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抽象代数学において、有限群とは、その基礎となる集合が有限である群のことである。有限群は、数学的または物理的な対象の対称性を考える際によく現れる。これらの対象は、構造を保存する変換を有限個しか許容しない場合に、有限群が現れる。有限群の重要な例としては、巡回群や置換群などが挙げられる。
有限群の研究は、19世紀に群論が誕生して以来、その不可欠な部分を占めてきた。主要な研究分野の一つは分類であり、非自明な正規部分群を持たない有限単純群の分類は2004年に完了した。
20世紀には、数学者たちは有限群の理論のいくつかの側面、特に有限群の局所理論と可解群および冪零群の理論を深く研究しました。[ 1 ] [ 2 ] その結果、有限単純群の完全な分類が達成され、すべての有限群を構築できるすべての単純群が現在では知られています。
20世紀後半には、シュヴァレーやスタインバーグといった数学者たちが、古典的な群の有限体版やその他の関連群についての理解を深めた。そのような群の族の一つが、有限体上の一般線形群の族である。
有限群は、数学的または物理的な対象の対称性を考える際によく現れます。これらの対象は、構造を保存する変換を有限個しか許容しないからです。連続対称性を扱うと見なせるリー群の理論は、関連するワイル群の影響を強く受けています。これらは、有限次元ユークリッド空間に作用する鏡映によって生成される有限群です。したがって、有限群の性質は、理論物理学や化学などの分野で重要な役割を果たすことがあります。[ 3 ]
有限個のn個の記号の集合上の対称群S nは、 n個の記号のすべての順列を要素とし、その群演算がそのような順列の合成である群であり、順列は記号の集合からそれ自身への全単射関数として扱われます。 [ 4 ] n個の記号の集合にはn ! ( n の階乗) 通りの順列があるため、対称群 S nの位数(要素の数)はn ! となります。
巡回群 Z nは、すべての要素が特定の要素aのべき乗である群であり、a n = a 0 = eは単位元です。この群の典型的な実現は、複素 n 乗根として表されます。aを原始的な 1 乗根に写像すると、両者の間に同型写像が得られます。これは任意の有限巡回群で行うことができます。
アーベル群（可換群とも呼ばれる）とは、 2 つの群要素に群演算を適用した結果がそれらの順序に依存しない群（可換性の公理）のことである。ニールス・ヘンリック・アーベルにちなんで名付けられた。[ 5 ]
任意の有限アーベル群は、素数のべき乗位数の有限巡回群の直和と同型であり、これらの位数は一意に決定され、完全な不変量体系を形成する。有限アーベル群の自己同型群は、これらの不変量を用いて直接記述することができる。この理論は、1879年のゲオルク・フロベニウスとルートヴィヒ・スティッケルベルガーの論文で初めて展開され、後に主イデアル整域上の有限生成加群に単純化および一般化され、線形代数の重要な一章を形成した。
リー型群とは 、体kに値をとる簡約線形代数群Gの有理点群 G ( k ) と密接に関連する群のことである。有限リー型群は、非可換有限単純群の大部分を占める。特殊な例としては、古典群、シュヴァレー群、スタインバーグ群、鈴木・リー群などが挙げられる。
リー型の有限群は、巡回群、対称群、交代群に続いて、数学において最初に考察された群の一つであり、素数有限体上の射影特殊線形群PSL(2, p )は 1830 年代にエヴァリスト・ガロアによって構成されました。リー型の有限群の体系的な研究は、射影特殊線形群PSL(2, q ) がq ≠ 2, 3 の場合に単純であるというカミーユ・ジョルダンの定理から始まりました。この定理はより高次元の射影群に一般化され、有限単純群の重要な無限族 PSL( n , q ) を与えます。その他の古典的な群は、20 世紀初頭にレナード・ディクソンによって研究されました。 1950年代、クロード・シュヴァレーは、適切な再定式化の後、半単純リー群に関する多くの定理が任意の体k上の代数群にも類似するものを持ち、現在シュヴァレー群と呼ばれるものの構成につながることに気づいた。さらに、コンパクト単純リー群の場合と同様に、対応する群は抽象群としてほぼ単純であることが判明した（ティッツ単純性定理）。19世紀以来、他の有限単純群（例えば、マチュー群）が存在することは知られていたが、徐々に、ほぼすべての有限単純群は、巡回群や交代群とともに、シュヴァレーの構成の適切な拡張によって説明できるという考えが形成された。さらに、例外である散在群は、リー型の有限群と多くの性質を共有しており、特に、ティッツの意味での幾何学に基づいて構成および特徴付けることができる。
