オープンセット

一般的な位相幾何学や数学解析において、開集合は実数直線上の開区間の一般化である。

距離空間（すべての2点間の距離が定義されている集合）において、開集合とは、すべての点 $Pを含み、$ $P$ に十分近い距離空間のすべての点（つまり、 $Pからの距離が$ $P$ に依存するある値よりも小さいすべての点）を含む集合のことである。

より一般的には、開集合とは、与えられた集合の部分集合の集合の要素であり、その集合は、要素のすべての和集合、要素のすべての有限の共通部分、空集合、および集合全体を含むという性質を持つ。このような集合が与えられた集合は位相空間と呼ばれ、集合は位相と呼ばれる。これらの条件は非常に緩く、開集合の選択において非常に大きな柔軟性を許容する。たとえば、すべての部分集合が開集合である場合（離散位相）、または空間自体と空集合を除いてどの部分集合も開集合でない場合（非離散位相）がある。^[¹^]

しかし実際には、距離の概念を定義することなく、距離空間と同様の近接性の概念を提供するために、開集合が選択されることが多い。特に、位相空間を用いることで、もともと距離によって定義されていた連続性、連結性、コンパクト性といった性質を定義することが可能となる。

The most common case of a topology without any distance is given by manifolds, which are topological spaces that, near each point, resemble an open set of a Euclidean space, but on which no distance is defined in general. Less intuitive topologies are used in other branches of mathematics; for example, the Zariski topology, which is fundamental in algebraic geometry and scheme theory.

Motivation

Intuitively, an open set provides a method to distinguish two points. For example, if about one of two points in a topological space, there exists an open set not containing the other (distinct) point, the two points are referred to as topologically distinguishable. In this manner, one may speak of whether two points, or more generally two subsets, of a topological space are "near" without concretely defining a distance. Therefore, topological spaces may be seen as a generalization of spaces equipped with a notion of distance, which are called metric spaces.

In the set of all real numbers, one has the natural Euclidean metric; that is, a function which measures the distance between two real numbers: $d (x, y) = | x - y |$ . Therefore, given a real number x, one can speak of the set of all points close to that real number; that is, within ε of x. In essence, points within ε of x approximate x to an accuracy of degree ε. Note that ε > 0 always but as ε becomes smaller and smaller, one obtains points that approximate x to a higher and higher degree of accuracy. For example, if x = 0 and ε = 1, the points within ε of x are precisely the points of the interval (−1, 1); that is, the set of all real numbers between −1 and 1. However, with ε = 0.5, the points within ε of x are precisely the points of (−0.5, 0.5). Clearly, these points approximate x to a greater degree of accuracy than when ε = 1.

前述の議論から、 x = 0の場合、 ε を小さく定義することで、 x をより高い精度で近似できることがわかった。特に、(− ε , ε ) の形の集合は、 x = 0に近い点について多くの情報を提供してくれる。したがって、具体的なユークリッド距離について話す代わりに、集合を使用してxに近い点を記述することができる。この革新的なアイデアは、広範囲にわたる影響を及ぼす。特に、0 を含む集合の異なるコレクション (集合 (− ε , ε ) とは異なる) を定義することで、0 と他の実数との距離に関して異なる結果が得られる可能性がある。たとえば、 $R を「距離を測定する」ための唯一の集合として定義すると、0 を近似する際に達成できる精度は$ $R$ の要素であることの 1 つだけなので、すべての点が 0 に近いことになる。したがって、ある意味では、すべての実数は0から距離0離れていることがわかります。この場合、この尺度を二値条件として考えると理解しやすいかもしれません。つまり、実数 $Rに含まれるものはすべて0に等しく近く、$ $実数R$ に含まれないものはすべて0に近くないということです。

