偶数の場合、それらは 2 つのクラス (2 つの頂点を通るもの、および 2 つの面を通るもの) に分類され、外部自己同型によって関連付けられ、 π / n (最小回転の半分)による回転で表すことができます。
• 回転は正規部分群です。鏡映による共役は回転の符号（方向）を変えますが、それ以外は変化しません。したがって、角度をk倍する（ nと互いに素）自己同型は、 k = ±1でない限り、外部自己同型です。

D ₉には 18 個の内部自己同型があります。2D 等長群 D ₉として、群には 20° 間隔でミラーがあります。18 個の内部自己同型は、20° の倍数によるミラーの回転と反射を提供します。等長群として、これらはすべて自己同型です。抽象群として、これらに加えて、回転角度を 2 倍にするなど、36 個の外部自己同型があります。

D ₁₀には 10 個の内部自己同型があります。2D 等長変換群 D ₁₀として、群には 18° 間隔でミラーがあります。10 個の内部自己同型は、36° の倍数によるミラーの回転と反射を提供します。等長変換群として、さらに 10 個の自己同型があります。これらは、群の外部の等長変換による共役であり、内部自己同型に対してミラーを 18° 回転させます。抽象群として、これらの 10 個の内部自己同型と 10 個の外部自己同型に加えて、回転を 3 倍にするなど、さらに 20 個の外部自己同型があります。

オイラーのトーシェント関数の値 6 と 4 を比較します。これは、n = 9 と 10 の場合のn を法とする整数の乗法群です。これにより、等長写像 (回転の順序を同じにするか、順序を逆にする) としての 2 つの自己同型と比較して、自己同型の数が 3 倍と 2 倍になります。

φ ( n )=2となるnの値は3、4、6のみであり、したがって、それ自身の自己同型群と同型な二面体群はD3 (位数6)、_D4 (位数8)、D6 (_{位数12)の3}つだけである。^{[7] [8]} [ ^9]

D _nの内部自己同型群は次式と同型である: ^[10]

• nが奇数の場合はD _{n 。}
• nが偶数の場合、D _n / Z ₂（n = 2の場合、D ₂ / Z ₂ = 1）。

二面体群にはいくつかの重要な一般化があります。

• 無限二面体群は有限二面体群に似た代数構造を持つ無限群である。これは整数の対称性の群として見ることができる。
• 直交群O(2)、すなわち円の対称群も二面体群と同様の性質を持つ。
• 一般化された二面体群の族には、上記の両方の例のほか、他の多くの群が含まれます。
• 準二面体群は、二面体群と同様の特性を持つ有限群の族です。

ウィキメディア・コモンズには、二面体群に関連するメディアがあります。

• 座標回転と反射
• 二面体群のサイクル指数
• 二環式グループ
• 6 位の二面体群
• 8 位の二面体群
• 3D における二面対称群
• 3次元における二面対称性

• Shawn Dudzik による 2n 次二面体群 n、Wolfram Demonstrations Project。
• Groupprops の二面体グループ
• Weisstein, Eric W.「二面体群」。MathWorld。
• Weisstein, Eric W.「二面体群 D3」。MathWorld。
• Weisstein, Eric W.「二面体群 D4」。MathWorld。
• Weisstein, Eric W.「二面体群 D5」。MathWorld。
• Davis, Declan. 「二面体群 D6」。MathWorld。
• GroupNames 上の二面体群