自発的対称性の破れ

底面を一周する溝のある、対称的な上向きのドームを考えてみましょう。ドームの頂上にボールを置くと、システムは中心軸を中心とした回転に関して対称になります。しかし、ボールはドームを転がり落ちて、エネルギーが最も低い点である溝に入ると、この対称性を自発的に破ることがあります。その後、ボールは外周上の固定点で静止します。ドームとボールはそれぞれ対称性を保ちますが、システムは対称性を失います。^{[ 4 ]}

最も単純な理想化された相対論的モデルでは、自発的に破れた対称性は、例示的なスカラー場理論によって要約される。スカラー場の関連するラグランジアンは、${\displaystyle \phi }$⁠ は、基本的にシステムの挙動を決定づけるものであり、運動項と位置項に分けることができます。

この潜在的な用語では${\displaystyle V(\phi )}$対称性の破れが引き起こされる。ジェフリー・ゴールドストーン^{[ 5 ]}によるポテンシャルの例を左のグラフに示す。

このポテンシャルには無限個の可能な最小値（真空状態）があり、それは次のように表される。

0 から 2π までの任意の実数θに対して、このシステムはΦ = 0に対応する不安定な真空状態も持ちます。この状態はU(1)対称性を持ちます。しかし、システムが特定の安定な真空状態 ( θの選択に相当) に陥ると、この対称性は失われる、つまり「自発的に破れる」ように見えます。

実際、θの他のどの選択でもエネルギーは全く同じになり、定義方程式は対称性を尊重しますが、理論の基底状態 (真空) は対称性を破り、質量のない南部-ゴールドストーンボソンの存在、このポテンシャルの最小値で円を周回するモード、およびラグランジアンに元の対称性の何らかの記憶があることを示唆します。^{[ 6 ] [ 7 ]}

• 強磁性体の場合、その基本法則は空間回転に対して不変です。ここで、秩序パラメーターは磁化であり、これは磁気双極子密度を表します。キュリー温度以上では、秩序パラメーターはゼロとなり、空間的に不変であるため、対称性の破れはありません。しかし、キュリー温度以下では、磁化は一定の非ゼロ値を取り、ある特定の方向を向きます（完全な平衡状態にある理想的な状況の場合。そうでない場合は、並進対称性も破れます）。このベクトルの向きを不変に保つ残留回転対称性は破れませんが、他の回転はそうではなく、自発的に破れます。
• 固体を記述する法則は、完全なユークリッド群の下では不変であるが、固体自体は自発的にこの群を空間群へと分解する。変位と向きは秩序パラメータである。
• 一般相対性理論はローレンツ対称性を持つが、FRW宇宙論モデルでは、銀河の速度を平均化して定義される平均4元速度場（銀河は宇宙論的スケールではガス粒子のように振る舞う）が、この対称性を破る秩序パラメータとして作用する。同様のことが宇宙マイクロ波背景放射についても言える。
• 先に説明したように、電弱モデルでは、ヒッグス場の成分が、電弱ゲージ対称性を電磁ゲージ対称性に破る秩序パラメーターを提供します。強磁性体の例と同様に、電弱温度で相転移が起こります。私たちが対称性の破れに気づきにくいという指摘は、電弱統一の発見に長い時間がかかった理由を示唆しています。
• 超伝導体には、電磁ゲージ対称性を破る秩序パラメータとして機能する凝縮物質の集団場ψが存在する。
• 細い円筒形のプラスチック棒を用意し、両端を押し合わせます。座屈する前は、この系は回転に対して対称であり、したがって見た目にも円筒対称です。しかし、座屈後は見た目が異なり、非対称になります。それでも、円筒対称の特徴は依然として存在します。摩擦を無視すれば、棒を自由に回転させるのに力は必要なく、基底状態は時間とともに変化し、座屈方向の半径方向の振動とは異なり、周波数がゼロになる振動が生じます。この回転モードは、まさに必要な南部・ゴールドストーンボソンです。
• 無限に広がる水平面上に均一な流体層があると仮定します。この系はユークリッド平面の対称性をすべて備えています。しかし、底面を均一に加熱して上面よりもはるかに高温にすると、温度勾配が十分に大きくなると対流セルが形成され、ユークリッド対称性が破れます。
• 円形の輪に取り付けられたビーズが、垂直な直径を中心に回転している様子を考えてみましょう。回転速度が静止状態から徐々に増加すると、ビーズは最初は輪の底にある初期平衡点（直感的に安定しており、重力ポテンシャルが最も低い点）にとどまります。ある臨界回転速度に達すると、この点は不安定になり、ビーズは中心から等距離にある2つの新しい平衡点のいずれかに移動します。最初は、このシステムは直径に関して対称ですが、臨界速度を超えると、ビーズは2つの新しい平衡点のいずれかに移動することになるため、対称性が崩れます。
• 2つの風船を使った実験は、両方の風船が最初に局所的な最大圧力まで膨らまされたときに起こる、自発的な対称性の破れの一例である。一方の風船からもう一方の風船に空気が流れ込むと、両方の風船の圧力が低下し、非対称状態の方がシステムが安定する。