一般に、0 を近似するために用いられる 0 を含む集合の族を近傍基底と呼び、この近傍基底の要素を開集合と呼びます。実際、これらの概念は実数だけでなく任意の集合 ( X ) に一般化することができます。この場合、その集合の点 ( x ) が与えられたとき、 x を近似するために、 xの「周囲」（つまり、x を含む）の集合の集合群を定義できます。もちろん、この集合群は特定の性質 (公理として知られています) を満たす必要があります。そうでなければ、距離を測定する明確な方法が得られない可能性があります。たとえば、Xのすべての点は、ある程度の精度でx を近似する必要があります。したがって、 X はこの族に含まれなければなりません。xを含む「より小さな」集合を定義し始めると、 x をより高い精度で近似する傾向があります。これを念頭に置いて、 xの周りの集合の族が満たすべき残りの公理を定義できます。

定義

ここでは、技術的な難易度の低い順にいくつかの定義を示します。それぞれの定義は、次の定義の特殊なケースです。

ユークリッド空間

サブセット $U$ ユークリッド $n$ 次元空間 $R n$ は、すべての点 $x$ に対して、 $U$ 正の実数 $ε$ （ $xに依存する）$ が存在し、 $x$ からのユークリッド距離が $ε$ より小さい $R$ $n$ の任意の点は、 $U$ [ ²^]同様^に、部分集合 $U$ $R n$ のすべての点が開いている場合、 $U$ は、開いた球の中心であり、 $U.$

$R$ の部分集合で開集合でない例として、閉区間 $[0,1]$ が挙げられます。なぜなら、どんなに小さい $ε$ $> 0$ であっても、 $0 - ε$ も $1 + εも$ $[0,1]$ に含まれないからです。

メトリック空間

距離空間 $($ $M$ $,$ $d$ $)$ の部分集合Uは、 U内の任意の点xに対して、ある実数ε > 0 が存在し、任意の点が $y\in M$ $d (x, y) < ε$ を満たす点はUに属する。同様に、U内のすべての点がUに含まれる近傍を持つ場合、 Uは開いている。

これはユークリッド空間の例を一般化したものであり、ユークリッド距離を用いたユークリッド空間は距離空間である。

位相空間

トポロジー $\displaystyle \tau }$ 集合 $X$ 上の部分集合の集合は、 $次$ の性質を持つ。

$X\in \tau$ そして $\varnothing \in \tau$ 。
集合の和集合は $\displaystyle \tau }$ に属する $\displaystyle \tau }$ ：もし $\left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau$ それから $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau \,.$
集合の任意の有限な交差 $\displaystyle \tau }$ に属する $\displaystyle \tau }$ : 正の整数の場合 $n$ 、もし $U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau$ それから $U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau \,.$

各メンバー $\displaystyle \tau }$ は開集合と呼ばれる。^{[ 3 ]} 集合 $X$ と $\displaystyle \tau }$ 位相空間と呼ばれる。

開集合の無限の共通部分は必ずしも開集合である必要はない。例えば、次の形式のすべての区間の共通部分は $\left(-1/n,1/n\right),$ どこ $n$ は正の整数であり、集合は $\{0\}$ これは実際のラインでは開いていません。

距離空間とは位相空間の一種であり、その位相は開球の和集合であるすべての部分集合の集合から成る。ただし、距離空間ではない位相空間も存在する。

物件

任意の数の開集合の和集合、または無限個の開集合の和集合は開集合である。[ ^{4 ]有限}個の開集合の共通部分は開集合である。 ^{[ 4 ]}

（位相が定義されている空間に関して）開集合の補集合は閉集合と呼ばれる。集合は開集合かつ閉集合である場合もある（開集合）。空集合と完全空間は、開集合かつ閉集合の例である。^{[ 5 ]}

