コホモロジー

数学、特にホモロジー理論と代数トポロジーにおいて、コホモロジーは、位相空間やその他の数学的対象に代数的不変量を付加し、その性質を計算可能な形で符号化する方法です。コホモロジーは、空間の局所的な性質が、大域的な性質への移行時に妨げられるかどうかという問題と密接に関連しています。例えば、メビウスの帯は線分と円の積空間（つまり円柱）ではなく、円の任意の線分上では、大域的なねじれのない通常の長方形（2つの線分の積）に似ています。積構造を大域的にする上での障害は、基礎となる円の第一コホモロジーに符号化されており、これは線が円の周りをねじれる2つの非等価な方法（偶数回のねじれまたは奇数回のねじれ）を分類します。線が円の周りをねじれる非等価な方法が2つしかないという事実は、関連するコホモロジー群に符号化されています。${\displaystyle H^{1}(S^{1},\{+1,-1\})}$これは群と同型として計算できる${\displaystyle \{+1,-1\}}$どこ${\displaystyle +1}$偶数回のねじれに対応し、${\displaystyle -1}$奇数にする。

一般的に抽象的な定式化において、コホモロジーは、コチェイン複体から定義されることが多いアーベル群の列である。コホモロジーは、ホモロジーよりも豊かな代数的不変量を空間に割り当てる方法と見なすことができる。コホモロジーのいくつかのバージョンは、ホモロジーの構成を双対化することによって生じる。

位相幾何学におけるこの考え方は、20世紀後半の数学において支配的な手法となった。位相空間の代数的不変量を構成する方法としてのホモロジーという当初の考え方から、ホモロジーとコホモロジー理論の応用範囲は幾何学と代数学全体に広がった。用語は、反変理論であるコホモロジーが多くの応用においてホモロジーよりも自然であるという事実を覆い隠す傾向がある。基本的なレベルでは、これは幾何学的状況における関数と引き戻しに関係している。与えられた空間${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$、そしていくつかの機能${\displaystyle F}$の上${\displaystyle Y}$任意のマッピングについて${\displaystyle f:X\to Y}$構成${\displaystyle F}$関数を生み出す${\displaystyle F\circ f}$の上${\displaystyle X}$最も重要なコホモロジー理論は、カップ積と呼ばれる積を持ち、それによって環構造を持つ。この特徴のため、コホモロジーは通常、ホモロジーよりも強い不変量となる。

コホモロジーは、数学の様々な分野に現れる、関連する構成の集合です。共通のパターンとしては、コチェインと呼ばれる対象、コチェインが適合条件を満たしていない度合いを測るコバウンダリー演算子、そして自明な、あるいは正確な寄与だけ異なるコチェインを同一視することによって得られるコホモロジー類があります。

特異コホモロジーは位相幾何学における強力な不変量であり、任意の位相空間に次数付き可換環を対応させる。すべての連続写像${\displaystyle f:X\to Y}$コホモロジー環から準同型を決定する${\displaystyle Y}$の${\displaystyle X}$; これにより、可能な地図に強い制約が課せられます。${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$ホモトピー群のようなより微妙な不変量とは異なり、コホモロジー環は、関心のある空間に対して実際に計算可能である傾向がある。

位相空間の場合${\displaystyle X}$特異コホモロジーの定義は特異鎖複体から始まります: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$ 定義により、${\displaystyle X}$これは、この鎖複体のホモロジー（前のホモモルフィズムの像を法とするあるホモモルフィズムの核）です。より詳細には、${\displaystyle C_{i}}$は、標準からの連続写像の集合上の自由アーベル群です。${\displaystyle i}$-シンプレックス${\displaystyle X}$（「単数形」と呼ばれる）${\displaystyle i}$-単体${\displaystyle X}$"）、 そして$\displaystyle \partial _{i}}$は${\displaystyle i}$第 1 次境界準同型群。${\displaystyle C_{i}}$ゼロです${\displaystyle i}$ネガティブ。

次にアーベル群を固定します。${\displaystyle A}$、各グループを置き換えます${\displaystyle C_{i}}$その双対グループによって${\displaystyle C_{i}^{*}=\mathrm {Hom} (C_{i},A)}$（係数が体で取られるとき、双対群は双対ベクトル空間である）${\displaystyle C_{i}}$）、 そして${\displaystyle \partial _{i}}$双対準同型によって$${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

This has the effect of "reversing all the arrows" of the original complex, leaving a cochain complex$${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

For an integer ${\displaystyle i}$, the ${\displaystyle i}$^thcohomology group of ${\displaystyle X}$ with coefficients in ${\displaystyle A}$ is defined to be ${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})}$ and denoted by ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$. The group ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$ is zero for ${\displaystyle i}$ negative. The elements of ${\displaystyle C_{i}^{*}}$ are called singular ${\displaystyle i}$-cochains with coefficients in ${\displaystyle A}$. (Equivalently, an ${\displaystyle i}$-cochain on ${\displaystyle X}$ can be identified with a function from the set of singular ${\displaystyle i}$-simplices in ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle A}$.) Elements of ${\displaystyle \ker(d)}$ and ${\displaystyle {\textrm {im}}(d)}$ are called cocycles and coboundaries, respectively, while elements of ${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)}$ are called cohomology classes (because they are equivalence classes of cocycles).

