単回投与

数学において、モノドロミーとは、数学解析、代数トポロジー、代数幾何学、微分幾何学の対象が特異点の周りを「回る」ときにどのように振る舞うかを研究する学問である。名前が示すように、モノドロミーの根本的な意味は「単調に回る」ことに由来する。これは被覆写像とその分岐への退化と密接に関連している。モノドロミー現象を引き起こす側面は、定義したい特定の関数が、特異点を囲む経路を「回る」ときに単値にならないことである。モノドロミーの失敗は、モノドロミー群を定義することによって測定できる。モノドロミー群とは、1次元で「回る」ときに何が起こるかを符号化するデータに作用する変換の群である。モノドロミーの欠如は、ポリドロミーと呼ばれることもある。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle X}$基点を持つ連結かつ局所的に単純連結な位相空間である${\displaystyle x}$、そして${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$被覆材となる。その基本繊維を定義する。${\displaystyle F=p^{-1}(x)}$。

任意のループ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to X} に基づく${\displaystyle x}$カバーマップを通して持ち上げることができます。任意のポイント${\displaystyle {\tilde {x}}\in F}$異なる揚力に対応します${\displaystyle {\チルダ {\ガンマ }}}$設定することで${\displaystyle {\チルダ {x}}={\チルダ {\gamma }}(0)}$で表す${\displaystyle \gamma \cdot {\チルダ {x}}}$終点${\displaystyle {\チルダ {\ガンマ }}(1)}$これは一般的に$\displaystyle {\tilde {x}}}$。

任意の２つが与えられた場合${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$基本群において同じ元素を表すもの${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$被覆ホモトピー特性は、それらが同じ作用を定義することを示している。${\displaystyle \gamma \cdot {\tilde {x}}=\gamma '\cdot {\tilde {x}}}$したがって、明確に記述することができます。${\displaystyle [\gamma ]\cdot {\チルダ {x}}}$、 どこ${\displaystyle [\gamma ]\in \pi _{1}(X,x)}$は、ホモトピー同値なループのクラスである。${\displaystyle \gamma }$。

この構成により、基本群の左群作用が明確に定義される。${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ベースファイバー上${\displaystyle F_{x}}$定義される$\displaystyle {\tilde {x}}\mapsto [\gamma ]\cdot {\tilde {x}}$これはモノドロミー作用です${\displaystyle F_{x}}$安定剤​$\displaystyle {\tilde {x}}}$は${\displaystyle p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)}$;つまり、要素${\displaystyle [\gamma ]}$修正${\displaystyle {\tilde {x}}\in F}$かつその場合に限り${\displaystyle {\チルダ {\ガンマ }}}$ループのリフト${\displaystyle \gamma }$、まだループです^{[ 2 ]}。

一般的に、モノドロミー作用には 2 種類ある可能性がある。曲率のような作用があり、${\displaystyle F_{x}}$わずかに変形し、連続的に元の状態に戻せるように変形する。離散的な動作もあり得る。${\displaystyle F_{x}}$不連続に変形しているため、そうすることができません。

させて${\displaystyle \operatorname {Hom} (F_{x})}$の同相写像の群である${\displaystyle F_{x}}$、そして${\displaystyle \operatorname {Is} (F_{x})}$のサブグループである${\displaystyle \operatorname {Hom} (F_{x})}$同一性に同位な同相写像から構成される。つまり、 ${\displaystyle \operatorname {Is} (F_{x})}$は${\displaystyle \operatorname {Hom} (F_{x})}$それは、そのアイデンティティにパスで接続されているものです。$${\displaystyle \operatorname {Is} \left(F_{x}\right)=\left\{f\in \operatorname {Hom} \left(F_{x}\right)\mid \exists H:F_{x}\times [0,1]\rightarrow F_{x},H_{0}=\mathrm {id} ,H_{1}=f,H_{t}{\text{すべての同相写像}}\right\}.}$$誘導マップの画像$\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Hom} (F_{x})/\operatorname {Is} (F_{x})}$は位相的モノドロミー群である。これは、の作用の「不連続」部分を記述する。${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$の上${\displaystyle F_{x}}$。

代数トポロジーではよくあることだが、代数的なバージョンもある。準同型写像${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Aut} (H_{*}(F_{x}))}$ホモロジー上の自己同型群へ${\displaystyle F_{x}}$は代数的モノドロミーである。この準同型の像は（代数的）モノドロミー群である。

これらの考え方は、複素解析において初めて明確にされました。解析接続の過程では、解析関数である関数は、${\displaystyle F(z)}$ある開集合において${\displaystyle E}$穴の開いた複素平面の${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\}}$続きは${\displaystyle E}$ただし、値は異なります。たとえば、

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}.\end{aligned}}}$

次に、円周に沿って反時計回りに解析接続する。

${\displaystyle |z|=1}$

返還されない結果となる${\displaystyle F(z)}$しかし

${\displaystyle F(z)+2\pi i.}$

この場合、モノドロミー群は無限巡回群であり、被覆空間は穴あき複素平面の普遍被覆である。この被覆は、媒介変数方程式を持つヘリコイドとして視覚化できる。${\displaystyle (x,y,z)=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,\theta )}$制限される${\displaystyle \rho >0}$カバーマップは垂直投影であり、ある意味では螺旋を分かりやすい方法で圧縮して、穴の開いた平面を得ている。