カイラル対称性の破れは、素粒子物理学における強い相互作用のカイラル対称性に影響を与える自発的対称性の破れの一例です。これは、これらの相互作用を記述する量子場理論である量子色力学の性質であり、非常に軽い束縛クォークを100倍重いバリオンの構成要素に変換するため、核子、ひいてはすべての一般的な物質の質量の大部分（99%以上）の原因となっています。この自発的対称性の破れ過程における近似的な南部・ゴールドストーンボソンはパイ中間子であり、その質量は核子の質量より1桁軽いものです。これは、電弱対称性の破れの根底にあるヒッグス機構の原型であり、重要な要素となっています。

強い力、弱い力、電磁力はすべてゲージ対称性から生じるものとして理解できますが、これは対称性の記述における冗長性です。ゲージ対称性の自発的対称性の破れであるヒッグス機構は、金属の超伝導と素粒子物理学の標準模型における粒子質量の起源を理解する上で重要な要素です。「自発的対称性の破れ」という用語は、エリツァーの定理によれば局所ゲージ対称性は決して自発的に破れることはないため、ここでは不適切です。むしろ、ゲージ固定後、大域的対称性（または冗長性）は、形式的には自発的対称性の破れに似た方法で破れる可能性があります。真の対称性とゲージ対称性の区別による重要な結果の一つは、ゲージ対称性の自発的破れによって生じる質量ゼロの南部・ゴールドストーンがゲージベクトル場の記述に吸収され、超伝導体のプラズマモードや素粒子物理学で観測されるヒッグスモードのような質量を持つベクトル場モードが生じることである。

素粒子物理学の標準模型では、電弱力に関連するSU(2) × U(1)ゲージ対称性の自発的対称性の破れにより、いくつかの粒子に質量が生じ、電磁力と弱い力が分離されます。Wボソンと Z ボソンは弱い相互作用を媒介する素粒子であり、光子は電磁相互作用を媒介します。100 GeV をはるかに超えるエネルギーでは 、これらの粒子はすべて同様の振る舞いをします。ワインバーグ・サラム理論は、より低いエネルギーではこの対称性が破れ、光子と質量を持つ W ボソンと Z ボソンが出現すると予測しています。^{[ 10 ]}さらに、フェルミオンは一貫して質量を獲得します。

自発的対称性の破れがなければ、標準模型は多数の粒子の存在を必要とする。しかし、一部の粒子（WボソンとZボソン）は質量を持たないと予測されるが、実際には質量を持つことが観測されている。この問題を解決するため、自発的対称性の破れはヒッグス機構によって補強され、これらの粒子に質量を与える。また、この機構は2012年に検出された新たな粒子、ヒッグス粒子の存在を示唆している。

