同型定理

数学、特に抽象代数学において、同型定理（ネーターの同型定理とも呼ばれる）は、商、準同型、部分オブジェクト間の関係を記述する定理である。定理のバージョンは、群、環、ベクトル空間、モジュール、リー代数、およびその他の代数構造に対して存在する。普遍代数学では、同型定理は代数と合同のコンテキストに一般化できる。

同型定理は、1927 年にMathematische Annalenに発表された論文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpernの中で、 Emmy Neetherによって加群の準同型性に対してある程度一般的に定式化されました。これらの定理のあまり一般的ではないバージョンは、 Richard Dedekindの著作や Neether による以前の論文 に見られます。

3年後、B.L.ファン・デル・ワールデンは、群-環-体のアプローチを主題に取り入れた最初の抽象代数学の教科書である、影響力のあるModerne Algebraを出版した。ファン・デル・ワールデンは、ノイマンによる群論の講義とエミール・アルティンによる代数学の講義、およびアルティン、ヴィルヘルム・ブラシュケ、オットー・シュライアー、ファン・デル・ワールデン自身が行ったイデアルに関するセミナーを主な参考文献とした。準同型定理と呼ばれる3つの同型定理と、群に適用された場合の同型性の2つの法則が明示的に登場する。

まず、群の同型定理を示します。

GとHを群とし、f  :  G  →  Hを準同型とする。すると次のようになる。

1. fの核はGの正規部分群であり、
2. fの像はHの部分群であり、
3. fの像は商群G  / ker( f )と同型である。

特に、fが全射であればHはG  / ker( f )と同型です。

この定理は通常、第一同型定理。

を群とします。を のサブグループとし、を の正規サブグループとします。このとき、次が成り立ちます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

1. 積は のサブグループであり、${\displaystyle SN}$${\displaystyle G}$
2. 部分群は の正規部分群であり、${\displaystyle N}$${\displaystyle SN}$
3. 共通部分は の正規部分群であり、${\displaystyle S\cap N}$${\displaystyle S}$
4. 商群と は同型です。${\displaystyle (SN)/N}$${\displaystyle S/(S\cap N)}$

技術的には、が におけるの正規化子の部分群である限り、 が正規部分群である必要はありません。この場合、は の正規部分群ではありませんが、積 の正規部分群であることに変わりはありません。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle SN}$

この定理は第二同型定理^[1] 、ダイヤモンド定理^[2]、平行四辺形定理^[3]と呼ばれることもあります。

第 2 同型定理を応用すると、射影線型群が識別されます。たとえば、複素射影直線上の群は、 、可逆な2 × 2複素行列の群、 、行列式1 行列の部分群、およびスカラー行列の正規部分群を設定することで開始され、 が得られます。ここで、は単位行列、 です。第 2 同型定理は、次のことを述べています。 ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

を群とし、の正規部分群とする。すると ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

1. がの部分群であって である場合、 には と同型な部分群が存在します。${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$
2. のすべての部分群は、となる の一部の部分群に対して の形をとります。${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
3. が の正規部分群であって となる場合、 は と同型な正規部分群を持ちます。${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$
4. のすべての正規部分群は、となるの正規部分群に対して の形をとります。${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
5. がの正規部分群であって となる場合、商群はと同型です。${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$${\displaystyle G/K}$

最後のステートメントは、第 3 同型定理と呼ばれることもあります。最初の 4 つのステートメントは、多くの場合、以下の定理 D に含まれ、格子定理、対応定理、または第 4 同型定理と呼ばれます。

を群とし、の正規部分群をとします。正準射影準同型は、を含むの部分群の集合と の (すべての) 部分群の集合との間の全単射対応を定義します。この対応では、正規部分群は正規部分群に対応します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\rightarrow G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N}$

この定理は、対応定理、格子定理、第四同型定理と呼ばれることもあります。

ザッセンハウスの補題（バタフライ補題とも呼ばれる）は、第四同型定理と呼ばれることもある。^[4]