この考えは今や定理となり、有限単純群の分類となっている。有限単純群のリストを調べると、有限体上のリー型群には、巡回群、交代群、ティッツ群、および26個の散在単純群を除くすべての有限単純群が含まれることがわかる。
任意の有限群Gに対して、Gのすべての部分群Hの位数（要素数）はGの位数を割り切る。この定理はジョセフ＝ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられた。
これは、与えられた位数の部分群がGにいくつ含まれているかについての情報を提供するラグランジュの定理の部分的な逆である。
アーサー・ケイリーにちなんで名付けられたケイリーの定理は、すべての群G は、 Gに作用する対称群の部分群と同型であると述べている。[ 6 ]これは、 Gの要素に対するGの群作用の例として理解することができる。[ 7 ]
群論におけるバーンサイドの定理は、 G が位数p a q bの有限群である場合（pとqは素数、aとbは非負整数）、Gは可解群であると述べている。したがって、すべての非可換有限単純群の位数は、少なくとも 3 つの異なる素数で割り切れる。
フェイト・トンプソン定理、または奇数位数定理は、奇数位数の有限群はすべて可解であることを述べている。これはウォルター・フェイトとジョン・グリッグス・トンプソンによって証明された（1962年、1963年）。
有限単純群の分類とは、すべての有限単純群が以下のいずれかの群に属するという定理である。
有限単純群は、素数が自然数の基本的な構成要素であるのと同様に、すべての有限群の基本的な構成要素と見なすことができます。ジョルダン・ヘルダーの定理は、有限群に関するこの事実をより正確に表現したものです。しかし、整数分解の場合と大きく異なる点は、このような「構成要素」が必ずしも一意に群を決定するとは限らないことです。なぜなら、同じ構成系列を持つ非同型群が多数存在する可能性があり、言い換えれば、拡張問題には一意の解がないからです。
この定理の証明は、約100人の著者によって書かれた数百の学術論文に及ぶ数万ページに及ぶもので、そのほとんどは1955年から2004年の間に発表された。ゴレンシュタイン（1992年没）、ライオンズ、ソロモンらは、その証明を簡略化・改訂したバージョンを順次発表している。
正の整数nが与えられたとき、位数nの群の同型タイプの数を決定することは決して簡単なことではありません。すべての素数位数の群は巡回群 です。これは、ラグランジュの定理により、その非単位元によって生成される巡回部分群が群全体となることが示唆されているためです。n が素数の平方である場合、位数nの群の同型タイプはちょうど 2 つあり、どちらもアーベル群です。nが素数のより高いべき乗である場合、Graham HigmanとCharles Simsの結果は、位数nの群の同型タイプの数について漸近的に正しい推定値を与え、その数はべき乗が増加するにつれて非常に急速に増加します。
nの素因数分解によっては、例えばシローの定理などの結果の結果として、位数nの群の構造にいくつかの制約が課されることがあります。例えば、位数pqの群は、p < pが素数でp − 1がqで割り切れない場合、巡回群となります。必要十分条件については、「巡回数」を参照してください。
nが平方因子を持たない群であれば、位数nの任意の群は解くことができます。群指標を用いて証明されたバーンサイドの定理によれば、 nが 3 個未満の異なる素数で割り切れる場合、すなわちn = p a q bの場合、位数nの任意の群は解くことができます。ここで、 pとqは素数、aとbは非負の整数です。長くて複雑な証明が必要なフェイト・トンプソンの定理によれば、nが奇数の場合、位数nの任意の群は解くことができます。
任意の正の整数nに対して、位数nのほとんどの群は可解である。特定の位数についてこれを確認することは通常難しくない (たとえば、同型を除いて、位数 60 の非可解群が 1 つと可解群が 12 つある) が、すべての位数についてこれを証明するには、有限単純群の分類を使用する。任意の正の整数nに対して、位数nの単純群は最大で 2 つしかなく、位数 n の非同型な単純群が 2 つ存在するような正の整数 n は無限に存在する。