集合はそれ自体では決して開集合とはみなされない。この概念は、包含集合と、その集合上の特定の位相構造との関係において成り立つものである。

集合が開集合であるかどうかは、考慮する位相に依存します。明瞭さよりも簡潔さを優先したため、位相を備えた集合Xについて言及します。 $\displaystyle \tau }$ 「位相空間X」ではなく「位相空間」 $(X,\tau )$ すべてのトポロジーデータが含まれているにもかかわらず、 $\tau .$ 同じ集合上に 2 つの位相が存在する場合、最初の位相で開いている集合U が、2 番目の位相では開いていない可能性があります。たとえば、 Xが任意の位相空間で、Y がXの任意の部分集合である場合、集合Yには、次のように定義される独自の位相 (「部分空間位相」と呼ばれます) を与えることができます。「集合UがY上の部分空間位相で開いているのは、U がYと元の位相のX上の開集合との共通部分である場合に限る。」^{[ 6 ]}これにより、新しい開集合が導入される可能性があります。Vが元の位相のX上で開いている場合、 $V\cap Y$ Xの元のトポロジーで開いていない場合、 $V\cap Y$ Y上の部分空間位相において開いている。

この具体的な例として、U を区間内の有理数の集合と定義するとします。 $(0,1),$ この場合、Uは有理数の開集合ではあるが、実数の開集合ではない。これは、周囲の空間が有理数である場合、U内の任意の点xに対して、 xから距離ε以内にあるすべての有理点がUに含まれるような正の数εが存在するからである。一方、周囲の空間が実数である場合、U内の任意の点xに対して、 xから距離ε以内にあるすべての実点がUに含まれるような正の数εは存在しない（U には非有理数が含まれないため）。

用途

開集合は位相幾何学において極めて重要な概念である。この概念は、位相空間や、距離空間や一様空間といった空間における近接性や収束性といった概念を扱うその他の位相構造を定義し、理解するために不可欠である。

位相空間Xのすべての部分集合Aは、(空集合の場合もある) 開集合を含みます。そのような開集合の中で最大のもの (包含関係に関して順序付けられているもの) をAの内部と呼びます。これは、 Aに含まれるすべての開集合の和集合を取ることによって構成できます。^[⁷^]

関数 $f:X\to Y$ 2つの位相空間の間 $X$ そして $Y$ は、すべての開集合の逆像が $Y$ オープンしています $X.$ ^{[ 8 ]} 関数 $f:X\to Y$ は、のすべての開集合の像がである場合に開集合と呼ばれます。 $X$ オープンしています $Y.$

実数直線上の開集合は、互いに素な開区間の可算個の和集合であるという特徴的な性質を持つ。

特殊なタイプのオープンセット

クローペン集合と非オープン集合および/または非クローズ集合

集合は、開集合、閉集合、両方、またはどちらでもない場合があります。特に、開集合と閉集合は相互に排他的ではなく、一般に位相空間の部分集合が同時に開集合と閉集合の両方であることが可能です。このような部分集合は、開集合（clopen sets）と呼ばれます。具体的には、部分集合は $S$ 位相空間の $(X,\tau )$ 両方がクロープと呼ばれる場合 $S$ そしてその補遺 $X\setminus S$ は、 $(X,\tau )$ または同等に、 $S\in \tau$ そして $X\setminus S\in \tau .$

任意の位相空間において $(X,\tau ),$ 空集合 $\varnothing$ そしてセット $X$ itself are always clopen. These two sets are the most well-known examples of clopen subsets and they show that clopen subsets exist in every topological space. To see, it suffices to remark that, by definition of a topology, $X$ and $\varnothing$ are both open, and that they are also closed, since each is the complement of the other.

The open sets of the usual Euclidean topology of the real line $\mathbb {R}$ are the empty set, the open intervals and every union of open intervals.

The interval $I=(0,1)$ is open in $\mathbb {R}$ by definition of the Euclidean topology. It is not closed since its complement in $\mathbb {R}$ is $I^{\complement }=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),$ which is not open; indeed, an open interval contained in $I^{\complement }$ cannot contain $1$ , and it follows that $I^{\complement }$ cannot be a union of open intervals. Hence, $I$ is an example of a set that is open but not closed.
By a similar argument, the interval $J=[0,1]$ is a closed subset but not an open subset.
Finally, neither $K=[0,1)$ nor its complement $\mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )$ are open (because they cannot be written as a union of open intervals); this means that $K$ is neither open nor closed.