In what follows, the coefficient group ${\displaystyle A}$ is sometimes not written. It is common to take ${\displaystyle A}$ to be a commutative ring${\displaystyle R}$; then the cohomology groups are ${\displaystyle R}$-modules. A standard choice is the ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ of integers.

Some of the formal properties of cohomology are only minor variants of the properties of homology:

• A continuous map ${\displaystyle f:X\to Y}$ determines a pushforward homomorphism ${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$ on homology and a pullback homomorphism ${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$ on cohomology. This makes cohomology into a contravariant functor from topological spaces to abelian groups (or ${\displaystyle R}$-modules).
• Two homotopic maps from ${\displaystyle X}$ to ${\displaystyle Y}$ induce the same homomorphism on cohomology (just as on homology).
• The Mayer–Vietoris sequence is an important computational tool in cohomology, as in homology. Note that the boundary homomorphism increases (rather than decreases) degree in cohomology. That is, if a space ${\displaystyle X}$ is the union of open subsets${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V}$, then there is a long exact sequence: $${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$
• There are relative cohomology groups ${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$ for any subspace${\displaystyle Y}$ of a space ${\displaystyle X}$. They are related to the usual cohomology groups by a long exact sequence: $${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$
• The universal coefficient theorem describes cohomology in terms of homology, using Ext groups. Namely, there is a short exact sequence$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$ A related statement is that for a field${\displaystyle F}$, ${\displaystyle H^{i}(X,F)}$ is precisely the dual space of the vector space${\displaystyle H_{i}(X,F)}$.
• If ${\displaystyle X}$ is a topological manifold or a CW complex, then the cohomology groups ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$ are zero for ${\displaystyle i}$ greater than the dimension of ${\displaystyle X}$.^[4] If ${\displaystyle X}$はコンパクト多様体（境界を持つ場合もある）または各次元に有限個のセルを持つCW複体であり、${\displaystyle R}$は可換ネーター環である。${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle H^{i}(X,R)}$各​​${\displaystyle i}$[ ^{5 ]​}

一方、コホモロジーにはホモロジーにはない重要な構造がある。任意の位相空間に対して${\displaystyle X}$可換環${\displaystyle R}$双線形写像があり、カップ積と呼ばれます。 $${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$ 特異コチェイン上の明示的な式によって定義される。コホモロジー類の積${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$次のように書かれています${\displaystyle u\cup v}$または単に${\displaystyle uv}$この製品は直接合計します$${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$次数付き環、すなわちコホモロジー環 に${\displaystyle X}$次数付き可換である: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

任意の連続マップ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$プルバック${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$は次数付き準同型写像である${\displaystyle R}$-代数。したがって、2 つの空間がホモトピー同値であれば、それらのコホモロジー環は同型である。

カップ積の幾何学的解釈をいくつか紹介します。以下では、特に断りのない限り、多様体は境界を持たないものとします。閉多様体とは、コンパクトな多様体（境界を持たない）を意味し、多様体Mの閉部分多様体Nとは、 Mの閉部分集合である部分多様体を意味し、必ずしもコンパクトである必要はありません（ただし、MがコンパクトであればNも自動的にコンパクトになります）。