金属の超伝導は、クーパー対の電子の凝縮体が光や電磁気に関連するU(1)ゲージ対称性を自発的に破るヒッグス現象の凝縮物質版である。

動的対称性の破れ（DSB）は、自発的対称性の破れの特殊な形態であり、システムの基底状態は、その理論的記述（すなわちラグランジアン）と比較して対称性が低下しています。

グローバル対称性の動的破れは自発的対称性の破れであり、これは（古典的な）ツリーレベル（つまり、裸の作用のレベル）ではなく、量子補正（つまり、有効作用のレベル）によって起こります。

動的ゲージ対称性の破れはより微妙なものです。従来の自発的ゲージ対称性の破れでは、理論内に不安定なヒッグス粒子が存在し、それが真空を対称性の破れた相（すなわち、電弱相互作用）へと導きます。しかし、動的ゲージ対称性の破れでは、理論内に不安定なヒッグス粒子は存在せず、システムの束縛状態自体が相転移を引き起こす不安定な場を提供します。例えば、Bardeen、Hill、Lindnerは、標準模型の従来のヒッグス機構を、トップクォークと反トップクォークの束縛状態によって駆動される動的ゲージ対称性の破れに置き換えようとする論文を発表しました。 （複合粒子がヒッグス粒子の役割を果たすこのようなモデルは、「複合ヒッグスモデル」と呼ばれることが多い。）^{[ 11 ]}ゲージ対称性の動的破れは、フェルミオン凝縮体（例えば、量子色力学におけるカイラル対称性の動的破れと関連するクォーク凝縮体）の生成によることが多い。従来の超伝導は凝縮物質側の典型的な例であり、フォノンを介した引力によって電子がペアで束縛され、凝縮し、それによって電磁ゲージ対称性が破れる。

強磁性体は、キュリー温度以下で外部磁場h = 0のときにスピンの連続対称性が自発的に破れる正準系です。キュリー温度以下では、系のエネルギーは磁化m ( x ) の反転に対して不変であり、m ( x ) = − m (− x ) となります。ハミルトニアンが反転変換に対して不変になる h → 0のとき、対称性は自発的に破れますが、期待値は不変ではありません。

自発的に対称性が破れた物質相は、対象となる対称性を破る量を記述する秩序パラメーターによって特徴づけられる。例えば、磁性体の場合、秩序パラメーターは局所的な磁化である。

連続対称性の自発的破れは、必然的に、秩序パラメーターのゆっくりとした長波長のゆらぎに関連するギャップレス（つまり、これらのモードを励起するのにエネルギーを必要としない）南部・ゴールドストーンモードを伴います。例えば、フォノンとして知られる結晶中の振動モードは、結晶原子のゆっくりとした密度ゆらぎに関連しています。磁性体における関連するゴールドストーンモードは、スピン波として知られるスピンの振動波です。秩序パラメーターが保存量ではない対称性の破れ状態の場合、南部・ゴールドストーンモードは通常、質量がなく、一定速度で伝播します。

マーミンとワグナーによる重要な定理によれば、有限温度では、南部・ゴールドストーンモードの熱活性化ゆらぎが長距離秩序を破壊し、一次元系および二次元系における自発的な対称性の破れを防ぐ。同様に、秩序パラメーターの量子ゆらぎは、零温度であっても一次元系におけるほとんどの種類の連続的な対称性の破れを防ぐ。（重要な例外は強磁性体であり、その秩序パラメーターである磁化は厳密に保存される量であり、量子ゆらぎは存在しない。）

クーロンポテンシャルや湯川ポテンシャルを介して相互作用する円筒状の曲面などの他の長距離相互作用系では、並進対称性と回転対称性が破れることが示されている。^{[ 13 ]}対称ハミルトニアンが存在し、体積が無限大の極限では、系は自発的にキラルな配置をとる、つまり鏡面対称性が破れることが示された。