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数学において、代数構造（群、環、ベクトル空間など）の集合の直積は、以下に説明する特定の方法で与えられた構造を組み合わせることによって構築される同じタイプの構造である。^{[ 1 ]} その基礎となる集合は、与えられた構造の基礎となる集合のデカルト積である。

構造の集合の直和は、すべての場合ではないが、直積と一致する場合がある。直積はカテゴリー内の積の例であり、直和は余積の例である。^{[ 2 ]}

• もし${\displaystyle \mathbb {R} }$は、それ以上の構造を持たない実数の集合、直積として考えられています。$\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$これはデカルト積です${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.}$
• もし${\displaystyle \mathbb {R} }$は、加算、直積に関する実数のグループと考えられています。$\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$まだ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$その基礎となる集合として。これと前の例との違いは、$\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$はグループになったので、その要素を追加する方法も指定する必要があります。これは、定義することによって行われます。${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$
• もし${\displaystyle \mathbb {R} }$実数の環、直積$\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$また${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$その基礎となる集合として。$\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$定義される加算から構成される${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$乗算は次のように定義される。${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).}$
• 指輪は${\displaystyle \mathbb {R} }$はフィールドです。$\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$非ゼロ要素だからではない${\displaystyle (1,0)}$乗法逆元を持たない。

同様に、有限個の代数構造の直積についても議論できます。例えば、${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .}$それは、直積が同型を除いて結合法則 を満たすことを前提としている。つまり、${\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)}$任意の代数構造に対して${\displaystyle A,}$${\displaystyle B,}$そして${\displaystyle C}$同種のもの。直積も同型を除いて可換である。つまり、${\displaystyle A\times B\cong B\times A}$任意の代数構造に対して${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$同種のもの。無限に多くの代数構造の直積についても議論できます。例えば、可算個のコピーの直積は${\displaystyle \mathbb {R} ,}$次のように書かれています${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .}$

群論において、2つの群の直積を定義する。${\displaystyle (G,\circ )}$そして${\displaystyle (H,\cdot ),}$は次のように表すことができる${\displaystyle G\times H.}$加法的に記述されるアーベル群の場合、それは2つの群の直和とも呼ばれ、で表されます。${\displaystyle G\oplus H.}$

以下のように定義されます。

• 新しい群の要素の集合は、${\displaystyle G{\text{ および }}H,}$それは${\displaystyle \{(g,h):g\in G,h\in H\};}$
• これらの要素に対して、要素ごとに定義された演算を適用する。$${\displaystyle (g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)}$$

ご了承ください${\displaystyle (G,\circ )}$同じかもしれません${\displaystyle (H,\cdot ).}$

この構成により新しい群が得られ、その正規部分群は${\displaystyle G}$（フォームの要素によって与えられる）${\displaystyle (g,1)}$）と同型である${\displaystyle H}$（要素を含む）${\displaystyle (1,h)}$)

認識定理では逆もまた成り立つ。${\displaystyle K}$2つの正常なサブグループを含む${\displaystyle G{\text{ および }}H,}$そのため${\displaystyle K=GH}$そして、${\displaystyle G{\text{ および }}H}$アイデンティティのみが含まれています。${\displaystyle K}$は同型である${\displaystyle G\times H.}$これらの条件を緩和して、1つの部分群が正規であることだけを要求すると、半直積が得られます。

例えば、${\displaystyle G{\text{ および }}H}$は、位数 2 の一意な (同型を除いて) 群の 2 つのコピーとして扱われます。${\displaystyle C^{2}:}$言う${\displaystyle \{1,a\}{\text{ および }}\{1,b\}.}$それから、${\displaystyle C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},}$要素ごとに操作を行います。たとえば、${\displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),}$そして${\displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).}$

直積を用いると、いくつかの自然な群準同型が無料で得られる。それは、次のように定義される射影写像である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}}$$これらは座標関数 と呼ばれます。

また、すべての準同型${\displaystyle f}$直接的な生成物は、その構成要素の機能によって完全に決定される。${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f.}$

どのグループでも${\displaystyle (G,\circ )}$任意の整数${\displaystyle n\geq 0,}$直接積を繰り返し適用すると、すべてのグループが得られます。${\displaystyle n}$-タプル${\displaystyle G^{n}}$（のために${\displaystyle n=0,}$それは自明な群です。例えば、${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$そして$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