最初の同型定理は、群のカテゴリが(正規エピ、モノ) 因数分解可能であるとカテゴリ理論の言葉で表現できます。言い換えると、正規エピモーフィズムとモノモーフィズムは、カテゴリの因数分解システムを形成します。これは、射 から存在を演繹できるオブジェクトと射 を示す、欄外の可換図に表されています。この図は、群のカテゴリのすべての射 がカテゴリ理論的な意味で核を持つことを示しています。任意の射fは に因数分解されます。ここで、 ιはモノモーフィズムで、πはエピモーフィズムです (共正規カテゴリでは、すべてのエピモーフィズムは正規です)。これは、図ではオブジェクトとモノモーフィズム(核は常にモノモーフィズム) によって表され、図の左下から右上に走る短い完全列が完成します。完全列規則を使用すると、からおよびへのゼロ射を描く必要がなくなります。 ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$${\displaystyle \iota \circ \pi }$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/\ker f}$

シーケンスが右分割されている場合（つまり、自身のπ -逆像に写像する射σが存在する場合）、 G は正規部分群と部分群の半直積です。 シーケンスが左分割されている場合（つまり、となるものが存在する場合）、右分割でもあり、Gの直積分解です。 一般に、右分割の存在は左分割の存在を意味しません。しかし、アーベル圏（アーベル群の圏など）では、分割補題により左分割と右分割は同値であり、右分割は直和分解 を生成するのに十分です。 アーベル圏では、すべての単射も正規であり、図は2番目の短い完全シーケンス によって拡張される場合があります。 ${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$

第二同型定理において、積SN はGの部分群の格子におけるSとNの結合であり、共通集合S  ∩  Nは交わりである。

第三同型定理は、9 つ​​の補題によってアーベル圏とオブジェクト間のより一般的な写像 に一般化されます。

以下に、A、B、C、D とラベル付けされた 4 つの定理を示します。これらは、「第 1 同型定理」、「第 2 ...」などのように番号が付けられることがよくありますが、番号付けについては普遍的な合意はありません。ここでは、文献にある群同型定理の例をいくつか示します。これらの定理には、環とモジュールの類似物があることに注意してください。

通常、格子定理または対応定理として知られる定理 D を同型定理の 1 つとして含めることはあまり一般的ではありませんが、含める場合は最後の定理になります。

環の定理の記述も同様ですが、正規部分群の概念がイデアルの概念に置き換えられています。

と を環とし、 を環準同型とします。すると、次の ようになります。${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$

1. の核はの理想であり、${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle R}$
2. の像はの部分環であり、${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle S}$
3. の像は商環と同型です。${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R/\ker \varphi }$

特に、が射影的であれば、はと同型である。^[15]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle S}$${\displaystyle R/\ker \varphi }$

R を環とする。SをRの部分環とし、I をRのイデアルとする。すると次のようになる。

1. 和S  +  I  = { s  +  i  |  s  ∈  S ,  i  ∈  I }は R の部分環であり、
2. 交差S  ∩  I はSのイデアルであり、
3. 商環 ( S  +  I ) /  IとS  / ( S  ∩  I ) は同型です。

R を環とし、I をRのイデアルとする。すると

1. がの部分環で となる場合、 はの部分環です。${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$${\displaystyle A/I}$${\displaystyle R/I}$
2. のすべての部分環は、となるの部分環に対して の形をとります。${\displaystyle R/I}$${\displaystyle A/I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$
3. がのイデアルであって となる場合、 はのイデアルです。${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$${\displaystyle J/I}$${\displaystyle R/I}$
4. のすべてのイデアルは、となるの何らかのイデアルに対しての形をとります。${\displaystyle R/I}$${\displaystyle J/I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$
5. が となるようなのイデアルである場合、商環はに同型です。${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$${\displaystyle R/J}$