重要な応用例の一つは微分方程式であり、解析接続によって単一の解からさらに線形独立な解が得られる場合がある。線形微分方程式は、開集合で連結された集合で定義される。${\displaystyle S}$複素平面にはモノドロミー群があり、それは（より正確には）基本群の線形表現である。${\displaystyle S}$ループ内のすべての解析的継続を要約する${\displaystyle S}$表現が与えられたときに、 （正則な特異点を持つ）方程式を構成する逆問題は、リーマン・ヒルベルト問題である。

正則（特にフックス型）線形システムの場合、モノドロミー群の生成子として通常、演算子を選択します。${\displaystyle M_{j}}$それぞれがシステムの極の 1 つだけを反時計回りに迂回するループに対応します。インデックスが${\displaystyle j}$は、${\displaystyle 1}$に${\displaystyle p+1}$基点を時計回りに迂回すると、生成器間の唯一の関係は等式である。${\displaystyle M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id} }$ドリーニュ・シンプソン問題は、次の実現問題です。共役類のタプルのうち、${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$行列の既約タプルは存在するか？${\displaystyle M_{j}}$上記の関係を満たすこれらのクラスから？この問題はピエール・ドリーニュによって定式化され、カルロス・シンプソンが最初にその解決に向けた結果を得ました。フックス系の剰余に関する問題の加法バージョンはウラジミール・コストフによって定式化され、研究されました。この問題は、他の著者によって、他の行列群についても検討されています。${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$同様に。^{[ 3 ]}

被覆写像の場合、それをファイブレーションの特殊なケースとみなし、ホモトピー持ち上げ特性を用いて基底空間上の経路を「たどる」。${\displaystyle X}$（簡略化のため、経路が接続されていると仮定します）カバーに持ち上げられると${\displaystyle C}$ループをたどっていくと、${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$持ち上げて開始します${\displaystyle c}$その上${\displaystyle x}$最終的には${\displaystyle c^{*}}$再び上記へ${\displaystyle x}$; 十分にあり得る${\displaystyle c\neq c^{*}}$そしてこれをコード化するには、基本群の作用を考慮する。${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$すべての集合上の置換群として${\displaystyle c}$この文脈では、モノドロミー群として扱われます。

微分幾何学では、平行移動が同様の役割を果たす。主束では${\displaystyle B}$滑らかな多様体上${\displaystyle M}$接続により、上部の繊維からの「水平」移動が可能になります${\displaystyle m}$で${\displaystyle M}$隣接するものに適用した場合の効果は、${\displaystyle m}$ファイバーの並進のホロノミー群を定義する${\displaystyle m}$; 構造グループが${\displaystyle B}$は${\displaystyle G}$それは、${\displaystyle G}$偏差を測定する${\displaystyle B}$製品バンドルから${\displaystyle M\times G}$。

単群と葉理

基本群圏と同様に、基点の選択を排除してモノドロミー群圏を定義することが可能です。ここでは、基底空間におけるパスのリフト（のホモトピー類）を考察します。${\displaystyle X}$線維化の${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$結果は基底空間上の群状構造を持つ。${\displaystyle X}$利点は、連結性の条件を省略できることです。${\displaystyle X}$。

さらに、この構成は葉層構造にも一般化できる。${\displaystyle (M,{\mathcal {F}})}$（おそらく単数形の）葉層${\displaystyle M}$。次に、葉の各パスについて$\displaystyle {\mathcal {F}}}$端点を通る局所横断線上の誘導微分同相写像を考えることができる。単連結チャート内では、端点周辺の微分同相写像の核に着目すると、この微分同相写像は異なる横断線間で一意かつ特に標準的なものとなる。このようにして、単連結チャート内では（固定端点間の）経路に依存しなくなり、したがってホモトピーの下で不変となる。

させて${\displaystyle \mathbb {F} (x)}$変数の有理関数の体を表す${\displaystyle x}$フィールド全体にわたって${\displaystyle \mathbb {F} }$これは多項式環の分数体である。${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$要素${\displaystyle y=f(x)}$の${\displaystyle \mathbb {F} (x)}$有限体拡張を決定する${\displaystyle [\mathbb {F} (x):\mathbb {F} (y)]}$。

この拡張は一般にガロアではないが、ガロア閉包を持つ。${\displaystyle L(f)}$拡張に関連するガロア群${\displaystyle [L(f):\mathbb {F} (y)]}$モノドロミー群と呼ばれる${\displaystyle f}$。

の場合${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$リーマン面理論が導入され、上記の幾何学的解釈が可能になる。${\displaystyle [\mathbb {C} (x):\mathbb {C} (y)]}$は既にガロアであり、関連するモノドロミー群はデッキ変換群と呼ばれることもあります。

これは、リーマン存在定理につながる被覆空間のガロア理論と関連している。

• 編み込みグループ
• モノドロミー行列
• モノドロミー定理
• （穴の開いた円盤の）マッピングクラスグループ

• V.I. ダニロフ (2001) [1994]、「モノドロミー」、数学百科事典、EMS Press
• 「群群とモノドロミー群」、O. Mucuk、B. Kılıçarslan、T. ¸Sahan、N. Alemdar、Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
• R.ブラウン「トポロジーと群状体」（2006年）。
• PJ ヒギンズ、「カテゴリーと群」、ヴァン・ノストランド (1971) TAC 再版
• H. Żołądek、「The Monodromy Group」、Birkhäuser Basel 2006;土井: 10.1007/3-7643-7536-1
• アレン・ハッチャー代数トポロジー