• X を次元nの閉じた向き付けられた多様体とする。このとき、ポアンカレ双対性により同型写像H ⁱ X ≅ H _{n − i} Xが得られる。結果として、X内の余次元iの閉じた向き付けられた部分多様体S は、 H ⁱ X内のコホモロジー類[ S ] を決定する。これらの用語では、カップ積は部分多様体の交差を表す。すなわち、SとT が次元iとjの部分多様体であり、横断的に交差する場合、$${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$ここで、交差S ∩ Tは余次元i + jの部分多様体であり、その向きはS、T、およびXの向きによって決定されます。滑らかな多様体の場合、SとT が横断的に交差しない場合でも、この式はSまたはTを摂動させて交差を横断的にすることで、カップ積 [ S ][ T ]を計算するために使用できます。
  より一般的に言えば、Xに向き付けがあると仮定しなくても、法束上に向き付けを持つXの閉部分多様体は、 X上のコホモロジー類を決定します。Xが非コンパクト多様体の場合、閉部分多様体（必ずしもコンパクトである必要はない）は、 X上のコホモロジー類を決定します。どちらの場合も、カップ積は部分多様体の交差によって再び記述できます。
  トムは、滑らかな14次元多様体上に次数7の整数コホモロジー類を構築したが、それはどの滑らかな部分多様体の類でもないことに注意した。 ^{[ 7 ]}一方、彼は、滑らかな多様体上の正の次数を持つすべての整数コホモロジー類には、滑らかな部分多様体の類である正の倍数があることを示した。^{[ 8 ]}また、多様体上のすべての整数コホモロジー類は、「擬似多様体」、すなわち、余次元が少なくとも2の閉部分集合の外側にある多様体である単体複体によって表現できる。
• 滑らかな多様体Xに対して、ド・ラームの定理によれば、実係数を持つXの特異コホモロジーは、微分形式を用いて定義されるXのド・ラームコホモロジーと同型である。カップ積は微分形式の積に対応する。この解釈の利点は、微分形式の積は次数付き可換であるのに対し、特異コチェインの積は鎖ホモトピーを除いて次数付き可換であるという点である。実際、整数係数を持つ特異コチェインの定義を変更することは不可能である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$または${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$素数pに対して、積が次数付き可換となるためには、次数付き可換性が不可欠である。コチェインレベルでの次数付き可換性の破綻は、mod pコホモロジー上のスティーンロッド演算につながる。

非常に非公式に言うと、任意の位相空間Xに対して、${\displaystyle H^{i}(X)}$は、 X上で自由に移動できるXの余次元i部分空間によって表現されると考えることができます。たとえば、 の要素を定義する 1 つの方法は、${\displaystyle H^{i}(X)}$これは、 Xから多様体Mへの連続写像fと、法束上の向き付けを持つMの閉余次元i部分多様体N を与えることである。非公式には、結果として得られるクラスを考える。${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$部分空間上に横たわっている${\displaystyle f^{-1}(N)}$Xの;これはクラスが${\displaystyle f^{*}([N])}$開集合のコホモロジーにおいてゼロに制限される${\displaystyle X-f^{-1}(N).}$コホモロジークラス${\displaystyle f^{*}([N])}$NはM内部の任意の連続変形によって置き換えられるという意味で、X上で自由に移動できる。

以下では、特に断りのない限り、コホモロジーは整数Zの係数を持つものとする。

• 点のコホモロジー環は、次数 0 の環Zです。ホモトピー不変性により、これはユークリッド空間R ⁿのような任意の可縮空間のコホモロジー環でもあります。

• 

  正の整数nに対して、球面のコホモロジー環は${\displaystyle S^{n}}$Z [ x ]/( x ² ) (与えられたイデアルによる多項式環の商環) であり、 x は次数nである。上記のポアンカレ双対性の観点から、xは球面上の点のクラスである。
• トーラスのコホモロジー環${\displaystyle (S^{1})^{n}}$は、次数 1 のn 個の生成元を持つZ上の外積代数である。^{[ 9 ]}例えば、P を円内の点とする。${\displaystyle S^{1}}$、Qは2次元トーラス内の点( P , P )である。${\displaystyle (S^{1})^{2}}$すると、( S ¹ ) ²のコホモロジーは、次の形式の自由Z加群として基底を持ちます。次数 0 の要素 1、次数 1 のx  := [ P × S ¹ ] およびy  := [ S ¹ × P ]、次数 2のxy = [ Q ]。 (暗黙のうちに、トーラスと 2 つの円の向きはここで固定されています。)次数付き可換性により、 yx = − xy = −[ Q ] であることに注意してください。
• より一般的に、R を可換環とし、XとY を任意の位相空間とし、 H ^* ( X , R ) が各次数において有限生成自由R加群であるとする。( Yについては仮定は不要である。) すると、Künneth の公式により、積空間X × Yのコホモロジー環はR代数のテンソル積となる。^{[ 10 ]}$${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• Z /2 係数を持つ実射影空間RP ⁿのコホモロジー環はZ /2[ x ]/( x ^{n +1} ) であり、x は次数 1 である。 ^{[ 11 ]}ここでxはRP ⁿ内の超平面RP ^{n −1}のクラスである。これは、 z /2 係数を持つポアンカレ双対性が任意の多様体に対して機能するため、jが偶数かつ正の場合にRP ^jが向き付け可能でない場合でも意味がある。
  整数係数の場合、答えはもう少し複雑になります。RP ^{2 a}のZコホモロジーには、次数 2 の要素yがあり、コホモロジー全体は、次数 0 の要素 1 によって張られるZのコピーと、i =1,..., aの要素y ⁱによって張られるZ /2 のコピーの直和になります。 RP ^{2 a +1}のZコホモロジーは、次数 2 a +1のZの追加コピーを加えたものと同じです。 ^{[ 12 ]}
• 複素射影空間CP ⁿのコホモロジー環はZ [ x ]/( x ^{n +1} ) であり、 x は次数 2 である。 ^{[ 11 ]}ここで、xはCP ⁿ内の超平面CP ^{n −1}のクラスである。より一般的には、x ^jはCP ⁿ内の線形部分空間CP ^{n − j}のクラスである。
• 種数g ≥ 0の閉じた向き付けられた曲面Xのコホモロジー環は、次の形式の自由Z加群として基底を持ちます。次数 0 の要素 1、次数 1 のA ₁ ,..., A _gおよびB ₁ ,..., B _g、次数 2 の点のクラスP。積は次のように与えられます。すべてのiおよびjに対してA _i A _j = B _i B _j = 0 、i ≠ jの場合A _i B _j = 0 、すべての i に対してA i B _i = _P。 [ 13 ^{]次数付き}可換性により、 B _i A _i = − Pが成り立ちます。
• 任意の位相空間において、コホモロジー環の次数付き可換性は、すべての奇数次コホモロジー類xに対して 2 x ² = 0 であることを意味する。したがって、1/2 を含む環Rの場合、 H ^* ( X , R )のすべての奇数次要素は二乗ゼロとなる。一方、RがZ /2 またはZの場合、奇数次要素は二乗ゼロになる必要はない。これは、 RP ² ( Z /2 係数を持つ) またはRP ⁴ × RP ² ( Z係数を持つ)の例で確認できる。