を のイデアルとする。対応はを含むの部分環の集合と の部分環の集合との間の包含保存一対一対応である。さらに、（ を含む部分環）が のイデアルであるためには がのイデアルでなければならない。^[16]${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A/I}$${\displaystyle R/I}$

モジュールの同型定理の記述は、任意のサブモジュールから商モジュールを形成できるため、特に単純です。ベクトル空間(体上のモジュール) とアーベル群( 上のモジュール)の同型定理は、これらの特殊なケースです。有限次元ベクトル空間の場合、これらの定理はすべて、階数零定理から得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

以下では、「モジュール」は、ある固定された環Rに対する「 Rモジュール」を意味します。

MとNを加群とし、φ  :  M  →  Nを加群準同型とする。すると次のようになる。

1. φの核はMの部分加群であり、
2. φの像はNの部分加群であり、
3. φの像は商加群M  / ker( φ )と同型である。

特に、φが射影的であれば、NはM  / ker( φ )と同型です。

M をモジュールとし、 S と T を M のサブモジュールとします。すると次のようになります。

1. 和S  +  T  = { s  +  t  |  s  ∈  S ,  t  ∈  T } はMの部分加群であり、
2. 交差S  ∩  TはMの部分加群であり、
3. 商加群 ( S  +  T ) /  TとS  / ( S  ∩  T ) は同型です。

M をモジュール、T をMのサブモジュールとします。

1. が のサブモジュールで、となる場合、 はのサブモジュールです。${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$${\displaystyle S/T}$${\displaystyle M/T}$
2. のすべてのサブモジュールは、となる のサブモジュールに対して の形をとります。${\displaystyle M/T}$${\displaystyle S/T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$
3. がのサブモジュールであって となる場合、商モジュールはと同型です。${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$${\displaystyle M/S}$

を のモジュール、のサブモジュールとします。を含むのサブモジュールと のサブモジュールの間には一対一の関係があります。のすべての に対して、の対応は で与えられます。 この対応は、和や積を取るプロセスと可換です（つまり、 はのサブモジュールの格子とを含むのサブモジュールの格子との間の格子同型です）。^[17]${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M/N}$${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$${\displaystyle A\supseteq N}$${\displaystyle M/N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

これを普遍代数に一般化するには、正規部分群を合同関係に置き換える必要があります。

代数上の合同性は、成分ごとの演算を伴う代数として考えられるの部分代数を形成する同値関係です。代表を介して演算を定義することにより、同値類の集合を同じタイプの代数にすることができます。は の部分代数であるため、これは明確に定義されます。 結果として得られる構造は商代数です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}$${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle A/\Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle A\times A}$

を代数準同型とします。このとき、 の像はの部分代数であり、 によって与えられる関係(つまりの核) は 上の合同であり、代数と は に同型です。(群の場合、である場合に限り、この場合群論で使用される核の概念が再現されることに注意してください。) ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A/\Phi }$${\displaystyle \operatorname {im} f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$

代数、の部分代数、および上の合同式が与えられたとき、におけるの跡と と交わる同値類の集合を とします。すると、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle B}$${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$は と合同であり、${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$は の部分代数であり、${\displaystyle A/\Phi }$
3. 代数は代数と同型である。${\displaystyle [B]^{\Phi }}$${\displaystyle B/\Phi _{B}}$

を代数とし、上の2 つの合同関係でとします。すると は上の合同であり、 はと同型です。${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi ,\Psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$${\displaystyle A/\Psi }$${\displaystyle A/\Phi }$${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

を代数とし、 上のすべての合同な集合を で表す。この集合は 包含関係によって順序付けられた完全な格子である。 ^[18]が合同であり、を含むすべての合同な集合を で表す 場合（つまり は内の主フィルタであり、さらに部分格子である）、写像は 格子同型である。^{[19] [20]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Con} A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$${\displaystyle \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }$

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