モジュールの直積（テンソル積と混同しないように）は、上記でグループに対して定義されたものと非常によく似ており、加算演算を成分ごとに行い、スカラー乗算をすべての成分に分配することで、上記の直積を使用します。${\displaystyle \mathbb {R} }$ユークリッド空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$実際のプロトタイプの例は${\displaystyle n}$次元ベクトル空間。$\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$そして$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は$\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}.}$

有限指数に対する直積$\prod_{i=1}^{n}X_{i}}$は正準的に直和と同型である${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$直和と直積は、無限の添え字に対しては同型ではありません。無限の添え字の場合、直和の要素は有限個の要素を除いてすべてゼロになります。これらは圏論の意味で双対です。つまり、直和は余積であり、直積は積です。

例えば、${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$そして${\textstyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$実数の無限直積と直和。非ゼロ要素が有限個である数列のみが${\displaystyle Y.}$例えば、${\displaystyle (1,0,0,0,\ldots )}$は${\displaystyle Y}$しかし${\displaystyle (1,1,1,1,\ldots )}$そうではない。両方のシーケンスは直積にある。${\displaystyle X;}$実際には、${\displaystyle Y}$は、の真部分集合である。${\displaystyle X}$（つまり、${\displaystyle Y\subset X}$). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

位相空間の集合の直積${\displaystyle X_{i}}$のために${\displaystyle i}$で${\displaystyle I,}$あるインデックスセットは、再びデカルト積を利用する。 $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$$

位相を定義するのは少し難しい。有限個の因子の場合、各因子からの開部分集合のすべての直積の集合を開集合の 基底として単純に取るのが最も自然で明白な方法である。$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\$$ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\right\}.}

そのトポロジーは積トポロジーと呼ばれます。例えば、積トポロジーを直接定義することで${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$開集合によって${\displaystyle \mathbb {R} }$（開区間の互いに素な和集合）の場合、その位相の基礎は平面上の開長方形のすべての互いに素な和集合から構成されます（実際には、通常の計量位相と一致します）。

無限積の積位相にはひねりがあり、それは、すべての射影写像を連続にすることができ、かつ、すべての関数を積に連続にできるのは、その構成要素となるすべての関数が連続である場合（つまり、積の圏論的定義を満たす場合：ここでの射は連続関数である）に限られるという点に関係しています。開集合の基底は、これまでと同様に、各因子からの開部分集合のすべての直積の集合とみなされますが、ただし、有限個を除くすべての開部分集合が因子全体であるという条件が付きます。 $${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\$$ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.}

この場合、より自然な響きの位相は、以前と同様に無限個の開部分集合の積を取ることであり、これはやや興味深い位相、ボックス位相をもたらします。しかし、積関数が連続でない連続成分関数の集合の例を見つけるのはそれほど難しくありません（例などについては、ボックス位相の別項目を参照してください）。このひねりが必要となる問題は、最終的には、位相の定義において開集合の共通部分が有限個の集合に対してのみ開集合であることが保証されているという事実に根ざしています。

積（積位相を持つ）は、その因子の性質を保持するという点で優れています。例えば、ハウスドルフ空間の積はハウスドルフ空間であり、連結空間の積は連結空間であり、コンパクト空間の積はコンパクト空間です。最後のものはチコノフの定理と呼ばれ、選択公理と同値です。

その他の特性や同等の配合については、製品トポロジーを参照してください。

二項関係を持つ2つの集合のデカルト積について${\displaystyle R{\text{ and }}S,}$定義する${\displaystyle (a,b)T(c,d)}$として${\displaystyle aRc{\text{ and }}bSd.}$もし${\displaystyle R{\text{ and }}S}$反射律、非反射律、推移律、対称律、反対称律のいずれも満たすならば、${\displaystyle T}$^また、^​​​​​${\displaystyle T}$から継承される${\displaystyle R{\text{ and }}S.}$性質が組み合わされている場合、それは前順序関係であることと同値関係であることにも当てはまります。ただし、${\displaystyle R{\text{ and }}S}$関係はつながっています、${\displaystyle T}$必ずしもつながっている必要はありません。たとえば、${\displaystyle \,\leq \,}$の上${\displaystyle \mathbb {N} }$それ自体とは関係ない${\displaystyle (1,2){\text{ and }}(2,1).}$