コホモロジー上のカップ積は対角写像から得られるものと見なすことができる${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$、${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$つまり、あらゆるスペースについて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$コホモロジー類を持つ${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$そして${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$外部積（または交差積）コホモロジー類が存在する${\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,R)}$クラスのカップ製品${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$そして${\displaystyle v\in H^{j}(X,R)}$対角線による外部積の引き戻しとして定義できる。^{[ 14 ]}$${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

あるいは、外部積はカップ積の観点から定義することもできます。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$、 書く${\displaystyle f:X\times Y\to X}$そして${\displaystyle g:X\times Y\to Y}$2 つの射影について。次に、クラスの外部積${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$そして${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$は： $${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

ポアンカレ双対性の別の解釈は、閉じた向き付けられた多様体のコホモロジー環が強い意味で自己双対であるというものである。すなわち、${\displaystyle X}$次元の閉じた連結な向き付けられた多様体である${\displaystyle n}$、そして${\displaystyle F}$フィールドである。${\displaystyle H^{n}(X,F)}$は同型である${\displaystyle F}$、そして製品

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

各整数の完璧な組み合わせです${\displaystyle i}$[ ^{15 ]}特に、ベクトル^空間${\displaystyle H^{i}(X,F)}$そして${\displaystyle H^{n-i}(X,F)}$は同じ（有限）次元を持つ。同様に、ねじれを法とする整数コホモロジー上の積は、${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$完璧な組み合わせです${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

位相空間X上のランクrの向き付けられた実ベクトル束E は、X上のコホモロジー類、すなわちオイラー類χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ) を決定します。非公式には、オイラー類はEの一般切断の零集合の類です。この解釈は、 Eが滑らかな多様体X上の滑らかなベクトル束である場合に、より明確にすることができます。なぜなら、その場合、 Xの一般的な滑らかな切断は、Xの余次元rの部分多様体上で消滅するからです。

コホモロジーの値をとるベクトル束の特性クラスには、他にもいくつかの種類があり、チャーンクラス、スティフェル・ホイットニークラス、ポントリャーギンクラスなどが含まれます。

各アーベル群Aと自然数jに対して、空間が存在する。${\displaystyle K(A,j)}$j番目のホモトピー群がAと同型であり、他のホモトピー群がゼロであるような空間をアイレンベルク・マクレーン空間と呼ぶ。この空間は、コホモロジーの分類空間であるという注目すべき性質を持つ。すなわち、自然な元uが存在する。${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$、また、空間X上の次数jのコホモロジー類は、ある連続写像によるuの引き戻しである。${\displaystyle X\to K(A,j)}$より正確には、クラスuを引き戻すと全単射が得られる。

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

CW複体のホモトピー型を持つすべての空間Xについて。 ^{[ 16 ]}ここで${\displaystyle [X,Y]}$は、 XからYへの連続写像のホモトピー類の集合を表します。