If a topological space $X$ is endowed with the discrete topology (so that by definition, every subset of $X$ is open) then every subset of $X$ is a clopen subset. For a more advanced example reminiscent of the discrete topology, suppose that ${\mathcal {U}}$ is an ultrafilter on a non-empty set $X.$ Then the union ${\displaystyle \tau$ is a topology on $X$ with the property that every non-empty proper subset $S$ of $X$ is either an open subset or else a closed subset, but never both; that is, if $\varnothing \neq S\subsetneq X$ (where $S\neq X$ ) then exactly one of the following two statements is true: either (1) $S\in \tau$ or else, (2) $X\setminus S\in \tau .$ Said differently, every subset is open or closed but the only subsets that are both (i.e. that are clopen) are $\varnothing$ and $X.$

Regular open sets

A subset $S$ of a topological space $X$ is called a regular open set if $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S$ , where $\operatorname {Bd} S$ , $\operatorname {Int} S$ , and ${\overline {S}}$ denote, respectively, the topological boundary, interior, and closure of $S$ in $X$ . A topological space for which there exists a base consisting of regular open sets is called a semiregular space. A subset of $X$ is a regular open set if and only if its complement in $X$ is a regular closed set, where by definition a subset $S$ of $X$ is called a regular closed set if ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ or equivalently, if $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.$ すべての正則開集合（または正則閉集合）は開部分集合（または閉部分集合）であるが、一般に^{[注1 ]}逆は真ではない。

開集合の一般化

全体を通して、 $(X,\tau )$ 位相空間となる。

サブセット $A\subseteq X$ 位相空間の $X$ 名称:

α-開 $A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)$ 、そしてそのような集合の補集合はα-閉集合と呼ばれる。^{[ 9 ]}
以下のいずれかの同等の条件を満たす場合、 プレオープン、ニアリーオープン、またはローカルデンスである。
1. $A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).$ ^{[ 10 ]}
2. 部分集合が存在する $D,U\subseteq X$ そのため $U$ オープンしています $X,$ $D$ は、 $X,$ そして $A=U\cap D.$ ^{[ 10 ]}
3. オープンな（ $X$ ）サブセット $U\subseteq X$ そのため $A$ は、 $U.$ ^{[ 10 ]}
プレオープン集合の補集合はプレクローズ集合と呼ばれる。
b-open if $A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)$ b-開集合の補集合はb-閉集合と呼ばれる。^{[ 9 ]}
以下のいずれかの同等条件を満たす場合、 βオープンまたはセミプレオープンである。
1. $A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)$ ^{[ 9 ]}
2. $\operatorname {cl} _{X}A$ は、の正則閉部分集合である。 $X.$ ^{[ 10 ]}
3. プレオープン部分集合が存在する $U$ の $X$ そのため $U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.$ ^{[ 10 ]}
β-開集合の補集合はβ-閉集合と呼ばれる。
以下のいずれかの同等の条件を満たす場合、 順次オープンする。
1. シーケンスが $X$ ある一点に収束する $A,$ そしてそのシーケンスは最終的に $A.$ 具体的に言うと、もし $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ はシーケンスです $X$ そしてもし存在するならば $a\in A$ は、 $x_{\bullet }\to x$ で $(X,\tau ),$ それから $x_{\bullet }$ 最終的には $A$ （つまり、ある整数が存在する） $i$ もし $j\geq i,$ それから $x_{j}\in A$ )
2. $A$ は、その連続する内部と等しい。 $X,$ 定義上、それは集合である
  ${\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}$
連続的に開集合の補集合は連続的に閉集合と呼ばれる。 $S\subseteq X$ 順次閉じられる $X$ かつその場合に限り $S$ は、定義により、その逐次閉包に等しい。 $\operatorname {SeqCl} _{X}S$ すべてから成る $x\in X$ に対して、数列が存在する $S$ 収束して $x$ （で $X$ )
ほぼ開いているとされ、開部分集合が存在する場合はベール特性を持つと言われる。 $U\subseteq X$ $U\subseteq X$ そのため $A\bigtriangleup U$ $A\bigtriangleup U$ はわずかな部分集合であり、 $\bigtriangleup$ $\bigtriangleup$ は対称差を表す。^{[ 11 ]}
- サブセット $A\subseteq X$ は、すべての部分集合に対して、制限された意味でベール性質を持つと言われます。 $E$ の $X$ 交差点 $A\cap E$ Baire の不動産は、 $E$ [ ¹²^]
半開放の場合 $A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)$ $A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)$ または同等に、 $\operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)$ $\operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)$ 補数は $X$ $X$ 半開集合の要素は半閉集合と呼ばれる。^{[ 13 ]}
- 半閉鎖（ $X$ 部分集合の） $A\subseteq X,$ で示される $\operatorname {sCl} _{X}A,$ は、すべての半閉部分集合の共通部分である。 $X$ 含まれる $A$ 部分集合として。^{[ 13 ]}
各 $x\in A$ ある半開部分集合が存在する $U$ の $X$ そのため $x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.$ ^{[ 13 ]}
θ-開（またはδ-開）とは、その補集合が $X$ は θ-閉集合（またはδ-閉集合）であり、定義により、の部分集合は $X$ 点が、そのすべての θ-クラスタ点 (または δ-クラスタ点) の集合と等しい場合、その点はθ-閉(またはδ-閉)と呼ばれます。 $x\in X$ は部分集合のθ-クラスター点（またはδ-クラスター点）と呼ばれる。 $B\subseteq X$ すべてのオープンな近隣地域について $U$ の $x$ で $X,$ 交差点 $B\cap \operatorname {cl} _{X}U$ 空ではありません (それぞれ)。 $B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)$ 空ではない）。^{[ 13 ]}