もし${\displaystyle \Sigma }$固定署名です。${\displaystyle I}$は任意の（場合によっては無限の）インデックス集合であり、${\displaystyle \left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}}$は、​${\displaystyle \Sigma }$代数、直積${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$は${\displaystyle \Sigma }$代数学は次のように定義される。

• 宇宙は${\displaystyle A}$の${\displaystyle \mathbf {A} }$宇宙集合のデカルト積は${\displaystyle A_{i}}$の${\displaystyle \mathbf {A} _{i},}$正式には：${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• 各${\displaystyle n}$そしてそれぞれ${\displaystyle n}$-項演算記号${\displaystyle f\in \Sigma ,}$その解釈${\displaystyle f^{\mathbf {A} }}$で${\displaystyle \mathbf {A} }$は、コンポーネントごとに正式に定義されます。${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A}$そしてそれぞれ${\displaystyle i\in I,}$の${\displaystyle i}$の 番目のコンポーネント${\displaystyle f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)}$は次のように定義される。${\displaystyle f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).}$

各${\displaystyle i\in I,}$の${\displaystyle i}$th 投影${\displaystyle \pi _{i}:A\to A_{i}}$定義される${\displaystyle \pi _{i}(a)=a(i).}$これは、${\displaystyle \Sigma }$代数${\displaystyle \mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {A} _{i}.}$^{[ 6 ]}

特殊なケースとして、インデックスセットが${\displaystyle I=\{1,2\},}$2つの直積${\displaystyle \Sigma }$代数${\displaystyle \mathbf {A} _{1}{\text{ and }}\mathbf {A} _{2}}$は、次のように表されます。${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.}$もし${\displaystyle \Sigma }$バイナリ演算が1つだけ含まれています${\displaystyle f,}$上記の群の直積の定義は、以下の記法を用いて得られる。${\displaystyle A_{1}=G,A_{2}=H,}$${\displaystyle f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ and }}f^{A}=\times .}$同様に、加群の直積の定義もここに包含される。

直積は任意の圏に抽象化できる。圏では、オブジェクトの集合が与えられたとき、${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$セットによってインデックス付けされる${\displaystyle I}$それらのオブジェクトの産物はオブジェクトである${\displaystyle A}$射とともに${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$、もし${\displaystyle B}$射を持つ他のオブジェクト${\displaystyle f_{i}\colon B\to A_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$一意の射が存在する${\displaystyle B\to A}$その組成は${\displaystyle p_{i}}$等しい${\displaystyle f_{i}}$すべての${\displaystyle i}$。 そのような${\displaystyle A}$そして${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$常に存在するとは限らない。存在する場合、${\displaystyle (A,(p_{i})_{i\in I})}$同型を除いて一意であり、${\displaystyle A}$と表記される${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$。

群のカテゴリーの特殊な場合、積は常に存在する。${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$は、${\displaystyle A_{i}}$群演算は成分ごとの乗算であり、(準)同型は${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$射影は各タプルをその${\displaystyle i}$th座標。

一部の著者は、内部直接積と外部直接積を区別している。例えば、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は加法アーベル群の部分群である${\displaystyle G}$そのため${\displaystyle A+B=G}$そして${\displaystyle A\cap B=\{0\}}$、${\displaystyle A\times B\cong G,}$そして、${\displaystyle G}$は、​${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$曖昧さを避けるため、セット${\displaystyle \{\,(a,b)\mid a\in A,\,b\in B\,\}}$外部直接生産物として言及できる${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$。

• 直和– 代数構造の集合から形成される代数構造 
• デカルト積– 与えられた2つの集合から形成される数学的な集合 
• プロダクトリング– 他のリングから構築されたリング（数学）リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 共積– 圏論的構成 
• 無料製品– グループを組み合わせる操作 
• 半直積– 群論における演算 
• ザッパ・シェップ積– 数学の概念 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• グラフのテンソル積– グラフ理論における演算 
• 完全順序集合のデカルト積上の順序– 要素がすべて比較可能な順序 
• テンソル積とクロネッカー積も記号⊗を使用してより大きな空間を生成します

• ラング、セルジュ（2002）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556​