例えば、スペース${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$（ホモトピー同値を除いて定義される）は円とみなすことができる${\displaystyle S^{1}}$。つまり、上記の説明では、${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$点のクラスuから引き戻される${\displaystyle S^{1}}$地図によって${\displaystyle X\to S^{1}}$。

任意のアーベル群Aの係数を持つ第一コホモロジーに関する関連する記述がある。例えば、 CW 複体Xの場合、${\displaystyle H^{1}(X,A)}$は、群Aを持つXのガロア被覆空間 の同型類の集合と 1 対 1 で対応しており、これはX上の主A束とも呼ばれる。連結なXの場合、次のことが成り立つ。${\displaystyle H^{1}(X,A)}$は同型である${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$、 どこ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$はXの基本群です。例えば、${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$Xの二重被覆空間を要素で分類します。${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$これは、自明な二重被覆、すなわちXの 2 つのコピーの非交和に対応します。

任意の位相空間Xに対して、キャップ積は双線形写像である。

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

任意の整数iおよびjと任意の可換環Rに対して、結果として得られる写像は次のようになる。

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

Xの特異ホモロジーをXの特異コホモロジー環上の加群にする。

i = jの場合、キャップ積は自然な準同型を与える。

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

これは、 Rを体とする同型写像である。

例えば、X を必ずしもコンパクトではない向き付けられた多様体とする。このとき、Xの閉じた向き付けられた余次元iの部分多様体Y (必ずしもコンパクトではない) はH ⁱ ( X , R ) の要素を決定し、Xのコンパクトな向き付けられたj次元の部分多様体ZはH _j ( X , R )の要素を決定する。キャップ積 [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) は、 YとZを摂動させて横断的に交差させ、その交差のクラス (次元j − iのコンパクトな向き付けられた部分多様体) を取ることによって計算できる。

n次元の閉じた向き付けられた多様体Xは、 H _n ( X , R ) に基本クラス[ X ]を持つ。ポアンカレ双対性同型 $${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$X の基本クラスとのキャップ積によって定義される。

コホモロジーは現代代数トポロジーの基礎となる概念であるが、その重要性が認識されたのはホモロジーが発展してから約40年後のことであった。アンリ・ポアンカレがポアンカレ双対性定理の証明に用いた双対セル構造の概念には、コホモロジーの考え方の萌芽が含まれていたが、それが認識されたのは後のことであった。

コホモロジーには様々な前身が存在した。^{[ 17 ]} 1920年代半ば、JW AlexanderとSolomon Lefschetzは多様体上のサイクルの交差理論を創始した。閉じた向き付けられたn次元多様体Mにおいて、空でない交差を持つiサイクルとjサイクルは、一般の位置にある場合、その交差として( i  + j - n )サイクルを持つ。これはホモロジー類の乗算につながる。   

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

これは（後から考えると） Mのコホモロジー上のカップ積と同一視できる。

アレクサンダーは1930年までに、空間X上のi-コチェインをX ^{i +1}の対角線の小さな近傍の関数として考えることで、コチェインの最初の概念を定義した。

1931年、ジョルジュ・ド・ラームはホモロジーと微分形式を関連付け、ド・ラームの定理を証明した。この結果は、コホモロジーを用いてより簡潔に表現することができる。

1932～33年、コホモロジーは、ハインツ・ホップ^{[ 18 ]}とエグバート・ファン・カンペン^{[ 19 ]}の 障害に関する研究に本質的に登場した。ホップは、k次元多面体からk次元球面への連続写像のホモトピー（およびホモトピー分類）に対する障害を考案した。彼の研究ではコホモロジーが暗黙のうちに現れ、コホモロジーを明示的に含むより自然な定式化は、1937年にハスラー・ホイットニーによって与えられた^{[ 20 ]。}ファン・カンペンは、 k次元多面体の2k次元ユークリッド空間への埋め込み可能性に対する障害（およびk>2の場合の基準）を考案した。彼の研究ではコホモロジーが明示的に現れたが、特定のケース（特定の構成空間、削除された積）の場合のみであった。

1934年、レフ・ポントリャーギンは位相群に関する定理であるポントリャーギン双対性定理を証明した。これは（かなり特殊な場合において）群指標を用いてポアンカレ双対性とアレクサンダー双対性を解釈するものである。

1935年にモスクワで開催された会議で、アンドレイ・コルモゴロフとアレクサンダーは共にコホモロジーを導入し、コホモロジー積構造を構築しようと試みた。

1936 年、ノーマン・スティーンロッドは、チェヒ ホモロジーを二重化することによってチェフ コホモロジーを構築しました。

1936年から1938年にかけて、ハスラー・ホイットニーとエドゥアルト・チェフはカップ積（コホモロジーを次数付き環にする）とキャップ積を開発し、ポアンカレ双対性がキャップ積を用いて表現できることに気づいた。しかし、彼らの理論はまだ有限セル複体に限定されていた。