事実を利用して

A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B

そして

\operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B

2 つの部分集合が $A,B\subseteq X$ 満足する $A\subseteq B,$ 以下のことが推論できる。

すべてのα-開部分集合は、半開集合、半前開集合、前開集合、およびb-開集合である。
すべてのb-開集合は半プレオープン（すなわちβ-開集合）である。
すべてのプレオープンセットはb-オープンであり、セミプレオープンである。
すべての半開集合はb-開集合であり、かつ半プレ開集合である。

さらに、部分集合が正則開集合であるのは、それが前開かつ半閉である場合に限る。^{[ 10 ]} α-開集合と半前開集合（または半開、前開、b-開）集合の共通部分は、半前開集合（または半開、前開、b-開）集合である。^{[ 10 ]} 前開集合は必ずしも半開である必要はなく、半開集合は必ずしも前開である必要はない。^{[ 10 ]}

プレオープン集合（それぞれα-オープン、b-オープン、セミプレオープン）の任意の和集合は、再びプレオープン（それぞれα-オープン、b-オープン、セミプレオープン）となる。^{[ 10 ]}ただし、プレオープン集合の有限な共通部分はプレオープンである必要はない。^{[ 13 ]}空間のすべてのα-オープン部分集合の集合 $(X,\tau )$ 上にトポロジーを形成する $X$ それはより優れている $\tau .$ ^{[ 9 ]}

位相空間 $X$ ハウスドルフであるのは、すべてのコンパクト部分空間が $X$ θ-閉空間である。^{[ 13 ]} 空間 $X$ 空間が完全に不連結であるのは、すべての正則閉部分集合が前開集合である場合、または同等に、すべての半開部分集合が前開集合である場合に限る。さらに、空間が完全に不連結であるのは、すべての前開部分集合の閉包が開集合である場合に限る。 ^{[ 9 ]}

