モノモーフィズム

抽象代数や普遍代数の文脈では、単射は入射準 同型です。X からYへの単射は、多くの場合、 という表記で表されます 。 ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

より一般的な圏論の設定では、単射（モニック射またはモノとも呼ばれる）は左相殺射である。つまり 、すべてのオブジェクトZとすべての 射g ₁ , g ₂ : Z → Xに対して、

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}.}$

単相性は、単射関数(「1 対 1 関数」とも呼ばれる)のカテゴリ的な一般化です。一部のカテゴリでは概念は一致しますが、以下の例のように、単相性はより一般的です。

posetの設定では、交差はべき等です。つまり、何かとそれ自身の交差はそれ自身です。単射は、この特性を任意のカテゴリに一般化します。射は、引き戻しに関してべき等である場合、単射です。

単射の圏的双対はエピモーフィズムです。つまり、圏Cの単射は、双対圏 C ^opのエピモーフィズムです。すべてのセクションは単射であり、すべての撤回はエピモーフィズムです。

左可逆射は必然的にモニックである。すなわち、l がfの左逆射（つまりl が射であり）であれば、f はモニックであり、 ${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X}}$

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

左可逆射は分割モノまたはセクションと呼ばれます。

しかし、単射は左逆である必要はありません。たとえば、すべての群とそれらの間の群準同型からなるカテゴリGroupでは、 H がGのサブグループである場合、包含f  : H → Gは常に単射です。ただし、f がカテゴリ内で左逆を持つのは、 H がG内で正規補集合を持つ場合のみです。

射f  : X → Yがモニックであるためには、すべての射h  : Z → X に対してf _∗ ( h ) = f ∘ hで定義される誘導写像f _∗  : Hom( Z , X ) → Hom( Z , Y )がすべてのオブジェクトZに対して単射である必要があります。

基礎関数が単射である具体的なカテゴリ内のすべての射は単射です。言い換えると、射が実際に集合間の関数である場合、1対1関数である射は、カテゴリの意味で必然的に単射になります。集合のカテゴリでは逆も成り立つため、単射はまさに単射です。逆は、1つの生成元に自由オブジェクトが存在するため、ほとんどの自然に発生する代数のカテゴリでも成り立ちます。特に、すべてのグループ、すべての環、および任意のアーベルカテゴリのカテゴリで当てはまります。

しかし、一般にすべての単射が他のカテゴリでは必ず単射であるというのは正しくありません。つまり、射が集合間の関数である設定がありますが、単射ではない関数であってもカテゴリの意味で単射である可能性があります。たとえば、可分群 (アーベル群)とそれらの間の群準同型からなるカテゴリDivには、単射ではない単射があります。たとえば、商写像q  : Q → Q / Zを考えます。ここで、Qは加算による有理数、Z は整数 (これも加算による群と見なされます)、Q / Z は対応する商群です。たとえば、すべての整数が 0 にマッピングされるため、これは単射写像ではありません。それでも、このカテゴリでは単射です。これは、 q ∘ h = 0 ⇒ h = 0という含意から導かれ、これを次に証明します。h  : G → Q （ Gは何らかの分割可能な群、q ∘ h = 0 ）ならば、h ( x ) ∈ Z、 ∀ x ∈ Gである。ここで、何らかのx ∈ Gを固定する。一般性を失わずに、h ( x ) ≥ 0と仮定できる（そうでない場合は、代わりに − x を選択する）。次に、n = h ( x ) + 1とすると、G は分割可能な群なので、x = nyとなるy ∈ Gが存在するので、h ( x ) = n h ( y )となる。これと、0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = nから、

${\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1}$

h ( y ) ∈ Zなので、 h ( y ) = 0となり、h ( x ) = 0 = h (− x )、 ∀ x ∈ Gとなります。これは、期待どおりh = 0であることを示しています。

この含意から​​q が単射であるという事実に進むには、何らかの射f , g  : G → Qに対してq ∘ f = q ∘ gであると仮定します。ここでGは何らかの可分群です。するとq ∘ ( f − g ) = 0となり、ここで( f − g ) : x ↦ f ( x ) − g ( x )となります。( ( f − g )(0) = 0であり、( f − g )( x + y ) = ( f − g )( x ) + ( f − g )( y )であるため、( f − g ) ∈ Hom( G , Q )となります)。今証明した含意から、q ∘ ( f − g ) = 0 ⇒ f − g = 0 ≡ ∀ x ∈ G、f ( x ) = g ( x ) ≡ f = g。したがって、q は主張どおり単射です。

• トポスでは、すべてのモノはイコライザーであり、モニックかつエピックであるマップはすべて同型です。
• すべての同型性はモニックです。

正規単相、極限単相、即時単相、強い単相、分割単相という便利な概念もあります。

• 単射は、それがいくつかの平行射のペアのイコライザーである場合に、正則であると言われます。
• 単射は、各表現 （ただし はエピモーフィズム）において、射が自動的に同型 となる場合、極端射であると言われる^[1]。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu =\varphi \circ \varepsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$
• 単射 が即時的であるとは、各表現 において、が単射 で がエピモーフィズム である場合に、射が自動的に同型 となる場合を言います。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$${\displaystyle \mu'}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

• 

  単射が強いとは、任意のエピモーフィズムととなる任意の射およびに対して、および となる射が存在することを言う^{[1] [2]}。${\displaystyle \mu :C\to D}$${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$${\displaystyle \alpha :A\to C}$${\displaystyle \beta :B\to D}$${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$${\displaystyle \delta :B\to C}$${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
• 単射は、となる射が存在する場合、分割されていると言われます(この場合、は の左側逆と呼ばれます)。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mu}$

対義語である単射およびエピモーフィズムは、もともとニコラ・ブルバキによって導入された。ブルバキは単射を単射関数の省略形として用いた。初期の圏論者は、圏の文脈への単射性の正しい一般化は、上述の相殺特性であると信じていた。これは単射写像については厳密には当てはまらないが、非常に近いため、エピモーフィズムの場合とは異なり、あまり問題にはならなかった。 サンダース・マクレーンは、彼が単射と呼んだもの（基礎となる集合の写像が単射である具体的な圏における写像）と、単語の圏論的な意味での単射であるモニック写像とを区別しようとした。この区別が一般に使われることはなかった。

モノモーフィズムの別名は拡張ですが、これには他の用途もあります。

• 埋め込み
• ノード分解
• サブオブジェクト

• バーグマン、ジョージ (2015)。一般代数と普遍的構成への招待。シュプリンガー。ISBN 978-3-319-11478-1。
• ボルセ、フランシス (1994)。カテゴリー代数ハンドブック。第 1 巻: 基礎カテゴリー理論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521061193。
• 「単型性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Van Oosten, Jaap (1995)。「基礎カテゴリー理論」(PDF)。Brics講義シリーズ。BRICS、オーフス大学コンピューターサイエンス学部。ISSN 1395-2048  。
• Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974).カテゴリー理論の基礎. Nauka. ISBN 5-02-014427-4。

• nラボにおけるモノモルフィズム
• nラボにおける強い単相性