1944年、サミュエル・アイレンベルクは技術的な制約を克服し、特異ホモロジーとコホモロジーの現代的な定義を与えた。

1945年、アイレンベルクとスティーンロッドは、後述するホモロジー理論またはコホモロジー理論を定義する公理を提唱した。彼らは1952年の著書『代数トポロジーの基礎』の中で、既存のホモロジー理論とコホモロジー理論が実際に彼らの公理を満たしていることを証明した。

1946年、ジャン・ルレイは層コホモロジーを定義した。

1948年、エドウィン・スパニアは、アレクサンダーとコルモゴロフの研究に基づいて、アレクサンダー・スパニア・コホモロジーを開発した。

層コホモロジーは特異コホモロジーの豊かな一般化であり、アーベル群よりも一般的な「係数」を許容します。位相空間X上の任意のアーベル群の層Eに対して、整数iに対するコホモロジー群H ⁱ ( X , E )が存在します。特に、アーベル群Aに関連付けられたX上の定数層の場合、結果として得られる群H ⁱ ( X , A ) は、多様体または CW 複体Xの特異コホモロジーと一致します(ただし、任意の空間Xの場合は一致しません)。1950 年代以降、層コホモロジーは、正則関数の層や正則関数の層の重要性もあって、代数幾何学と複素解析の中心的な部分となりました。

グロタンディークは、ホモロジー代数の言語で層コホモロジーを優雅に定義し、特徴づけた。重要な点は、空間Xを固定し、層コホモロジーをX上の層のアーベル圏からアーベル群への関手として考えることである。X上の層EをX上の大域切断のアーベル群 E ( X ) に取り込む関手から始める。この関手は左完全であるが、必ずしも右完全ではない。グロタンディークは、層コホモロジー群を左完全関手 E ↦ E ( X )の右導来関手として定義した。^{[ 3 ]}

この定義は、様々な一般化を示唆している。例えば、位相空間Xのコホモロジーを、任意の層の複体の係数を用いて定義することができる。これは以前はハイパーコホモロジーと呼ばれていたが、現在では通常単に「コホモロジー」と呼ばれる。この観点からすると、層コホモロジーは、 X上の層の導来圏からアーベル群への関手の列となる。

広い意味では、「コホモロジー」はアーベル圏上の左完全関手の右導来関手を指すのに用いられることが多く、「ホモロジー」は右完全関手の左導来関手を指すのに用いられる。例えば、環Rの場合、Tor 群Tor _i ^R ( M , N ) は、各変数においてR加群のテンソル積M ⊗ _R Nの左導来関手である「ホモロジー理論」を形成する。同様に、Ext 群Ext ⁱ _R ( M , N ) は、各変数において Hom 関手 Hom _R ( M , N )の右導来関手である「コホモロジー理論」と見なすことができる。

層コホモロジーは、ある種の Ext 群と同一視できます。すなわち、位相空間X上の層Eに対して、H ⁱ ( X , E ) は Ext ⁱ ( Z _X , E )と同型です。ここで、Z _{X は}整数Zに関連付けられた定数層を表し、Ext はX上の層のアーベル圏で取られます。

代数多様体のコホモロジーを計算するために構築された機械は数多く存在する。最も単純な例は、標数1の体上の滑らかな射影多様体のコホモロジーの決定である。${\displaystyle 0}$ホッジ理論のツールであるホッジ構造は、これらのタイプの多様体のコホモロジーの計算に役立ちます（より洗練された情報が追加されています）。最も単純なケースでは、滑らかな超曲面のコホモロジーは、${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$多項式の次数のみから決定できる。

有限体または標数体上の多様体を考える場合${\displaystyle p}$古典的なホモロジー/コホモロジーの定義が破綻するため、より強力なツールが必要となります。これは、有限体上の多様体は有限個の点の集合にしかならないためです。グロタンディークはグロタンディーク位相の概念を考案し、エタール位相上の層コホモロジーを用いて有限体上の多様体のコホモロジー理論を定義しました。標数 の体上の多様体に対してエタール位相を用いると、${\displaystyle p}$構築することができる${\displaystyle \ell }$-進コホモロジー${\displaystyle \ell \neq p}$これは射影極限として定義される。

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }.}$

有限型のスキームがある場合

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

すると、ベッティコホモロジーの次元が等しくなる。${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$そして${\displaystyle \ell }$-進コホモロジー${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$多様体が両方の体上で滑らかである場合。これらのコホモロジー理論に加えて、特異コホモロジーと同様の振る舞いをするワイルコホモロジー理論と呼ばれる他のコホモロジー理論も存在する。すべてのワイルコホモロジー理論の基礎となる動機理論が予想されている。