注記

↑例外は、 $X$ は離散トポロジーを備えており、その場合、のすべての部分集合は $X$ は、の正則開部分集合であり、かつ正則閉部分集合でもある。 $X.$

参考文献

↑マンクレス 2000、76-77頁。
↑上野健二ほか (2005) 「多様体の誕生」『数学の贈り物：トポロジー、関数、幾何学、代数の相互作用』第 3巻、アメリカ数学会、 38頁、 ISBN 9780821832844。
↑マンクレス 2000、76ページ。
1 2 Taylor, Joseph L. (2011). "解析関数" .複素変数. サリーシリーズ . アメリカ数学会 . p. 29. ISBN 9780821869017。
↑クランツ、スティーブン・G. (2009). "基礎" .応用を含むトポロジーの基礎. CRC Press. pp. 3–4 . ISBN 9781420089745。
↑マンクレス 2000、88ページ。
↑マンクレス 2000、95ページ。
↑マンクレス 2000、102ページ。
1 2 3 4 5ハート 2004、p. 9。
1 2 3 4 5 6 7 8 9ハート、2004 年、8 ～ 9 ページ。
↑ Oxtoby, John C. (1980). "4. ベールの性質".測度とカテゴリー. 大学院数学テキスト. 第2巻 (第2版). Springer-Verlag. pp. 19–21 . ISBN 978-0-387-90508-2。
↑クラトフスキ、カジミエシュ(1966)。トポロジー。第 1 巻。アカデミックプレスおよびポーランド科学出版社。
1 2 3 4 5 6 Hart 2004、p. 8。

参考文献

ハート、クラース（2004）。一般トポロジー百科事典。アムステルダム・ボストン：エルゼビア／ノースホランド。ISBN 0-444-50355-2OCLC 162131277。
ハート、クラース・ピーター。永田純一；ヴォーン、ジェリー E. (2004)。一般的なトポロジーの百科事典。エルゼビア。ISBN 978-0-444-50355-8。
マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2 版）.アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260。（視覚障害のある利用者も利用可能）

外部リンク

「開集合」 .数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].

[9] 例外は、 $X$ は離散トポロジーを備えており、その場合、のすべての部分集合は $X$ は、の正則開部分集合であり、かつ正則閉部分集合でもある。 $X.$

[FOOTNOTEMunkres200076–77-1] マンクレス 2000、76-77頁。

[2] 上野健二ほか (2005) 「多様体の誕生」『数学の贈り物：トポロジー、関数、幾何学、代数の相互作用』第 3巻、アメリカ数学会、 38頁、 ISBN 9780821832844。

[FOOTNOTEMunkres200076-3] マンクレス 2000、76ページ。

[Taylor-2011-p29-4] 1 2 Taylor, Joseph L. (2011). "解析関数" .複素変数. サリーシリーズ . アメリカ数学会 . p. 29. ISBN 9780821869017。

[5] クランツ、スティーブン・G. (2009). "基礎" .応用を含むトポロジーの基礎. CRC Press. pp. 3–4 . ISBN 9781420089745。

[FOOTNOTEMunkres200088-6] マンクレス 2000、88ページ。

[FOOTNOTEMunkres200095-7] マンクレス 2000、95ページ。

[FOOTNOTEMunkres2000102-8] マンクレス 2000、102ページ。

[FOOTNOTEHart20049-10] 1 2 3 4 5ハート 2004、p. 9。

[FOOTNOTEHart20048–9-11] 1 2 3 4 5 6 7 8 9ハート、2004 年、8 ～ 9 ページ。

[oxtoby-12] Oxtoby, John C. (1980). "4. ベールの性質".測度とカテゴリー. 大学院数学テキスト. 第2巻 (第2版). Springer-Verlag. pp. 19–21 . ISBN 978-0-387-90508-2。

[13] クラトフスキ、カジミエシュ(1966)。トポロジー。第 1 巻。アカデミックプレスおよびポーランド科学出版社。

[FOOTNOTEHart20048-14] 1 2 3 4 5 6 Hart 2004、p. 8。

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2

[ 3 ]

4 ]有限

[ 5 ]

[ 6 ]

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[注1 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

12

[ 13 ]

オープンセット

Motivation

定義

ユークリッド空間

メトリック空間

位相空間

物件

用途

特殊なタイプのオープンセット

クローペン集合と非オープン集合および/または非クローズ集合

Regular open sets

開集合の一般化

関連項目

注記

参考文献

参考文献

外部リンク

関連するトピック

円は

円盤は

赤い

閉集合