もう1つの便利な計算ツールはブローアップシーケンスです。余次元が与えられた場合、${\displaystyle \geq 2}$サブスキーム${\displaystyle Z\subset X}$デカルト座標系には正方形があります

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

ここから関連する長い完全数列が得られる

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

亜種が${\displaystyle Z}$が滑らかであれば、接続射はすべて自明であり、したがって

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

位相空間のコホモロジーを定義する方法は様々である（特異コホモロジー、チェココホモロジー、アレクサンダー・スパニエコホモロジー、層コホモロジーなど）。（ここでは、定数層の係数のみを考慮した層コホモロジーを考える。）これらの理論は、いくつかの空間に対して異なる答えを与えるが、すべてが一致する空間の大きなクラスが存在する。これは公理的に最も簡単に理解できる。アイレンベルク・スティーンロッド公理として知られる性質のリストがあり、これらの性質を共有する任意の 2 つの構成は、少なくともすべての CW 複体で一致する。^{[ 21 ]}ホモロジー理論とコホモロジー理論の両方の公理のバージョンがある。いくつかの理論は、単体複体の単体コホモロジー、CW複体のセルラーコホモロジー、滑らかな多様体のド・ラームコホモロジーなど、特殊な位相空間の特異コホモロジーを計算するためのツールと見なすことができる。

コホモロジー理論に関するアイレンベルク・スティーンロッド公理の一つに次元公理がある。すなわち、Pが一点ならば、すべてのi ≠0に対してH ⁱ ( P ) = 0となる。 1960年頃、ジョージ・W・ホワイトヘッドは、次元公理を完全に省略することが有益であると指摘した。これにより、以下に定義する一般化ホモロジー理論、あるいは一般化コホモロジー理論という概念が生まれた。K理論や複素コボルディズムといった一般化コホモロジー理論は、特異コホモロジーからは直接得られない位相空間に関する豊富な情報を提供する。（この文脈では、特異コホモロジーはしばしば「通常のコホモロジー」と呼ばれる。）

定義によれば、一般化ホモロジー理論とは、CWペアの圏( X , A ) ( Xは CW 複体、Aは部分複体) からアーベル群の圏へのファンクターh i ₍整数iについて)の列と、境界準同型と呼ばれる自然変換∂ _i : h _i ( X , A ) → h _{i −1} ( A ) (ここでh _{i −1} ( A ) はh _{i −1} ( A ,∅)の略記) からなる。公理は以下の通りである。 

1. ホモトピー：もし${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$はホモトピックである${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$すると、ホモロジー上の誘導準同型は同じになります。
2. 完全性: 各ペア ( X , A ) は、包含f : A → Xおよびg : ( X ,∅) → ( X , A )を介して、相同性において長い完全シーケンスを誘導します。$${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$$
3. 切除： X が部分複合体AとBの和集合である、包含写像f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) は同型写像を誘導する。$${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$$すべてのiについて。
4. 加法性: ( X , A ) がペアの集合 ( X _α , A _α ) の非交和である場合、包含関係 ( X _α , A _α ) → ( X , A ) は直和から同型を誘導します。$${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$$すべてのiについて。

一般化コホモロジー理論の公理は、大まかに言えば、矢印を反転させることによって得られます。より詳細には、一般化コホモロジー理論は、 CWペアの圏からアーベル群の圏への反変関手h ⁱ (整数iについて) の列と、境界準同型と呼ばれる自然な変換d : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A ) ( h ⁱ ( A ,∅ ) をh ⁱ ( A ) と表記)から構成されます。公理は次のとおりです。

1. ホモトピー：ホモトピック写像は、コホモロジー上で同じ準同型写像を誘導する。
2. 完全性: 各ペア ( X , A ) は、包含f : A → Xおよびg : ( X ,∅) → ( X , A )を介して、コホモロジーの長い完全列を誘導します。$${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. 切除： X が部分複合体AとBの和集合である場合、包含写像f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) は同型写像を誘導する。$${\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$$すべてのiについて。
4. 加法性：( X , A ) がペアの集合 ( X _α , A _α ) の非交和である場合、包含写像 ( X _α , A _α ) → ( X , A ) は積群への同型写像を誘導します。$${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$$すべてのiについて。

スペクトルは、一般化ホモロジー理論と一般化コホモロジー理論の両方を決定します。ブラウン、ホワイトヘッド、アダムスによる基本的な結果によれば、すべての一般化ホモロジー理論はスペクトルから得られ、同様にすべての一般化コホモロジー理論もスペクトルから得られます。^{[ 22 ]}これは、通常のコホモロジーの表現可能性をアイレンベルク・マクレーン空間によって一般化します。

微妙な点として、安定ホモトピー圏（スペクトルのホモトピー圏）から CW ペア上の一般化ホモロジー理論への関手は、同型類に対して全単射を与えるものの、同値ではありません。安定ホモトピー圏には、CW ペア上のホモロジー理論間のゼロ写像を誘導する非ゼロ写像（ファントム写像と呼ばれる）が存在します。同様に、安定ホモトピー圏から CW ペア上の一般化コホモロジー理論への関手も同値ではありません。^{[ 23 ]}三角形化されているなどの優れた性質を持つのは、これらの他の圏ではなく、安定ホモトピー圏です。

ホモロジー理論やコホモロジー理論をCW複体ではなく全ての位相空間上で定義することを好む場合、標準的なアプローチの一つは、全ての弱ホモトピー同値がホモロジーまたはコホモロジー上の同型を誘導するという公理を含めることである。（これは特異ホモロジーまたは特異コホモロジーでは真であるが、例えば層コホモロジーでは真ではない。）全ての空間はCW複体からの弱ホモトピー同値を許容するため、この公理は全ての空間上のホモロジー理論やコホモロジー理論をCW複体上の対応する理論に還元する。^{[ 24 ]}

一般化コホモロジー理論の例としては、以下のようなものがある。

• 安定コホモトピー群${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$対応するホモロジー理論はより頻繁に使用される：安定ホモトピー群${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• 空間から多様体へのすべての写像を考慮して空間を研究することに基づく、さまざまな種類のコボルディズム群：無向コボルディズム${\displaystyle MO^{*}(X)}$指向性コボルディズム${\displaystyle MSO^{*}(X),}$複雑なコボルディズム${\displaystyle MU^{*}(X),}$などなど。複素コボルディズムは、ホモトピー理論において特に強力な手法であることが判明している。これは、ダニエル・クイレンの定理を介して形式群と密接に関連している。
• 位相的K理論には様々な種類があり、空間上のすべてのベクトル束を考察することによって空間を研究する。${\displaystyle KO^{*}(X)}$（実周期K理論）${\displaystyle ko^{*}(X)}$（実結合K理論）${\displaystyle K^{*}(X)}$（複素周期K理論）${\displaystyle ku^{*}(X)}$（複素結合K理論）など。
• ブラウン・ピーターソン・コホモロジー、モラヴァK理論、モラヴァE理論、および複素コボルディズムから構築されたその他の理論。
• 楕円コホモロジーの様々な種類。

これらの理論の多くは、通常のコホモロジーよりも豊富な情報を含んでいるが、計算がより困難である。

コホモロジー理論Eは、次の条件を満たす場合に乗法的であると言われます。${\displaystyle E^{*}(X)}$各空間Xに対して、次数付き環の構造を持つ。スペクトルの用語では、環スペクトルには、 E _∞環スペクトルなど、より正確な概念がいくつかあり、その積は強い意味で可換かつ結合的である。

より広い意味でのコホモロジー理論（位相空間ではなく、他の代数的または幾何学的構造の不変量）には、以下が含まれる。

• 複素数指向コホモロジー理論

• Dieudonné, Jean (1989), 『代数的および微分的トポロジーの歴史』、Birkhäuser、ISBN 0-8176-3388-XMR 0995842​ 
• Dold、Albrecht (1972)、Lectures on Algebraic Topology、Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-58660-9MR 0415602​ 
• アイレンバーグ、サミュエル；スティーンロッド、ノーマン（1952）、『代数トポロジーの基礎』、プリンストン大学出版局、ISBN 9780691627236MR 0050886​ {{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• ハートショーン、ロビン（1977）、『代数幾何学』、大学院数学テキスト、第 52巻、ニューヨーク、ハイデルベルク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-90244-9MR 0463157​ 
• ハッチャー、アレン（2001）、『代数トポロジー』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0MR 1867354​ 
• 「コホモロジー」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]。
• Hopf, Heinz (1933)、「Die Klassen der Abbildungen der n-Dimensionen Polyeder auf die n-Dimensione Sphäre」、Commentarii Mathematici Helvetici、5 : 80–94、doi : 10.1007/978-3-662-25046-4_6
• May, J. Peter (1999)、『代数トポロジー入門』（PDF版）、シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-51182-0MR 1702278​ 
• スウィッツァー、ロバート（1975）、『代数トポロジー ― ホモロジーとホモトピー』、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 3-540-42750-3MR 0385836​ 
• Thom, René (1954)、「Quelques propriétés globales des variétés différentiables」、Commentarii Mathematici Helvetici、28 : 17–86、doi : 10.1007/BF02566923、MR 0061823、S2CID 120243638  
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